Cálculo Exemplos

$\frac{d p}{d t} + 20 p - 240 = 0$

Etapa 1

Separe as variáveis.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Mova todos os termos que não contêm $\frac{d p}{d t}$ para o lado direito da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Subtraia $20 p$ dos dois lados da equação.

$\frac{d p}{d t} - 240 = - 20 p$

Etapa 1.1.2

Some $240$ aos dois lados da equação.

$\frac{d p}{d t} = - 20 p + 240$

Etapa 1.2

Multiplique os dois lados por $\frac{1}{- 20 p + 240}$ .

$\frac{1}{- 20 p + 240} \frac{d p}{d t} = \frac{1}{- 20 p + 240} (- 20 p + 240)$

Etapa 1.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1

Fatore $20$ de $- 20 p + 240$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1.1

Fatore $20$ de $- 20 p$ .

$\frac{1}{- 20 p + 240} \frac{d p}{d t} = \frac{1}{20 (- p) + 240} (- 20 p + 240)$

Etapa 1.3.1.2

Fatore $20$ de $240$ .

$\frac{1}{- 20 p + 240} \frac{d p}{d t} = \frac{1}{20 (- p) + 20 (12)} (- 20 p + 240)$

Etapa 1.3.1.3

Fatore $20$ de $20 (- p) + 20 (12)$ .

$\frac{1}{- 20 p + 240} \frac{d p}{d t} = \frac{1}{20 (- p + 12)} (- 20 p + 240)$

Etapa 1.3.2

Multiplique $\frac{1}{20 (- p + 12)}$ por $- 20 p + 240$ .

$\frac{1}{- 20 p + 240} \frac{d p}{d t} = \frac{- 20 p + 240}{20 (- p + 12)}$

Etapa 1.3.3

Cancele o fator comum de $- 20 p + 240$ e $20$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.3.1

Fatore $20$ de $- 20 p$ .

$\frac{1}{- 20 p + 240} \frac{d p}{d t} = \frac{20 (- p) + 240}{20 (- p + 12)}$

Etapa 1.3.3.2

Fatore $20$ de $240$ .

$\frac{1}{- 20 p + 240} \frac{d p}{d t} = \frac{20 (- p) + 20 \cdot 12}{20 (- p + 12)}$

Etapa 1.3.3.3

Fatore $20$ de $20 (- p) + 20 (12)$ .

$\frac{1}{- 20 p + 240} \frac{d p}{d t} = \frac{20 (- p + 12)}{20 (- p + 12)}$

Etapa 1.3.3.4

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.3.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{- 20 p + 240} \frac{d p}{d t} = \frac{20 (- p + 12)}{20 (- p + 12)}$

Etapa 1.3.3.4.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{- 20 p + 240} \frac{d p}{d t} = \frac{- p + 12}{- p + 12}$

Etapa 1.3.4

Cancele o fator comum de $- p + 12$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{- 20 p + 240} \frac{d p}{d t} = \frac{- p + 12}{- p + 12}$

Etapa 1.3.4.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{- 20 p + 240} \frac{d p}{d t} = 1$

Etapa 1.4

Reescreva a equação.

$\frac{1}{- 20 p + 240} d p = 1 d t$

Etapa 2

Integre os dois lados.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{1}{- 20 p + 240} d p = \int d t$

Etapa 2.2

Integre o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Deixe $u = - 20 p + 240$ . Depois, $d u = - 20 d p$ , então, $- \frac{1}{20} d u = d p$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1.1

Deixe $u = - 20 p + 240$ . Encontre $\frac{d u}{d p}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1.1.1

Diferencie $- 20 p + 240$ .

$\frac{d}{d p} [- 20 p + 240]$

Etapa 2.2.1.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $- 20 p + 240$ com relação a $p$ é $\frac{d}{d p} [- 20 p] + \frac{d}{d p} [240]$ .

$\frac{d}{d p} [- 20 p] + \frac{d}{d p} [240]$

Etapa 2.2.1.1.3

Avalie $\frac{d}{d p} [- 20 p]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1.1.3.1

Como $- 20$ é constante em relação a $p$ , a derivada de $- 20 p$ em relação a $p$ é $- 20 \frac{d}{d p} [p]$ .

$- 20 \frac{d}{d p} [p] + \frac{d}{d p} [240]$

Etapa 2.2.1.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d p} [p^{n}]$ é $n p^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- 20 \cdot 1 + \frac{d}{d p} [240]$

Etapa 2.2.1.1.3.3

Multiplique $- 20$ por $1$ .

$- 20 + \frac{d}{d p} [240]$

Etapa 2.2.1.1.4

Diferencie usando a regra da constante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1.1.4.1

Como $240$ é constante em relação a $p$ , a derivada de $240$ em relação a $p$ é $0$ .

$- 20 + 0$

Etapa 2.2.1.1.4.2

Some $- 20$ e $0$ .

$- 20$

Etapa 2.2.1.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$\int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{- 20} d u = \int d t$

Etapa 2.2.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.2.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\int \frac{1}{u} (- \frac{1}{20}) d u = \int d t$

Etapa 2.2.2.2

Multiplique $\frac{1}{u}$ por $\frac{1}{20}$ .

$\int - \frac{1}{u \cdot 20} d u = \int d t$

Etapa 2.2.2.3

Mova $20$ para a esquerda de $u$ .

$\int - \frac{1}{20 u} d u = \int d t$

Etapa 2.2.3

Como $- 1$ é constante com relação a $u$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$- \int \frac{1}{20 u} d u = \int d t$

Etapa 2.2.4

Como $\frac{1}{20}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{20}$ para fora da integral.

$- (\frac{1}{20} \int \frac{1}{u} d u) = \int d t$

Etapa 2.2.5

A integral de $\frac{1}{u}$ com relação a $u$ é $\ln (| u |)$ .

$- \frac{1}{20} (\ln (| u |) + C_{1}) = \int d t$

Etapa 2.2.6

Simplifique.

$- \frac{1}{20} \ln (| u |) + C_{1} = \int d t$

Etapa 2.2.7

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $- 20 p + 240$ .

$- \frac{1}{20} \ln (| - 20 p + 240 |) + C_{1} = \int d t$

Etapa 2.3

Aplique a regra da constante.

$- \frac{1}{20} \ln (| - 20 p + 240 |) + C_{1} = t + C_{2}$

Etapa 2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $C$ .

$- \frac{1}{20} \ln (| - 20 p + 240 |) = t + C$

Etapa 3

Resolva $p$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Multiplique os dois lados da equação por $- 20$ .

$- 20 (- \frac{1}{20} \ln (| - 20 p + 240 |)) = - 20 (t + C)$

Etapa 3.2

Simplifique os dois lados da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1.1

Simplifique $- 20 (- \frac{1}{20} \ln (| - 20 p + 240 |))$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1.1.1

Combine $\ln (| - 20 p + 240 |)$ e $\frac{1}{20}$ .

$- 20 (- \frac{\ln (| - 20 p + 240 |)}{20}) = - 20 (t + C)$

Etapa 3.2.1.1.2

Cancele o fator comum de $20$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1.1.2.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{\ln (| - 20 p + 240 |)}{20}$ para o numerador.

$- 20 \frac{- \ln (| - 20 p + 240 |)}{20} = - 20 (t + C)$

Etapa 3.2.1.1.2.2

Fatore $20$ de $- 20$ .

$20 (- 1) \frac{- \ln (| - 20 p + 240 |)}{20} = - 20 (t + C)$

Etapa 3.2.1.1.2.3

Cancele o fator comum.

$20 \cdot - 1 \frac{- \ln (| - 20 p + 240 |)}{20} = - 20 (t + C)$

Etapa 3.2.1.1.2.4

Reescreva a expressão.

$- - \ln (| - 20 p + 240 |) = - 20 (t + C)$

Etapa 3.2.1.1.3

Multiplique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1.1.3.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$1 \ln (| - 20 p + 240 |) = - 20 (t + C)$

Etapa 3.2.1.1.3.2

Multiplique $\ln (| - 20 p + 240 |)$ por $1$ .

$\ln (| - 20 p + 240 |) = - 20 (t + C)$

Etapa 3.2.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\ln (| - 20 p + 240 |) = - 20 t - 20 C$

Etapa 3.3

Para resolver $p$ , reescreva a equação usando propriedades de logaritmos.

$e^{\ln (| - 20 p + 240 |)} = e^{- 20 t - 20 C}$

Etapa 3.4

Reescreva $\ln (| - 20 p + 240 |) = - 20 t - 20 C$ na forma exponencial usando a definição de um logaritmo. Se $x$ e $b$ forem números reais positivos e $b \neq 1$ , então, $\log_{b} (x) = y$ será equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{- 20 t - 20 C} = | - 20 p + 240 |$

Etapa 3.5

Resolva $p$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.1

Reescreva a equação como $| - 20 p + 240 | = e^{- 20 t - 20 C}$ .

$| - 20 p + 240 | = e^{- 20 t - 20 C}$

Etapa 3.5.2

Remova o termo de valor absoluto. Isso cria um $\pm$ no lado direito da equação, porque $| x | = \pm x$ .

$- 20 p + 240 = \pm e^{- 20 t - 20 C}$

Etapa 3.5.3

Subtraia $240$ dos dois lados da equação.

$- 20 p = \pm e^{- 20 t - 20 C} - 240$

Etapa 3.5.4

Divida cada termo em $- 20 p = \pm e^{- 20 t - 20 C} - 240$ por $- 20$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.4.1

Divida cada termo em $- 20 p = \pm e^{- 20 t - 20 C} - 240$ por $- 20$ .

$\frac{- 20 p}{- 20} = \frac{\pm e^{- 20 t - 20 C}}{- 20} + \frac{- 240}{- 20}$

Etapa 3.5.4.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.4.2.1

Cancele o fator comum de $- 20$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.4.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{- 20 p}{- 20} = \frac{\pm e^{- 20 t - 20 C}}{- 20} + \frac{- 240}{- 20}$

Etapa 3.5.4.2.1.2

Divida $p$ por $1$ .

$p = \frac{\pm e^{- 20 t - 20 C}}{- 20} + \frac{- 240}{- 20}$

Etapa 3.5.4.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.4.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.4.3.1.1

Simplifique $\frac{\pm e^{- 20 t - 20 C}}{- 20}$ .

$p = \frac{\pm e^{- 20 t - 20 C}}{20} + \frac{- 240}{- 20}$

Etapa 3.5.4.3.1.2

Divida $- 240$ por $- 20$ .

$p = \frac{\pm e^{- 20 t - 20 C}}{20} + 12$

Etapa 3.5.4.3.2

Para escrever $12$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{20}{20}$ .

$p = \frac{\pm e^{- 20 t - 20 C}}{20} + 12 \cdot \frac{20}{20}$

Etapa 3.5.4.3.3

Combine $12$ e $\frac{20}{20}$ .

$p = \frac{\pm e^{- 20 t - 20 C}}{20} + \frac{12 \cdot 20}{20}$

Etapa 3.5.4.3.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$p = \frac{\pm e^{- 20 t - 20 C} + 12 \cdot 20}{20}$

Etapa 3.5.4.3.5

Multiplique $12$ por $20$ .

$p = \frac{\pm e^{- 20 t - 20 C} + 240}{20}$

Etapa 4

Agrupe os termos da constante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Simplifique a constante de integração.

$p = \frac{\pm e^{- 20 t + C} + 240}{20}$

Etapa 4.2

Reescreva $e^{- 20 t + C}$ como $e^{- 20 t} e^{C}$ .

$p = \frac{\pm e^{- 20 t} e^{C} + 240}{20}$

Etapa 4.3

Reordene $e^{- 20 t}$ e $e^{C}$ .

$p = \frac{\pm e^{C} e^{- 20 t} + 240}{20}$

Etapa 4.4

Combine constantes com o sinal de mais ou menos.

$p = \frac{C e^{- 20 t} + 240}{20}$