Cálculo Exemplos

$\frac{d y}{d x} = y^{4}$

Etapa 1

Separe as variáveis.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Multiplique os dois lados por $\frac{1}{y^{4}}$ .

$\frac{1}{y^{4}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{4}} y^{4}$

Etapa 1.2

Cancele o fator comum de $y^{4}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{y^{4}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{4}} y^{4}$

Etapa 1.2.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{y^{4}} \frac{d y}{d x} = 1$

Etapa 1.3

Reescreva a equação.

$\frac{1}{y^{4}} d y = 1 d x$

Etapa 2

Integre os dois lados.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{1}{y^{4}} d y = \int d x$

Etapa 2.2

Integre o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Aplique regras básicas de expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1.1

Mova $y^{4}$ para fora do denominador, elevando-o à $- 1$ potência.

$\int {(y^{4})}^{- 1} d y = \int d x$

Etapa 2.2.1.2

Multiplique os expoentes em ${(y^{4})}^{- 1}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int y^{4 \cdot - 1} d y = \int d x$

Etapa 2.2.1.2.2

Multiplique $4$ por $- 1$ .

$\int y^{- 4} d y = \int d x$

Etapa 2.2.2

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $y^{- 4}$ com relação a $y$ é $- \frac{1}{3} y^{- 3}$ .

$- \frac{1}{3} y^{- 3} + C_{1} = \int d x$

Etapa 2.2.3

Simplifique a resposta.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.3.1

Reescreva $- \frac{1}{3} y^{- 3} + C_{1}$ como $- \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{y^{3}} + C_{1}$ .

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{y^{3}} + C_{1} = \int d x$

Etapa 2.2.3.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.3.2.1

Multiplique $\frac{1}{y^{3}}$ por $\frac{1}{3}$ .

$- \frac{1}{y^{3} \cdot 3} + C_{1} = \int d x$

Etapa 2.2.3.2.2

Mova $3$ para a esquerda de $y^{3}$ .

$- \frac{1}{3 y^{3}} + C_{1} = \int d x$

Etapa 2.3

Aplique a regra da constante.

$- \frac{1}{3 y^{3}} + C_{1} = x + C_{2}$

Etapa 2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $K$ .

$- \frac{1}{3 y^{3}} = x + K$

Etapa 3

Resolva $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Encontre o MMC dos termos na equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.1

Encontrar o MMC de uma lista de valores é o mesmo que encontrar o MMC dos denominadores desses valores.

$3 y^{3}, 1, 1$

Etapa 3.1.2

O MMC de um e qualquer expressão é a expressão.

$3 y^{3}$

Etapa 3.2

Multiplique cada termo em $- \frac{1}{3 y^{3}} = x + K$ por $3 y^{3}$ para eliminar as frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1

Multiplique cada termo em $- \frac{1}{3 y^{3}} = x + K$ por $3 y^{3}$ .

$- \frac{1}{3 y^{3}} (3 y^{3}) = x (3 y^{3}) + K (3 y^{3})$

Etapa 3.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.1

Cancele o fator comum de $3 y^{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.1.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{1}{3 y^{3}}$ para o numerador.

$\frac{- 1}{3 y^{3}} (3 y^{3}) = x (3 y^{3}) + K (3 y^{3})$

Etapa 3.2.2.1.2

Cancele o fator comum.

$\frac{- 1}{3 y^{3}} (3 y^{3}) = x (3 y^{3}) + K (3 y^{3})$

Etapa 3.2.2.1.3

Reescreva a expressão.

$- 1 = x (3 y^{3}) + K (3 y^{3})$

Etapa 3.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.3.1.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$- 1 = 3 x y^{3} + K (3 y^{3})$

Etapa 3.2.3.1.2

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$- 1 = 3 x y^{3} + 3 K y^{3}$

Etapa 3.3

Resolva a equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1

Reescreva a equação como $3 x y^{3} + 3 K y^{3} = - 1$ .

$3 x y^{3} + 3 K y^{3} = - 1$

Etapa 3.3.2

Fatore $3 y^{3}$ de $3 x y^{3} + 3 K y^{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.1

Fatore $3 y^{3}$ de $3 x y^{3}$ .

$3 y^{3} (x) + 3 K y^{3} = - 1$

Etapa 3.3.2.2

Fatore $3 y^{3}$ de $3 K y^{3}$ .

$3 y^{3} (x) + 3 y^{3} K = - 1$

Etapa 3.3.2.3

Fatore $3 y^{3}$ de $3 y^{3} (x) + 3 y^{3} K$ .

$3 y^{3} (x + K) = - 1$

Etapa 3.3.3

Divida cada termo em $3 y^{3} (x + K) = - 1$ por $3 (x + K)$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.3.1

Divida cada termo em $3 y^{3} (x + K) = - 1$ por $3 (x + K)$ .

$\frac{3 y^{3} (x + K)}{3 (x + K)} = \frac{- 1}{3 (x + K)}$

Etapa 3.3.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.3.2.1

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{3 y^{3} (x + K)}{3 (x + K)} = \frac{- 1}{3 (x + K)}$

Etapa 3.3.3.2.1.2

Reescreva a expressão.

$\frac{y^{3} (x + K)}{x + K} = \frac{- 1}{3 (x + K)}$

Etapa 3.3.3.2.2

Cancele o fator comum de $x + K$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.3.2.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y^{3} (x + K)}{x + K} = \frac{- 1}{3 (x + K)}$

Etapa 3.3.3.2.2.2

Divida $y^{3}$ por $1$ .

$y^{3} = \frac{- 1}{3 (x + K)}$

Etapa 3.3.3.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.3.3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y^{3} = - \frac{1}{3 (x + K)}$

Etapa 3.3.4

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$y = \sqrt[3]{- \frac{1}{3 (x + K)}}$

Etapa 3.3.5

Simplifique $\sqrt[3]{- \frac{1}{3 (x + K)}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.5.1

Reescreva $- \frac{1}{3 (x + K)}$ como ${({(- 1)}^{3})}^{3} \frac{1}{3 (x + K)}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.5.1.1

Reescreva $- 1$ como ${(- 1)}^{3}$ .

$y = \sqrt[3]{{(- 1)}^{3} \frac{1}{3 (x + K)}}$

Etapa 3.3.5.1.2

Reescreva $- 1$ como ${(- 1)}^{3}$ .

$y = \sqrt[3]{{({(- 1)}^{3})}^{3} \frac{1}{3 (x + K)}}$

Etapa 3.3.5.2

Elimine os termos abaixo do radical.

$y = {(- 1)}^{3} \sqrt[3]{\frac{1}{3 (x + K)}}$

Etapa 3.3.5.3

Eleve $- 1$ à potência de $3$ .

$y = - \sqrt[3]{\frac{1}{3 (x + K)}}$

Etapa 3.3.5.4

Reescreva $\sqrt[3]{\frac{1}{3 (x + K)}}$ como $\frac{\sqrt[3]{1}}{\sqrt[3]{3 (x + K)}}$ .

$y = - \frac{\sqrt[3]{1}}{\sqrt[3]{3 (x + K)}}$

Etapa 3.3.5.5

Qualquer raiz de $1$ é $1$ .

$y = - \frac{1}{\sqrt[3]{3 (x + K)}}$

Etapa 3.3.5.6

Multiplique $\frac{1}{\sqrt[3]{3 (x + K)}}$ por $\frac{{\sqrt[3]{3 (x + K)}}^{2}}{{\sqrt[3]{3 (x + K)}}^{2}}$ .

$y = - (\frac{1}{\sqrt[3]{3 (x + K)}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{3 (x + K)}}^{2}}{{\sqrt[3]{3 (x + K)}}^{2}})$

Etapa 3.3.5.7

Combine e simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.5.7.1

Multiplique $\frac{1}{\sqrt[3]{3 (x + K)}}$ por $\frac{{\sqrt[3]{3 (x + K)}}^{2}}{{\sqrt[3]{3 (x + K)}}^{2}}$ .

$y = - \frac{{\sqrt[3]{3 (x + K)}}^{2}}{\sqrt[3]{3 (x + K)} {\sqrt[3]{3 (x + K)}}^{2}}$

Etapa 3.3.5.7.2

Eleve $\sqrt[3]{3 (x + K)}$ à potência de $1$ .

$y = - \frac{{\sqrt[3]{3 (x + K)}}^{2}}{{\sqrt[3]{3 (x + K)}}^{1} {\sqrt[3]{3 (x + K)}}^{2}}$

Etapa 3.3.5.7.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$y = - \frac{{\sqrt[3]{3 (x + K)}}^{2}}{{\sqrt[3]{3 (x + K)}}^{1 + 2}}$

Etapa 3.3.5.7.4

Some $1$ e $2$ .

$y = - \frac{{\sqrt[3]{3 (x + K)}}^{2}}{{\sqrt[3]{3 (x + K)}}^{3}}$

Etapa 3.3.5.7.5

Reescreva ${\sqrt[3]{3 (x + K)}}^{3}$ como $3 (x + K)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.5.7.5.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt[3]{3 (x + K)}$ como ${(3 (x + K))}^{\frac{1}{3}}$ .

$y = - \frac{{\sqrt[3]{3 (x + K)}}^{2}}{{({(3 (x + K))}^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

Etapa 3.3.5.7.5.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = - \frac{{\sqrt[3]{3 (x + K)}}^{2}}{{(3 (x + K))}^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

Etapa 3.3.5.7.5.3

Combine $\frac{1}{3}$ e $3$ .

$y = - \frac{{\sqrt[3]{3 (x + K)}}^{2}}{{(3 (x + K))}^{\frac{3}{3}}}$

Etapa 3.3.5.7.5.4

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.5.7.5.4.1

Cancele o fator comum.

$y = - \frac{{\sqrt[3]{3 (x + K)}}^{2}}{{(3 (x + K))}^{\frac{3}{3}}}$

Etapa 3.3.5.7.5.4.2

Reescreva a expressão.

$y = - \frac{{\sqrt[3]{3 (x + K)}}^{2}}{{(3 (x + K))}^{1}}$

Etapa 3.3.5.7.5.5

Simplifique.

$y = - \frac{{\sqrt[3]{3 (x + K)}}^{2}}{3 (x + K)}$

Etapa 3.3.5.8

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.5.8.1

Reescreva ${\sqrt[3]{3 (x + K)}}^{2}$ como $\sqrt[3]{{(3 (x + K))}^{2}}$ .

$y = - \frac{\sqrt[3]{{(3 (x + K))}^{2}}}{3 (x + K)}$

Etapa 3.3.5.8.2

Aplique a regra do produto a $3 (x + K)$ .

$y = - \frac{\sqrt[3]{3^{2} {(x + K)}^{2}}}{3 (x + K)}$

Etapa 3.3.5.8.3

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$y = - \frac{\sqrt[3]{9 {(x + K)}^{2}}}{3 (x + K)}$