Cálculo Exemplos

$e^{x^{3}} (3 x^{2} y - x^{2}) d x + e^{x^{3}} d y = 0$

Etapa 1

Encontre $\frac{\partial M}{\partial y}$ em $M (x, y) = e^{x^{3}} (3 x^{2} y - x^{2})$ .

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Etapa 1.1

Diferencie $M$ em relação a $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [e^{x^{3}} (3 x^{2} y - x^{2})]$

Etapa 1.2

Como $e^{x^{3}}$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $e^{x^{3}} (3 x^{2} y - x^{2})$ em relação a $y$ é $e^{x^{3}} \frac{d}{d y} [3 x^{2} y - x^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = e^{x^{3}} \frac{d}{d y} [3 x^{2} y - x^{2}]$

Etapa 1.3

De acordo com a regra da soma, a derivada de $3 x^{2} y - x^{2}$ com relação a $y$ é $\frac{d}{d y} [3 x^{2} y] + \frac{d}{d y} [- x^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = e^{x^{3}} (\frac{d}{d y} [3 x^{2} y] + \frac{d}{d y} [- x^{2}])$

Etapa 1.4

Como $3 x^{2}$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $3 x^{2} y$ em relação a $y$ é $3 x^{2} \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = e^{x^{3}} (3 x^{2} \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- x^{2}])$

Etapa 1.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = e^{x^{3}} (3 x^{2} \cdot 1 + \frac{d}{d y} [- x^{2}])$

Etapa 1.6

Multiplique $3$ por $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = e^{x^{3}} (3 x^{2} + \frac{d}{d y} [- x^{2}])$

Etapa 1.7

Como $- x^{2}$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $- x^{2}$ em relação a $y$ é $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = e^{x^{3}} (3 x^{2} + 0)$

Etapa 1.8

Some $3 x^{2}$ e $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = e^{x^{3}} (3 x^{2})$

Etapa 1.9

Simplifique.

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Etapa 1.9.1

Reordene os fatores de $e^{x^{3}} (3 x^{2})$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 e^{x^{3}} x^{2}$

Etapa 1.9.2

Reordene os fatores em $3 e^{x^{3}} x^{2}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 x^{2} e^{x^{3}}$

Etapa 2

Encontre $\frac{\partial N}{\partial x}$ em $N (x, y) = e^{x^{3}}$ .

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Etapa 2.1

Diferencie $N$ em relação a $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [e^{x^{3}}]$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = x^{3}$ .

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Etapa 2.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x^{3}$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ é $a^{u} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = e^{u} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Etapa 2.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{3}$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = e^{x^{3}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Etapa 2.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = e^{x^{3}} (3 x^{2})$

Etapa 2.4

Simplifique.

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Etapa 2.4.1

Reordene os fatores de $e^{x^{3}} (3 x^{2})$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 e^{x^{3}} x^{2}$

Etapa 2.4.2

Reordene os fatores em $3 e^{x^{3}} x^{2}$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 x^{2} e^{x^{3}}$

Etapa 3

Verifique se $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Etapa 3.1

Substitua $3 x^{2} e^{x^{3}}$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ e $3 x^{2} e^{x^{3}}$ por $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$3 x^{2} e^{x^{3}} = 3 x^{2} e^{x^{3}}$

Etapa 3.2

Como os dois lados demonstraram ser equivalentes, a equação é uma identidade.

$3 x^{2} e^{x^{3}} = 3 x^{2} e^{x^{3}}$ é uma identidade.

Etapa 4

A integral de $f (x, y)$ é $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int e^{x^{3}} d y$

Etapa 5

Integre $N (x, y) = e^{x^{3}}$ para encontrar $f (x, y)$ .

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Etapa 5.1

Aplique a regra da constante.

$f (x, y) = e^{x^{3}} y + C$

Etapa 6

Como a integral de $g (x)$ conterá uma constante de integração, podemos substituir $C$ por $g (x)$ .

$f (x, y) = e^{x^{3}} y + g (x)$

Etapa 7

Defina $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = e^{x^{3}} (3 x^{2} y - x^{2})$

Etapa 8

Encontre $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

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Etapa 8.1

Diferencie $f$ em relação a $x$ .

$\frac{d}{d x} [e^{x^{3}} y + g (x)] = e^{x^{3}} (3 x^{2} y - x^{2})$

Etapa 8.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $e^{x^{3}} y + g (x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [e^{x^{3}} y] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [e^{x^{3}} y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = e^{x^{3}} (3 x^{2} y - x^{2})$

Etapa 8.3

Avalie $\frac{d}{d x} [e^{x^{3}} y]$ .

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Etapa 8.3.1

Como $y$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $e^{x^{3}} y$ em relação a $x$ é $y \frac{d}{d x} [e^{x^{3}}]$ .

$y \frac{d}{d x} [e^{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = e^{x^{3}} (3 x^{2} y - x^{2})$

Etapa 8.3.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = x^{3}$ .

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Etapa 8.3.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x^{3}$ .

$y (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = e^{x^{3}} (3 x^{2} y - x^{2})$

Etapa 8.3.2.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ é $a^{u} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$y (e^{u} \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = e^{x^{3}} (3 x^{2} y - x^{2})$

Etapa 8.3.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{3}$ .

$y (e^{x^{3}} \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = e^{x^{3}} (3 x^{2} y - x^{2})$

Etapa 8.3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$y e^{x^{3}} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = e^{x^{3}} (3 x^{2} y - x^{2})$

Etapa 8.4

Diferencie usando a regra da função que afirma que a derivada de $g (x)$ é $\frac{d g}{d x}$ .

$y e^{x^{3}} (3 x^{2}) + \frac{d g}{d x} = e^{x^{3}} (3 x^{2} y - x^{2})$

Etapa 8.5

Simplifique.

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Etapa 8.5.1

Reordene os termos.

$\frac{d g}{d x} + 3 e^{x^{3}} x^{2} y = e^{x^{3}} (3 x^{2} y - x^{2})$

Etapa 8.5.2

Reordene os fatores em $\frac{d g}{d x} + 3 e^{x^{3}} x^{2} y$ .

$\frac{d g}{d x} + 3 x^{2} y e^{x^{3}} = e^{x^{3}} (3 x^{2} y - x^{2})$

Etapa 9

Resolva $\frac{d g}{d x}$ .

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Etapa 9.1

Resolva $\frac{d g}{d x}$ .

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Etapa 9.1.1

Simplifique $e^{x^{3}} (3 x^{2} y - x^{2})$ .

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Etapa 9.1.1.1

Reescreva.

$\frac{d g}{d x} + 3 x^{2} y e^{x^{3}} = 0 + 0 + e^{x^{3}} (3 x^{2} y - x^{2})$

Etapa 9.1.1.2

Simplifique somando os zeros.

$\frac{d g}{d x} + 3 x^{2} y e^{x^{3}} = e^{x^{3}} (3 x^{2} y - x^{2})$

Etapa 9.1.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{d g}{d x} + 3 x^{2} y e^{x^{3}} = e^{x^{3}} (3 x^{2} y) + e^{x^{3}} (- x^{2})$

Etapa 9.1.1.4

Reordene.

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Etapa 9.1.1.4.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{d g}{d x} + 3 x^{2} y e^{x^{3}} = 3 e^{x^{3}} (x^{2} y) + e^{x^{3}} (- x^{2})$

Etapa 9.1.1.4.2

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{d g}{d x} + 3 x^{2} y e^{x^{3}} = 3 e^{x^{3}} (x^{2} y) - e^{x^{3}} x^{2}$

Etapa 9.1.1.4.3

Reordene os fatores em $3 e^{x^{3}} (x^{2} y) - e^{x^{3}} x^{2}$ .

$\frac{d g}{d x} + 3 x^{2} y e^{x^{3}} = 3 x^{2} y e^{x^{3}} - x^{2} e^{x^{3}}$

Etapa 9.1.2

Mova todos os termos que não contêm $\frac{d g}{d x}$ para o lado direito da equação.

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Etapa 9.1.2.1

Subtraia $3 x^{2} y e^{x^{3}}$ dos dois lados da equação.

$\frac{d g}{d x} = 3 x^{2} y e^{x^{3}} - x^{2} e^{x^{3}} - 3 x^{2} y e^{x^{3}}$

Etapa 9.1.2.2

Combine os termos opostos em $3 x^{2} y e^{x^{3}} - x^{2} e^{x^{3}} - 3 x^{2} y e^{x^{3}}$ .

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Etapa 9.1.2.2.1

Subtraia $3 x^{2} y e^{x^{3}}$ de $3 x^{2} y e^{x^{3}}$ .

$\frac{d g}{d x} = - x^{2} e^{x^{3}} + 0$

Etapa 9.1.2.2.2

Some $- x^{2} e^{x^{3}}$ e $0$ .

$\frac{d g}{d x} = - x^{2} e^{x^{3}}$

Etapa 10

Encontre a antiderivada de $- x^{2} e^{x^{3}}$ para encontrar $g (x)$ .

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Etapa 10.1

Integre ambos os lados de $\frac{d g}{d x} = - x^{2} e^{x^{3}}$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int - x^{2} e^{x^{3}} d x$

Etapa 10.2

Avalie $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int - x^{2} e^{x^{3}} d x$

Etapa 10.3

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$g (x) = - \int x^{2} e^{x^{3}} d x$

Etapa 10.4

Deixe $u_{2} = e^{x^{3}}$ . Depois, $d u_{2} = 3 x^{2} e^{x^{3}} d x$ , então, $\frac{1}{3} d u_{2} = x^{2} e^{x^{3}} d x$ . Reescreva usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

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Etapa 10.4.1

Deixe $u_{2} = e^{x^{3}}$ . Encontre $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Etapa 10.4.1.1

Diferencie $e^{x^{3}}$ .

$\frac{d}{d x} [e^{x^{3}}]$

Etapa 10.4.1.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = x^{3}$ .

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Etapa 10.4.1.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $x^{3}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Etapa 10.4.1.2.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ é $a^{u_{1}} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Etapa 10.4.1.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $x^{3}$ .

$e^{x^{3}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Etapa 10.4.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$e^{x^{3}} (3 x^{2})$

Etapa 10.4.1.4

Simplifique.

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Etapa 10.4.1.4.1

Reordene os fatores de $e^{x^{3}} (3 x^{2})$ .

$3 e^{x^{3}} x^{2}$

Etapa 10.4.1.4.2

Reordene os fatores em $3 e^{x^{3}} x^{2}$ .

$3 x^{2} e^{x^{3}}$

Etapa 10.4.2

Reescreva o problema usando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$g (x) = - \int \frac{1}{3} d u_{2}$

Etapa 10.5

Aplique a regra da constante.

$g (x) = - (\frac{1}{3} u_{2} + C)$

Etapa 10.6

Simplifique a resposta.

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Etapa 10.6.1

Reescreva $- (\frac{1}{3} u_{2} + C)$ como $- \frac{1}{3} u_{2} + C$ .

$g (x) = - \frac{1}{3} u_{2} + C$

Etapa 10.6.2

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $e^{x^{3}}$ .

$g (x) = - \frac{1}{3} e^{x^{3}} + C$

Etapa 11

Substitua por $g (x)$ em $f (x, y) = e^{x^{3}} y + g (x)$ .

$f (x, y) = e^{x^{3}} y - \frac{1}{3} e^{x^{3}} + C$

Etapa 12

Simplifique $f (x, y) = e^{x^{3}} y - \frac{1}{3} e^{x^{3}} + C$ .

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Etapa 12.1

Combine $e^{x^{3}}$ e $\frac{1}{3}$ .

$f (x, y) = e^{x^{3}} y - \frac{e^{x^{3}}}{3} + C$

Etapa 12.2

Subtraia $\frac{e^{x^{3}}}{3}$ de $e^{x^{3}} y$ .

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Etapa 12.2.1

Reordene $e^{x^{3}}$ e $y$ .

$f (x, y) = y e^{x^{3}} - \frac{e^{x^{3}}}{3} + C$

Etapa 12.2.2

Para escrever $y e^{x^{3}}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$f (x, y) = y e^{x^{3}} \cdot \frac{3}{3} - \frac{e^{x^{3}}}{3} + C$

Etapa 12.2.3

Combine $y e^{x^{3}}$ e $\frac{3}{3}$ .

$f (x, y) = \frac{y e^{x^{3}} \cdot 3}{3} - \frac{e^{x^{3}}}{3} + C$

Etapa 12.2.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (x, y) = \frac{y e^{x^{3}} \cdot 3 - e^{x^{3}}}{3} + C$

Etapa 12.3

Simplifique o numerador.

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Etapa 12.3.1

Mova $3$ para a esquerda de $y e^{x^{3}}$ .

$f (x, y) = \frac{3 \cdot (y e^{x^{3}}) - e^{x^{3}}}{3} + C$

Etapa 12.3.2

Fatore $e^{x^{3}}$ de $3 y e^{x^{3}} - e^{x^{3}}$ .

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Etapa 12.3.2.1

Fatore $e^{x^{3}}$ de $3 y e^{x^{3}}$ .

$f (x, y) = \frac{e^{x^{3}} (3 y) - e^{x^{3}}}{3} + C$

Etapa 12.3.2.2

Fatore $e^{x^{3}}$ de $- e^{x^{3}}$ .

$f (x, y) = \frac{e^{x^{3}} (3 y) + e^{x^{3}} \cdot - 1}{3} + C$

Etapa 12.3.2.3

Fatore $e^{x^{3}}$ de $e^{x^{3}} (3 y) + e^{x^{3}} \cdot - 1$ .

$f (x, y) = \frac{e^{x^{3}} (3 y - 1)}{3} + C$