Cálculo Exemplos

$\frac{d y}{d x} = \frac{\cos (3 x)}{\sin (2 y)}$

Etapa 1

Separe as variáveis.

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Etapa 1.1

Multiplique os dois lados por $\sin (2 y)$ .

$\sin (2 y) \frac{d y}{d x} = \sin (2 y) \frac{\cos (3 x)}{\sin (2 y)}$

Etapa 1.2

Cancele o fator comum de $\sin (2 y)$ .

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Etapa 1.2.1

Cancele o fator comum.

$\sin (2 y) \frac{d y}{d x} = \sin (2 y) \frac{\cos (3 x)}{\sin (2 y)}$

Etapa 1.2.2

Reescreva a expressão.

$\sin (2 y) \frac{d y}{d x} = \cos (3 x)$

Etapa 1.3

Reescreva a equação.

$\sin (2 y) d y = \cos (3 x) d x$

Etapa 2

Integre os dois lados.

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Etapa 2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int \sin (2 y) d y = \int \cos (3 x) d x$

Etapa 2.2

Integre o lado esquerdo.

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Etapa 2.2.1

Deixe $u_{1} = 2 y$ . Depois, $d u_{1} = 2 d y$ , então, $\frac{1}{2} d u_{1} = d y$ . Reescreva usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

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Etapa 2.2.1.1

Deixe $u_{1} = 2 y$ . Encontre $\frac{d u_{1}}{d y}$ .

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Etapa 2.2.1.1.1

Diferencie $2 y$ .

$\frac{d}{d y} [2 y]$

Etapa 2.2.1.1.2

Como $2$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $2 y$ em relação a $y$ é $2 \frac{d}{d y} [y]$ .

$2 \frac{d}{d y} [y]$

Etapa 2.2.1.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Etapa 2.2.1.1.4

Multiplique $2$ por $1$ .

$2$

Etapa 2.2.1.2

Reescreva o problema usando $u_{1}$ e $d u_{1}$ .

$\int \sin (u_{1}) \frac{1}{2} d u_{1} = \int \cos (3 x) d x$

Etapa 2.2.2

Combine $\sin (u_{1})$ e $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{\sin (u_{1})}{2} d u_{1} = \int \cos (3 x) d x$

Etapa 2.2.3

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $u_{1}$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$\frac{1}{2} \int \sin (u_{1}) d u_{1} = \int \cos (3 x) d x$

Etapa 2.2.4

A integral de $\sin (u_{1})$ com relação a $u_{1}$ é $- \cos (u_{1})$ .

$\frac{1}{2} (- \cos (u_{1}) + C_{1}) = \int \cos (3 x) d x$

Etapa 2.2.5

Simplifique.

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Etapa 2.2.5.1

Simplifique.

$\frac{1}{2} (- \cos (u_{1})) + C_{1} = \int \cos (3 x) d x$

Etapa 2.2.5.2

Combine $\frac{1}{2}$ e $\cos (u_{1})$ .

$- \frac{\cos (u_{1})}{2} + C_{1} = \int \cos (3 x) d x$

Etapa 2.2.6

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $2 y$ .

$- \frac{\cos (2 y)}{2} + C_{1} = \int \cos (3 x) d x$

Etapa 2.2.7

Reordene os termos.

$- \frac{1}{2} \cos (2 y) + C_{1} = \int \cos (3 x) d x$

Etapa 2.3

Integre o lado direito.

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Etapa 2.3.1

Deixe $u_{2} = 3 x$ . Depois, $d u_{2} = 3 d x$ , então, $\frac{1}{3} d u_{2} = d x$ . Reescreva usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

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Etapa 2.3.1.1

Deixe $u_{2} = 3 x$ . Encontre $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Etapa 2.3.1.1.1

Diferencie $3 x$ .

$\frac{d}{d x} [3 x]$

Etapa 2.3.1.1.2

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.3.1.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$3 \cdot 1$

Etapa 2.3.1.1.4

Multiplique $3$ por $1$ .

$3$

Etapa 2.3.1.2

Reescreva o problema usando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$- \frac{1}{2} \cos (2 y) + C_{1} = \int \cos (u_{2}) \frac{1}{3} d u_{2}$

Etapa 2.3.2

Combine $\cos (u_{2})$ e $\frac{1}{3}$ .

$- \frac{1}{2} \cos (2 y) + C_{1} = \int \frac{\cos (u_{2})}{3} d u_{2}$

Etapa 2.3.3

Como $\frac{1}{3}$ é constante com relação a $u_{2}$ , mova $\frac{1}{3}$ para fora da integral.

$- \frac{1}{2} \cos (2 y) + C_{1} = \frac{1}{3} \int \cos (u_{2}) d u_{2}$

Etapa 2.3.4

A integral de $\cos (u_{2})$ com relação a $u_{2}$ é $\sin (u_{2})$ .

$- \frac{1}{2} \cos (2 y) + C_{1} = \frac{1}{3} (\sin (u_{2}) + C_{2})$

Etapa 2.3.5

Simplifique.

$- \frac{1}{2} \cos (2 y) + C_{1} = \frac{1}{3} \sin (u_{2}) + C_{2}$

Etapa 2.3.6

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $3 x$ .

$- \frac{1}{2} \cos (2 y) + C_{1} = \frac{1}{3} \sin (3 x) + C_{2}$

Etapa 2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $K$ .

$- \frac{1}{2} \cos (2 y) = \frac{1}{3} \sin (3 x) + K$

Etapa 3

Resolva $y$ .

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Etapa 3.1

Use a fórmula do arco duplo para transformar $\cos (2 x)$ em $1 - 2 \sin^{2} (x)$ .

$- \frac{1}{2} (1 - 2 \sin^{2} (y)) = \frac{1}{3} \sin (3 x) + K$

Etapa 3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.2.1

Simplifique $- \frac{1}{2} (1 - 2 \sin^{2} (y))$ .

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Etapa 3.2.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$- \frac{1}{2} \cdot 1 - \frac{1}{2} (- 2 \sin^{2} (y)) = \frac{1}{3} \sin (3 x) + K$

Etapa 3.2.1.2

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$- \frac{1}{2} - \frac{1}{2} (- 2 \sin^{2} (y)) = \frac{1}{3} \sin (3 x) + K$

Etapa 3.2.1.3

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 3.2.1.3.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{1}{2}$ para o numerador.

$- \frac{1}{2} + \frac{- 1}{2} (- 2 \sin^{2} (y)) = \frac{1}{3} \sin (3 x) + K$

Etapa 3.2.1.3.2

Fatore $2$ de $- 2 \sin^{2} (y)$ .

$- \frac{1}{2} + \frac{- 1}{2} (2 (- \sin^{2} (y))) = \frac{1}{3} \sin (3 x) + K$

Etapa 3.2.1.3.3

Cancele o fator comum.

$- \frac{1}{2} + \frac{- 1}{2} (2 (- \sin^{2} (y))) = \frac{1}{3} \sin (3 x) + K$

Etapa 3.2.1.3.4

Reescreva a expressão.

$- \frac{1}{2} - - \sin^{2} (y) = \frac{1}{3} \sin (3 x) + K$

Etapa 3.2.1.4

Multiplique.

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Etapa 3.2.1.4.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$- \frac{1}{2} + 1 \sin^{2} (y) = \frac{1}{3} \sin (3 x) + K$

Etapa 3.2.1.4.2

Multiplique $\sin^{2} (y)$ por $1$ .

$- \frac{1}{2} + \sin^{2} (y) = \frac{1}{3} \sin (3 x) + K$

Etapa 3.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.3.1.1

Aplique a fórmula do arco triplo do seno.

$- \frac{1}{2} + \sin^{2} (y) = \frac{1}{3} (- 4 \sin^{3} (x) + 3 \sin (x)) + K$

Etapa 3.3.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$- \frac{1}{2} + \sin^{2} (y) = \frac{1}{3} (- 4 \sin^{3} (x)) + \frac{1}{3} (3 \sin (x)) + K$

Etapa 3.3.1.3

Multiplique $\frac{1}{3} (- 4 \sin^{3} (x))$ .

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Etapa 3.3.1.3.1

Combine $- 4$ e $\frac{1}{3}$ .

$- \frac{1}{2} + \sin^{2} (y) = \frac{- 4}{3} \sin^{3} (x) + \frac{1}{3} (3 \sin (x)) + K$

Etapa 3.3.1.3.2

Combine $\frac{- 4}{3}$ e $\sin^{3} (x)$ .

$- \frac{1}{2} + \sin^{2} (y) = \frac{- 4 \sin^{3} (x)}{3} + \frac{1}{3} (3 \sin (x)) + K$

Etapa 3.3.1.4

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 3.3.1.4.1

Fatore $3$ de $3 \sin (x)$ .

$- \frac{1}{2} + \sin^{2} (y) = \frac{- 4 \sin^{3} (x)}{3} + \frac{1}{3} (3 (\sin (x))) + K$

Etapa 3.3.1.4.2

Cancele o fator comum.

$- \frac{1}{2} + \sin^{2} (y) = \frac{- 4 \sin^{3} (x)}{3} + \frac{1}{3} (3 \sin (x)) + K$

Etapa 3.3.1.4.3

Reescreva a expressão.

$- \frac{1}{2} + \sin^{2} (y) = \frac{- 4 \sin^{3} (x)}{3} + \sin (x) + K$

Etapa 3.3.1.5

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{1}{2} + \sin^{2} (y) = - \frac{4 \sin^{3} (x)}{3} + \sin (x) + K$

Etapa 3.4

Resolva a equação para $y$ .

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Etapa 3.4.1

Some $\frac{1}{2}$ aos dois lados da equação.

$\sin^{2} (y) = - \frac{4 \sin^{3} (x)}{3} + \sin (x) + K + \frac{1}{2}$

Etapa 3.4.2

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$\sin (y) = \pm \sqrt{- \frac{4 \sin^{3} (x)}{3} + \sin (x) + K + \frac{1}{2}}$

Etapa 3.4.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 3.4.3.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$\sin (y) = \sqrt{- \frac{4 \sin^{3} (x)}{3} + \sin (x) + K + \frac{1}{2}}$

Etapa 3.4.3.2

Obtenha o seno inverso dos dois lados da equação para extrair $y$ de dentro do seno.

$y = \arcsin (\sqrt{- \frac{4 \sin^{3} (x)}{3} + \sin (x) + K + \frac{1}{2}})$

Etapa 3.4.3.3

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$\sin (y) = - \sqrt{- \frac{4 \sin^{3} (x)}{3} + \sin (x) + K + \frac{1}{2}}$

Etapa 3.4.3.4

Obtenha o seno inverso dos dois lados da equação para extrair $y$ de dentro do seno.

$y = \arcsin (- \sqrt{- \frac{4 \sin^{3} (x)}{3} + \sin (x) + K + \frac{1}{2}})$

Etapa 3.4.3.5