Cálculo Exemplos

$\frac{d y}{d x} = - \frac{8}{x - 7}$ , $y (8) = - 9$

Etapa 1

Reescreva a equação.

$d y = - \frac{8}{x - 7} d x$

Etapa 2

Integre os dois lados.

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Etapa 2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int d y = \int - \frac{8}{x - 7} d x$

Etapa 2.2

Aplique a regra da constante.

$y + C_{1} = \int - \frac{8}{x - 7} d x$

Etapa 2.3

Integre o lado direito.

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Etapa 2.3.1

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$y + C_{1} = - \int \frac{8}{x - 7} d x$

Etapa 2.3.2

Como $8$ é constante com relação a $x$ , mova $8$ para fora da integral.

$y + C_{1} = - (8 \int \frac{1}{x - 7} d x)$

Etapa 2.3.3

Multiplique $8$ por $- 1$ .

$y + C_{1} = - 8 \int \frac{1}{x - 7} d x$

Etapa 2.3.4

Deixe $u = x - 7$ . Depois, $d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 2.3.4.1

Deixe $u = x - 7$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 2.3.4.1.1

Diferencie $x - 7$ .

$\frac{d}{d x} [x - 7]$

Etapa 2.3.4.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - 7$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 7]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 7]$

Etapa 2.3.4.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 7]$

Etapa 2.3.4.1.4

Como $- 7$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 7$ em relação a $x$ é $0$ .

$1 + 0$

Etapa 2.3.4.1.5

Some $1$ e $0$ .

$1$

Etapa 2.3.4.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$y + C_{1} = - 8 \int \frac{1}{u} d u$

Etapa 2.3.5

A integral de $\frac{1}{u}$ com relação a $u$ é $\ln (| u |)$ .

$y + C_{1} = - 8 (\ln (| u |) + C_{2})$

Etapa 2.3.6

Simplifique.

$y + C_{1} = - 8 \ln (| u |) + C_{2}$

Etapa 2.3.7

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x - 7$ .

$y + C_{1} = - 8 \ln (| x - 7 |) + C_{2}$

Etapa 2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $C$ .

$y = - 8 \ln (| x - 7 |) + C$

Etapa 3

Use a condição inicial para encontrar o valor de $C$ , substituindo $8$ por $x$ e $- 9$ por $y$ em $y = - 8 \ln (| x - 7 |) + C$ .

$- 9 = - 8 \ln (| 8 - 7 |) + C$

Etapa 4

Resolva $C$ .

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Etapa 4.1

Reescreva a equação como $- 8 \ln (| 8 - 7 |) + C = - 9$ .

$- 8 \ln (| 8 - 7 |) + C = - 9$

Etapa 4.2

Simplifique $- 8 \ln (| 8 - 7 |) + C$ .

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Etapa 4.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.2.1.1

Subtraia $7$ de $8$ .

$- 8 \ln (| 1 |) + C = - 9$

Etapa 4.2.1.2

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$- 8 \ln (1) + C = - 9$

Etapa 4.2.1.3

O logaritmo natural de $1$ é $0$ .

$- 8 \cdot 0 + C = - 9$

Etapa 4.2.1.4

Multiplique $- 8$ por $0$ .

$0 + C = - 9$

Etapa 4.2.2

Some $0$ e $C$ .

$C = - 9$

Etapa 5

Substitua $- 9$ por $C$ em $y = - 8 \ln (| x - 7 |) + C$ e simplifique.

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Etapa 5.1

Substitua $- 9$ por $C$ .

$y = - 8 \ln (| x - 7 |) - 9$

Etapa 5.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.2.1

Simplifique $- 8 \ln (| x - 7 |)$ movendo $8$ para dentro do logaritmo.

$y = - \ln ({| x - 7 |}^{8}) - 9$

Etapa 5.2.2

Remova o valor absoluto em ${| x - 7 |}^{8}$ , porque exponenciações com potências pares são sempre positivas.

$y = - \ln ({(x - 7)}^{8}) - 9$