Cálculo Exemplos

$x \frac{d y}{d x} = \sqrt{1 - y^{2}}$

Etapa 1

Separe as variáveis.

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Etapa 1.1

Divida cada termo em $x \frac{d y}{d x} = \sqrt{1 - y^{2}}$ por $x$ e simplifique.

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Etapa 1.1.1

Divida cada termo em $x \frac{d y}{d x} = \sqrt{1 - y^{2}}$ por $x$ .

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} = \frac{\sqrt{1 - y^{2}}}{x}$

Etapa 1.1.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 1.1.2.1

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 1.1.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} = \frac{\sqrt{1 - y^{2}}}{x}$

Etapa 1.1.2.1.2

Divida $\frac{d y}{d x}$ por $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{\sqrt{1 - y^{2}}}{x}$

Etapa 1.1.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 1.1.3.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 1.1.3.1.1

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{\sqrt{1^{2} - y^{2}}}{x}$

Etapa 1.1.3.1.2

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = 1$ e $b = y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{\sqrt{(1 + y) (1 - y)}}{x}$

Etapa 1.2

Multiplique os dois lados por $\frac{1}{\sqrt{(1 + y) (1 - y)}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{(1 + y) (1 - y)}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{\sqrt{(1 + y) (1 - y)}} \cdot \frac{\sqrt{(1 + y) (1 - y)}}{x}$

Etapa 1.3

Cancele o fator comum de $\sqrt{(1 + y) (1 - y)}$ .

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Etapa 1.3.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{\sqrt{(1 + y) (1 - y)}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{\sqrt{(1 + y) (1 - y)}} \cdot \frac{\sqrt{(1 + y) (1 - y)}}{x}$

Etapa 1.3.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{\sqrt{(1 + y) (1 - y)}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{x}$

Etapa 1.4

Reescreva a equação.

$\frac{1}{\sqrt{(1 + y) (1 - y)}} d y = \frac{1}{x} d x$

Etapa 2

Integre os dois lados.

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Etapa 2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{1}{\sqrt{(1 + y) (1 - y)}} d y = \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 2.2

Integre o lado esquerdo.

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Etapa 2.2.1

Complete o quadrado.

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Etapa 2.2.1.1

Simplifique a expressão.

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Etapa 2.2.1.1.1

Expanda $(1 + y) (1 - y)$ usando o método FOIL.

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Etapa 2.2.1.1.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$1 (1 - y) + y (1 - y)$

Etapa 2.2.1.1.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$1 \cdot 1 + 1 (- y) + y (1 - y)$

Etapa 2.2.1.1.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$1 \cdot 1 + 1 (- y) + y \cdot 1 + y (- y)$

Etapa 2.2.1.1.2

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 2.2.1.1.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.2.1.1.2.1.1

Multiplique $1$ por $1$ .

$1 + 1 (- y) + y \cdot 1 + y (- y)$

Etapa 2.2.1.1.2.1.2

Multiplique $- y$ por $1$ .

$1 - y + y \cdot 1 + y (- y)$

Etapa 2.2.1.1.2.1.3

Multiplique $y$ por $1$ .

$1 - y + y + y (- y)$

Etapa 2.2.1.1.2.1.4

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$1 - y + y - y \cdot y$

Etapa 2.2.1.1.2.1.5

Multiplique $y$ por $y$ somando os expoentes.

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Etapa 2.2.1.1.2.1.5.1

Mova $y$ .

$1 - y + y - (y \cdot y)$

Etapa 2.2.1.1.2.1.5.2

Multiplique $y$ por $y$ .

$1 - y + y - y^{2}$

Etapa 2.2.1.1.2.2

Some $- y$ e $y$ .

$1 + 0 - y^{2}$

Etapa 2.2.1.1.2.3

Some $1$ e $0$ .

$1 - y^{2}$

Etapa 2.2.1.1.3

Reordene $1$ e $- y^{2}$ .

$- y^{2} + 1$

Etapa 2.2.1.2

Use a forma $a x^{2} + b x + c$ para encontrar os valores de $a$ , $b$ e $c$ .

$a = - 1$

$b = 0$

$c = 1$

Etapa 2.2.1.3

Considere a forma de vértice de uma parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Etapa 2.2.1.4

Encontre o valor de $d$ usando a fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Etapa 2.2.1.4.1

Substitua os valores de $a$ e $b$ na fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{0}{2 \cdot - 1}$

Etapa 2.2.1.4.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 2.2.1.4.2.1

Cancele o fator comum de $0$ e $2$ .

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Etapa 2.2.1.4.2.1.1

Fatore $2$ de $0$ .

$d = \frac{2 (0)}{2 \cdot - 1}$

Etapa 2.2.1.4.2.1.2

Mova o número negativo do denominador de $\frac{0}{- 1}$ .

$d = - 1 \cdot 0$

Etapa 2.2.1.4.2.2

Reescreva $- 1 \cdot 0$ como $- 0$ .

$d = - 0$

Etapa 2.2.1.4.2.3

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$d = 0$

Etapa 2.2.1.5

Encontre o valor de $e$ usando a fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Etapa 2.2.1.5.1

Substitua os valores de $c$ , $b$ e $a$ na fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 1 - \frac{0^{2}}{4 \cdot - 1}$

Etapa 2.2.1.5.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 2.2.1.5.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.2.1.5.2.1.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$e = 1 - \frac{0}{4 \cdot - 1}$

Etapa 2.2.1.5.2.1.2

Multiplique $4$ por $- 1$ .

$e = 1 - \frac{0}{- 4}$

Etapa 2.2.1.5.2.1.3

Divida $0$ por $- 4$ .

$e = 1 - 0$

Etapa 2.2.1.5.2.1.4

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$e = 1 + 0$

Etapa 2.2.1.5.2.2

Some $1$ e $0$ .

$e = 1$

Etapa 2.2.1.6

Substitua os valores de $a$ , $d$ e $e$ na forma do vértice $- {(y + 0)}^{2} + 1$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{- {(y + 0)}^{2} + 1}} d y = \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 2.2.2

Deixe $u = y + 0$ . Depois, $d u = d y$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 2.2.2.1

Deixe $u = y + 0$ . Encontre $\frac{d u}{d y}$ .

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Etapa 2.2.2.1.1

Diferencie $y + 0$ .

$\frac{d}{d y} [y + 0]$

Etapa 2.2.2.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $y + 0$ com relação a $y$ é $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [0]$ .

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [0]$

Etapa 2.2.2.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d y} [0]$

Etapa 2.2.2.1.4

Como $0$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $0$ em relação a $y$ é $0$ .

$1 + 0$

Etapa 2.2.2.1.5

Some $1$ e $0$ .

$1$

Etapa 2.2.2.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{- u^{2} + 1}} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 2.2.3

Simplifique a expressão.

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Etapa 2.2.3.1

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{- u^{2} + 1^{2}}} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 2.2.3.2

Reordene $- u^{2}$ e $1^{2}$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{1^{2} - u^{2}}} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 2.2.4

A integral de $\frac{1}{\sqrt{1^{2} - u^{2}}}$ com relação a $u$ é $\arcsin (u)$

$\arcsin (u) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 2.2.5

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $y + 0$ .

$\arcsin (y + 0) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 2.2.6

Some $y$ e $0$ .

$\arcsin (y) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 2.3

A integral de $\frac{1}{x}$ com relação a $x$ é $\ln (| x |)$ .

$\arcsin (y) + C_{1} = \ln (| x |) + C_{2}$

Etapa 2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $C$ .

$\arcsin (y) = \ln (| x |) + C$

Etapa 3

Obtenha o arco seno inverso dos dois lados da equação para extrair $y$ de dentro do arco seno.

$y = \sin (\ln (| x |) + C)$