Cálculo Exemplos

$\frac{d y}{d x} = - 2 + e^{2 x + y - 1}$

Etapa 1

Deixe $v = e^{2 x + y - 1}$ . Substitua $v$ em todas as ocorrências de $e^{2 x + y - 1}$ .

$\frac{d y}{d x} = - 2 + v$

Etapa 2

Encontre $\frac{d v}{d x}$ ao diferenciar $e^{2 x + y - 1}$ .

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Etapa 2.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = 2 x + y - 1$ .

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Etapa 2.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $2 x + y - 1$ .

$\frac{d v}{d x} = \frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [2 x + y - 1]$

Etapa 2.1.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ é $a^{u} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$\frac{d v}{d x} = e^{u} \frac{d}{d x} [2 x + y - 1]$

Etapa 2.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $2 x + y - 1$ .

$\frac{d v}{d x} = e^{2 x + y - 1} \frac{d}{d x} [2 x + y - 1]$

Etapa 2.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 x + y - 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d v}{d x} = e^{2 x + y - 1} (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Etapa 2.3

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{d v}{d x} = e^{2 x + y - 1} (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Etapa 2.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{d v}{d x} = e^{2 x + y - 1} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Etapa 2.5

Multiplique $2$ por $1$ .

$\frac{d v}{d x} = e^{2 x + y - 1} (2 + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Etapa 2.6

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$\frac{d v}{d x} = e^{2 x + y - 1} (2 + y' + \frac{d}{d x} [- 1])$

Etapa 2.7

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 1$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{d v}{d x} = e^{2 x + y - 1} (2 + y' + 0)$

Etapa 2.8

Some $2 + y'$ e $0$ .

$\frac{d v}{d x} = e^{2 x + y - 1} (2 + y')$

Etapa 3

Substitua $v$ por $e^{2 x + y - 1}$ .

$\frac{d v}{d x} = v (2 + y')$

Etapa 4

Substitua a derivada na equação diferencial.

$\frac{\frac{d v}{d x}}{v} - 2 = - 2 + v$

Etapa 5

Separe as variáveis.

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Etapa 5.1

Resolva $\frac{d v}{d x}$ .

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Etapa 5.1.1

Mova todos os termos que não contêm $\frac{d v}{d x}$ para o lado direito da equação.

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Etapa 5.1.1.1

Some $2$ aos dois lados da equação.

$\frac{\frac{d v}{d x}}{v} = - 2 + v + 2$

Etapa 5.1.1.2

Combine os termos opostos em $- 2 + v + 2$ .

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Etapa 5.1.1.2.1

Some $- 2$ e $2$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{v} = v + 0$

Etapa 5.1.1.2.2

Some $v$ e $0$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{v} = v$

Etapa 5.1.2

Multiplique os dois lados por $v$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{v} v = v \cdot v$

Etapa 5.1.3

Simplifique.

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Etapa 5.1.3.1

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.1.3.1.1

Cancele o fator comum de $v$ .

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Etapa 5.1.3.1.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{\frac{d v}{d x}}{v} v = v \cdot v$

Etapa 5.1.3.1.1.2

Reescreva a expressão.

$\frac{d v}{d x} = v \cdot v$

Etapa 5.1.3.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.1.3.2.1

Multiplique $v$ por $v$ .

$\frac{d v}{d x} = v^{2}$

Etapa 5.2

Multiplique os dois lados por $\frac{1}{v^{2}}$ .

$\frac{1}{v^{2}} \frac{d v}{d x} = \frac{1}{v^{2}} v^{2}$

Etapa 5.3

Cancele o fator comum de $v^{2}$ .

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Etapa 5.3.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{v^{2}} \frac{d v}{d x} = \frac{1}{v^{2}} v^{2}$

Etapa 5.3.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{v^{2}} \frac{d v}{d x} = 1$

Etapa 5.4

Reescreva a equação.

$\frac{1}{v^{2}} d v = 1 d x$

Etapa 6

Integre os dois lados.

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Etapa 6.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{1}{v^{2}} d v = \int d x$

Etapa 6.2

Integre o lado esquerdo.

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Etapa 6.2.1

Aplique regras básicas de expoentes.

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Etapa 6.2.1.1

Mova $v^{2}$ para fora do denominador, elevando-o à $- 1$ potência.

$\int {(v^{2})}^{- 1} d v = \int d x$

Etapa 6.2.1.2

Multiplique os expoentes em ${(v^{2})}^{- 1}$ .

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Etapa 6.2.1.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int v^{2 \cdot - 1} d v = \int d x$

Etapa 6.2.1.2.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\int v^{- 2} d v = \int d x$

Etapa 6.2.2

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $v^{- 2}$ com relação a $v$ é $- v^{- 1}$ .

$- v^{- 1} + C_{1} = \int d x$

Etapa 6.2.3

Reescreva $- v^{- 1} + C_{1}$ como $- \frac{1}{v} + C_{1}$ .

$- \frac{1}{v} + C_{1} = \int d x$

Etapa 6.3

Aplique a regra da constante.

$- \frac{1}{v} + C_{1} = x + C_{2}$

Etapa 6.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $K$ .

$- \frac{1}{v} = x + K$

Etapa 7

Resolva $v$ .

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Etapa 7.1

Encontre o MMC dos termos na equação.

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Etapa 7.1.1

Encontrar o MMC de uma lista de valores é o mesmo que encontrar o MMC dos denominadores desses valores.

$v, 1, 1$

Etapa 7.1.2

O MMC de um e qualquer expressão é a expressão.

$v$

Etapa 7.2

Multiplique cada termo em $- \frac{1}{v} = x + K$ por $v$ para eliminar as frações.

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Etapa 7.2.1

Multiplique cada termo em $- \frac{1}{v} = x + K$ por $v$ .

$- \frac{1}{v} v = x v + K v$

Etapa 7.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 7.2.2.1

Cancele o fator comum de $v$ .

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Etapa 7.2.2.1.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{1}{v}$ para o numerador.

$\frac{- 1}{v} v = x v + K v$

Etapa 7.2.2.1.2

Cancele o fator comum.

$\frac{- 1}{v} v = x v + K v$

Etapa 7.2.2.1.3

Reescreva a expressão.

$- 1 = x v + K v$

Etapa 7.3

Resolva a equação.

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Etapa 7.3.1

Reescreva a equação como $x v + K v = - 1$ .

$x v + K v = - 1$

Etapa 7.3.2

Fatore $v$ de $x v + K v$ .

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Etapa 7.3.2.1

Fatore $v$ de $x v$ .

$v x + K v = - 1$

Etapa 7.3.2.2

Fatore $v$ de $K v$ .

$v x + v K = - 1$

Etapa 7.3.2.3

Fatore $v$ de $v x + v K$ .

$v (x + K) = - 1$

Etapa 7.3.3

Divida cada termo em $v (x + K) = - 1$ por $x + K$ e simplifique.

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Etapa 7.3.3.1

Divida cada termo em $v (x + K) = - 1$ por $x + K$ .

$\frac{v (x + K)}{x + K} = \frac{- 1}{x + K}$

Etapa 7.3.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 7.3.3.2.1

Cancele o fator comum de $x + K$ .

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Etapa 7.3.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{v (x + K)}{x + K} = \frac{- 1}{x + K}$

Etapa 7.3.3.2.1.2

Divida $v$ por $1$ .

$v = \frac{- 1}{x + K}$

Etapa 7.3.3.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 7.3.3.3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$v = - \frac{1}{x + K}$

Etapa 8

Substitua todas as ocorrências de $v$ por $e^{2 x + y - 1}$ .

$e^{2 x + y - 1} = - \frac{1}{x + K}$

Etapa 9

Resolva $y$ .

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Etapa 9.1

Obtenha o logaritmo natural dos dois lados da equação para remover a variável do expoente.

$\ln (e^{2 x + y - 1}) = \ln (- \frac{1}{x + K})$

Etapa 9.2

Expanda o lado esquerdo.

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Etapa 9.2.1

Expanda $\ln (e^{2 x + y - 1})$ movendo $2 x + y - 1$ para fora do logaritmo.

$(2 x + y - 1) \ln (e) = \ln (- \frac{1}{x + K})$

Etapa 9.2.2

O logaritmo natural de $e$ é $1$ .

$(2 x + y - 1) \cdot 1 = \ln (- \frac{1}{x + K})$

Etapa 9.2.3

Multiplique $2 x + y - 1$ por $1$ .

$2 x + y - 1 = \ln (- \frac{1}{x + K})$

Etapa 9.3

Mova todos os termos que não contêm $y$ para o lado direito da equação.

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Etapa 9.3.1

Subtraia $2 x$ dos dois lados da equação.

$y - 1 = \ln (- \frac{1}{x + K}) - 2 x$

Etapa 9.3.2

Some $1$ aos dois lados da equação.

$y = \ln (- \frac{1}{x + K}) - 2 x + 1$