Cálculo Exemplos

$(x - 4) y^{4} d x - x^{3} (y^{2} - 3) d y = 0$

Etapa 1

Subtraia $(x - 4) y^{4} d x$ dos dois lados da equação.

$- x^{3} (y^{2} - 3) d y = - (x - 4) y^{4} d x$

Etapa 2

Multiplique os dois lados por $\frac{1}{x^{3} y^{4}}$ .

$\frac{1}{x^{3} y^{4}} (- x^{3} (y^{2} - 3)) d y = \frac{1}{x^{3} y^{4}} (- (x - 4) y^{4}) d x$

Etapa 3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$- \frac{1}{x^{3} y^{4}} (x^{3} (y^{2} - 3)) d y = \frac{1}{x^{3} y^{4}} (- (x - 4) y^{4}) d x$

Etapa 3.2

Cancele o fator comum de $x^{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{1}{x^{3} y^{4}}$ para o numerador.

$\frac{- 1}{x^{3} y^{4}} (x^{3} (y^{2} - 3)) d y = \frac{1}{x^{3} y^{4}} (- (x - 4) y^{4}) d x$

Etapa 3.2.2

Fatore $x^{3}$ de $x^{3} y^{4}$ .

$\frac{- 1}{x^{3} (y^{4})} (x^{3} (y^{2} - 3)) d y = \frac{1}{x^{3} y^{4}} (- (x - 4) y^{4}) d x$

Etapa 3.2.3

Cancele o fator comum.

$\frac{- 1}{x^{3} y^{4}} (x^{3} (y^{2} - 3)) d y = \frac{1}{x^{3} y^{4}} (- (x - 4) y^{4}) d x$

Etapa 3.2.4

Reescreva a expressão.

$\frac{- 1}{y^{4}} (y^{2} - 3) d y = \frac{1}{x^{3} y^{4}} (- (x - 4) y^{4}) d x$

Etapa 3.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{1}{y^{4}} (y^{2} - 3) d y = \frac{1}{x^{3} y^{4}} (- (x - 4) y^{4}) d x$

Etapa 3.4

Aplique a propriedade distributiva.

$(- \frac{1}{y^{4}} y^{2} - \frac{1}{y^{4}} \cdot - 3) d y = \frac{1}{x^{3} y^{4}} (- (x - 4) y^{4}) d x$

Etapa 3.5

Cancele o fator comum de $y^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{1}{y^{4}}$ para o numerador.

$(\frac{- 1}{y^{4}} y^{2} - \frac{1}{y^{4}} \cdot - 3) d y = \frac{1}{x^{3} y^{4}} (- (x - 4) y^{4}) d x$

Etapa 3.5.2

Fatore $y^{2}$ de $y^{4}$ .

$(\frac{- 1}{y^{2} y^{2}} y^{2} - \frac{1}{y^{4}} \cdot - 3) d y = \frac{1}{x^{3} y^{4}} (- (x - 4) y^{4}) d x$

Etapa 3.5.3

Cancele o fator comum.

$(\frac{- 1}{y^{2} y^{2}} y^{2} - \frac{1}{y^{4}} \cdot - 3) d y = \frac{1}{x^{3} y^{4}} (- (x - 4) y^{4}) d x$

Etapa 3.5.4

Reescreva a expressão.

$(\frac{- 1}{y^{2}} - \frac{1}{y^{4}} \cdot - 3) d y = \frac{1}{x^{3} y^{4}} (- (x - 4) y^{4}) d x$

Etapa 3.6

Multiplique $- \frac{1}{y^{4}} \cdot - 3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.6.1

Multiplique $- 3$ por $- 1$ .

$(\frac{- 1}{y^{2}} + 3 \frac{1}{y^{4}}) d y = \frac{1}{x^{3} y^{4}} (- (x - 4) y^{4}) d x$

Etapa 3.6.2

Combine $3$ e $\frac{1}{y^{4}}$ .

$(\frac{- 1}{y^{2}} + \frac{3}{y^{4}}) d y = \frac{1}{x^{3} y^{4}} (- (x - 4) y^{4}) d x$

Etapa 3.7

Mova o número negativo para a frente da fração.

$(- \frac{1}{y^{2}} + \frac{3}{y^{4}}) d y = \frac{1}{x^{3} y^{4}} (- (x - 4) y^{4}) d x$

Etapa 3.8

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$(- \frac{1}{y^{2}} + \frac{3}{y^{4}}) d y = - \frac{1}{x^{3} y^{4}} ((x - 4) y^{4}) d x$

Etapa 3.9

Cancele o fator comum de $y^{4}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.9.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{1}{x^{3} y^{4}}$ para o numerador.

$(- \frac{1}{y^{2}} + \frac{3}{y^{4}}) d y = \frac{- 1}{x^{3} y^{4}} ((x - 4) y^{4}) d x$

Etapa 3.9.2

Fatore $y^{4}$ de $x^{3} y^{4}$ .

$(- \frac{1}{y^{2}} + \frac{3}{y^{4}}) d y = \frac{- 1}{y^{4} x^{3}} ((x - 4) y^{4}) d x$

Etapa 3.9.3

Fatore $y^{4}$ de $(x - 4) y^{4}$ .

$(- \frac{1}{y^{2}} + \frac{3}{y^{4}}) d y = \frac{- 1}{y^{4} x^{3}} (y^{4} (x - 4)) d x$

Etapa 3.9.4

Cancele o fator comum.

$(- \frac{1}{y^{2}} + \frac{3}{y^{4}}) d y = \frac{- 1}{y^{4} x^{3}} (y^{4} (x - 4)) d x$

Etapa 3.9.5

Reescreva a expressão.

$(- \frac{1}{y^{2}} + \frac{3}{y^{4}}) d y = \frac{- 1}{x^{3}} (x - 4) d x$

Etapa 3.10

Mova o número negativo para a frente da fração.

$(- \frac{1}{y^{2}} + \frac{3}{y^{4}}) d y = - \frac{1}{x^{3}} (x - 4) d x$

Etapa 3.11

Aplique a propriedade distributiva.

$(- \frac{1}{y^{2}} + \frac{3}{y^{4}}) d y = (- \frac{1}{x^{3}} x - \frac{1}{x^{3}} \cdot - 4) d x$

Etapa 3.12

Cancele o fator comum de $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.12.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{1}{x^{3}}$ para o numerador.

$(- \frac{1}{y^{2}} + \frac{3}{y^{4}}) d y = (\frac{- 1}{x^{3}} x - \frac{1}{x^{3}} \cdot - 4) d x$

Etapa 3.12.2

Fatore $x$ de $x^{3}$ .

$(- \frac{1}{y^{2}} + \frac{3}{y^{4}}) d y = (\frac{- 1}{x \cdot x^{2}} x - \frac{1}{x^{3}} \cdot - 4) d x$

Etapa 3.12.3

Cancele o fator comum.

$(- \frac{1}{y^{2}} + \frac{3}{y^{4}}) d y = (\frac{- 1}{x \cdot x^{2}} x - \frac{1}{x^{3}} \cdot - 4) d x$

Etapa 3.12.4

Reescreva a expressão.

$(- \frac{1}{y^{2}} + \frac{3}{y^{4}}) d y = (\frac{- 1}{x^{2}} - \frac{1}{x^{3}} \cdot - 4) d x$

Etapa 3.13

Multiplique $- \frac{1}{x^{3}} \cdot - 4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.13.1

Multiplique $- 4$ por $- 1$ .

$(- \frac{1}{y^{2}} + \frac{3}{y^{4}}) d y = (\frac{- 1}{x^{2}} + 4 \frac{1}{x^{3}}) d x$

Etapa 3.13.2

Combine $4$ e $\frac{1}{x^{3}}$ .

$(- \frac{1}{y^{2}} + \frac{3}{y^{4}}) d y = (\frac{- 1}{x^{2}} + \frac{4}{x^{3}}) d x$

Etapa 3.14

Mova o número negativo para a frente da fração.

$(- \frac{1}{y^{2}} + \frac{3}{y^{4}}) d y = (- \frac{1}{x^{2}} + \frac{4}{x^{3}}) d x$

Etapa 4

Integre os dois lados.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int - \frac{1}{y^{2}} + \frac{3}{y^{4}} d y = \int - \frac{1}{x^{2}} + \frac{4}{x^{3}} d x$

Etapa 4.2

Integre o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1

Divida a integral única em várias integrais.

$\int - \frac{1}{y^{2}} d y + \int \frac{3}{y^{4}} d y = \int - \frac{1}{x^{2}} + \frac{4}{x^{3}} d x$

Etapa 4.2.2

Como $- 1$ é constante com relação a $y$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$- \int \frac{1}{y^{2}} d y + \int \frac{3}{y^{4}} d y = \int - \frac{1}{x^{2}} + \frac{4}{x^{3}} d x$

Etapa 4.2.3

Aplique regras básicas de expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.3.1

Mova $y^{2}$ para fora do denominador, elevando-o à $- 1$ potência.

$- \int {(y^{2})}^{- 1} d y + \int \frac{3}{y^{4}} d y = \int - \frac{1}{x^{2}} + \frac{4}{x^{3}} d x$

Etapa 4.2.3.2

Multiplique os expoentes em ${(y^{2})}^{- 1}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.3.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \int y^{2 \cdot - 1} d y + \int \frac{3}{y^{4}} d y = \int - \frac{1}{x^{2}} + \frac{4}{x^{3}} d x$

Etapa 4.2.3.2.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$- \int y^{- 2} d y + \int \frac{3}{y^{4}} d y = \int - \frac{1}{x^{2}} + \frac{4}{x^{3}} d x$

Etapa 4.2.4

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $y^{- 2}$ com relação a $y$ é $- y^{- 1}$ .

$- (- y^{- 1} + C_{1}) + \int \frac{3}{y^{4}} d y = \int - \frac{1}{x^{2}} + \frac{4}{x^{3}} d x$

Etapa 4.2.5

Como $3$ é constante com relação a $y$ , mova $3$ para fora da integral.

$- (- y^{- 1} + C_{1}) + 3 \int \frac{1}{y^{4}} d y = \int - \frac{1}{x^{2}} + \frac{4}{x^{3}} d x$

Etapa 4.2.6

Aplique regras básicas de expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.6.1

Mova $y^{4}$ para fora do denominador, elevando-o à $- 1$ potência.

$- (- y^{- 1} + C_{1}) + 3 \int {(y^{4})}^{- 1} d y = \int - \frac{1}{x^{2}} + \frac{4}{x^{3}} d x$

Etapa 4.2.6.2

Multiplique os expoentes em ${(y^{4})}^{- 1}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.6.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- (- y^{- 1} + C_{1}) + 3 \int y^{4 \cdot - 1} d y = \int - \frac{1}{x^{2}} + \frac{4}{x^{3}} d x$

Etapa 4.2.6.2.2

Multiplique $4$ por $- 1$ .

$- (- y^{- 1} + C_{1}) + 3 \int y^{- 4} d y = \int - \frac{1}{x^{2}} + \frac{4}{x^{3}} d x$

Etapa 4.2.7

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $y^{- 4}$ com relação a $y$ é $- \frac{1}{3} y^{- 3}$ .

$- (- y^{- 1} + C_{1}) + 3 (- \frac{1}{3} y^{- 3} + C_{2}) = \int - \frac{1}{x^{2}} + \frac{4}{x^{3}} d x$

Etapa 4.2.8

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.8.1

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.8.1.1

Combine $y^{- 3}$ e $\frac{1}{3}$ .

$- (- y^{- 1} + C_{1}) + 3 (- \frac{y^{- 3}}{3} + C_{2}) = \int - \frac{1}{x^{2}} + \frac{4}{x^{3}} d x$

Etapa 4.2.8.1.2

Mova $y^{- 3}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- (- y^{- 1} + C_{1}) + 3 (- \frac{1}{3 y^{3}} + C_{2}) = \int - \frac{1}{x^{2}} + \frac{4}{x^{3}} d x$

Etapa 4.2.8.2

Simplifique.

$- - \frac{1}{y} + 3 (- \frac{1}{3 y^{3}}) + C_{3} = \int - \frac{1}{x^{2}} + \frac{4}{x^{3}} d x$

Etapa 4.2.8.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.8.3.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$1 \frac{1}{y} + 3 (- \frac{1}{3 y^{3}}) + C_{3} = \int - \frac{1}{x^{2}} + \frac{4}{x^{3}} d x$

Etapa 4.2.8.3.2

Multiplique $\frac{1}{y}$ por $1$ .

$\frac{1}{y} + 3 (- \frac{1}{3 y^{3}}) + C_{3} = \int - \frac{1}{x^{2}} + \frac{4}{x^{3}} d x$

Etapa 4.2.8.3.3

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$\frac{1}{y} - 3 \frac{1}{3 y^{3}} + C_{3} = \int - \frac{1}{x^{2}} + \frac{4}{x^{3}} d x$

Etapa 4.2.8.3.4

Combine $- 3$ e $\frac{1}{3 y^{3}}$ .

$\frac{1}{y} + \frac{- 3}{3 y^{3}} + C_{3} = \int - \frac{1}{x^{2}} + \frac{4}{x^{3}} d x$

Etapa 4.2.8.3.5

Cancele o fator comum de $- 3$ e $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.8.3.5.1

Fatore $3$ de $- 3$ .

$\frac{1}{y} + \frac{3 \cdot - 1}{3 y^{3}} + C_{3} = \int - \frac{1}{x^{2}} + \frac{4}{x^{3}} d x$

Etapa 4.2.8.3.5.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.8.3.5.2.1

Fatore $3$ de $3 y^{3}$ .

$\frac{1}{y} + \frac{3 \cdot - 1}{3 (y^{3})} + C_{3} = \int - \frac{1}{x^{2}} + \frac{4}{x^{3}} d x$

Etapa 4.2.8.3.5.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{y} + \frac{3 \cdot - 1}{3 y^{3}} + C_{3} = \int - \frac{1}{x^{2}} + \frac{4}{x^{3}} d x$

Etapa 4.2.8.3.5.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{y} + \frac{- 1}{y^{3}} + C_{3} = \int - \frac{1}{x^{2}} + \frac{4}{x^{3}} d x$

Etapa 4.2.8.3.6

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{1}{y} - \frac{1}{y^{3}} + C_{3} = \int - \frac{1}{x^{2}} + \frac{4}{x^{3}} d x$

Etapa 4.3

Integre o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.1

Divida a integral única em várias integrais.

$\frac{1}{y} - \frac{1}{y^{3}} + C_{3} = \int - \frac{1}{x^{2}} d x + \int \frac{4}{x^{3}} d x$

Etapa 4.3.2

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$\frac{1}{y} - \frac{1}{y^{3}} + C_{3} = - \int \frac{1}{x^{2}} d x + \int \frac{4}{x^{3}} d x$

Etapa 4.3.3

Aplique regras básicas de expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.3.1

Mova $x^{2}$ para fora do denominador, elevando-o à $- 1$ potência.

$\frac{1}{y} - \frac{1}{y^{3}} + C_{3} = - \int {(x^{2})}^{- 1} d x + \int \frac{4}{x^{3}} d x$

Etapa 4.3.3.2

Multiplique os expoentes em ${(x^{2})}^{- 1}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.3.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{y} - \frac{1}{y^{3}} + C_{3} = - \int x^{2 \cdot - 1} d x + \int \frac{4}{x^{3}} d x$

Etapa 4.3.3.2.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\frac{1}{y} - \frac{1}{y^{3}} + C_{3} = - \int x^{- 2} d x + \int \frac{4}{x^{3}} d x$

Etapa 4.3.4

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{- 2}$ com relação a $x$ é $- x^{- 1}$ .

$\frac{1}{y} - \frac{1}{y^{3}} + C_{3} = - (- x^{- 1} + C_{4}) + \int \frac{4}{x^{3}} d x$

Etapa 4.3.5

Como $4$ é constante com relação a $x$ , mova $4$ para fora da integral.

$\frac{1}{y} - \frac{1}{y^{3}} + C_{3} = - (- x^{- 1} + C_{4}) + 4 \int \frac{1}{x^{3}} d x$

Etapa 4.3.6

Aplique regras básicas de expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.6.1

Mova $x^{3}$ para fora do denominador, elevando-o à $- 1$ potência.

$\frac{1}{y} - \frac{1}{y^{3}} + C_{3} = - (- x^{- 1} + C_{4}) + 4 \int {(x^{3})}^{- 1} d x$

Etapa 4.3.6.2

Multiplique os expoentes em ${(x^{3})}^{- 1}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.6.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{y} - \frac{1}{y^{3}} + C_{3} = - (- x^{- 1} + C_{4}) + 4 \int x^{3 \cdot - 1} d x$

Etapa 4.3.6.2.2

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$\frac{1}{y} - \frac{1}{y^{3}} + C_{3} = - (- x^{- 1} + C_{4}) + 4 \int x^{- 3} d x$

Etapa 4.3.7

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{- 3}$ com relação a $x$ é $- \frac{1}{2} x^{- 2}$ .

$\frac{1}{y} - \frac{1}{y^{3}} + C_{3} = - (- x^{- 1} + C_{4}) + 4 (- \frac{1}{2} x^{- 2} + C_{5})$

Etapa 4.3.8

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.8.1

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.8.1.1

Combine $x^{- 2}$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{y} - \frac{1}{y^{3}} + C_{3} = - (- x^{- 1} + C_{4}) + 4 (- \frac{x^{- 2}}{2} + C_{5})$

Etapa 4.3.8.1.2

Mova $x^{- 2}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{y} - \frac{1}{y^{3}} + C_{3} = - (- x^{- 1} + C_{4}) + 4 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C_{5})$

Etapa 4.3.8.2

Simplifique.

$\frac{1}{y} - \frac{1}{y^{3}} + C_{3} = - - \frac{1}{x} + 4 (- \frac{1}{2 x^{2}}) + C_{6}$

Etapa 4.3.8.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.8.3.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{1}{y} - \frac{1}{y^{3}} + C_{3} = 1 \frac{1}{x} + 4 (- \frac{1}{2 x^{2}}) + C_{6}$

Etapa 4.3.8.3.2

Multiplique $\frac{1}{x}$ por $1$ .

$\frac{1}{y} - \frac{1}{y^{3}} + C_{3} = \frac{1}{x} + 4 (- \frac{1}{2 x^{2}}) + C_{6}$

Etapa 4.3.8.3.3

Multiplique $- 1$ por $4$ .

$\frac{1}{y} - \frac{1}{y^{3}} + C_{3} = \frac{1}{x} - 4 \frac{1}{2 x^{2}} + C_{6}$

Etapa 4.3.8.3.4

Combine $- 4$ e $\frac{1}{2 x^{2}}$ .

$\frac{1}{y} - \frac{1}{y^{3}} + C_{3} = \frac{1}{x} + \frac{- 4}{2 x^{2}} + C_{6}$

Etapa 4.3.8.3.5

Cancele o fator comum de $- 4$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.8.3.5.1

Fatore $2$ de $- 4$ .

$\frac{1}{y} - \frac{1}{y^{3}} + C_{3} = \frac{1}{x} + \frac{2 \cdot - 2}{2 x^{2}} + C_{6}$

Etapa 4.3.8.3.5.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.8.3.5.2.1

Fatore $2$ de $2 x^{2}$ .

$\frac{1}{y} - \frac{1}{y^{3}} + C_{3} = \frac{1}{x} + \frac{2 \cdot - 2}{2 (x^{2})} + C_{6}$

Etapa 4.3.8.3.5.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{y} - \frac{1}{y^{3}} + C_{3} = \frac{1}{x} + \frac{2 \cdot - 2}{2 x^{2}} + C_{6}$

Etapa 4.3.8.3.5.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{y} - \frac{1}{y^{3}} + C_{3} = \frac{1}{x} + \frac{- 2}{x^{2}} + C_{6}$

Etapa 4.3.8.3.6

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{1}{y} - \frac{1}{y^{3}} + C_{3} = \frac{1}{x} - \frac{2}{x^{2}} + C_{6}$

Etapa 4.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $K$ .

$\frac{1}{y} - \frac{1}{y^{3}} = \frac{1}{x} - \frac{2}{x^{2}} + K$