Cálculo Exemplos

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{2 + x}$ , $y (0) = 3$

Etapa 1

Reescreva a equação.

$d y = \frac{1}{2 + x} d x$

Etapa 2

Integre os dois lados.

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Etapa 2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int d y = \int \frac{1}{2 + x} d x$

Etapa 2.2

Aplique a regra da constante.

$y + C_{1} = \int \frac{1}{2 + x} d x$

Etapa 2.3

Integre o lado direito.

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Etapa 2.3.1

Deixe $u = 2 + x$ . Depois, $d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 2.3.1.1

Deixe $u = 2 + x$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 2.3.1.1.1

Diferencie $2 + x$ .

$\frac{d}{d x} [2 + x]$

Etapa 2.3.1.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 + x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.3.1.1.3

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2$ em relação a $x$ é $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.3.1.1.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$0 + 1$

Etapa 2.3.1.1.5

Some $0$ e $1$ .

$1$

Etapa 2.3.1.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$y + C_{1} = \int \frac{1}{u} d u$

Etapa 2.3.2

A integral de $\frac{1}{u}$ com relação a $u$ é $\ln (| u |)$ .

$y + C_{1} = \ln (| u |) + C_{2}$

Etapa 2.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $2 + x$ .

$y + C_{1} = \ln (| 2 + x |) + C_{2}$

Etapa 2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $C$ .

$y = \ln (| 2 + x |) + C$

Etapa 3

Use a condição inicial para encontrar o valor de $C$ , substituindo $0$ por $x$ e $3$ por $y$ em $y = \ln (| 2 + x |) + C$ .

$3 = \ln (| 2 + 0 |) + C$

Etapa 4

Resolva $C$ .

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Etapa 4.1

Reescreva a equação como $\ln (| 2 + 0 |) + C = 3$ .

$\ln (| 2 + 0 |) + C = 3$

Etapa 4.2

Simplifique $\ln (| 2 + 0 |) + C$ .

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Etapa 4.2.1

Some $2$ e $0$ .

$\ln (| 2 |) + C = 3$

Etapa 4.2.2

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $2$ é $2$ .

$\ln (2) + C = 3$

Etapa 4.3

Subtraia $\ln (2)$ dos dois lados da equação.

$C = 3 - \ln (2)$

Etapa 5

Substitua $3 - \ln (2)$ por $C$ em $y = \ln (| 2 + x |) + C$ e simplifique.

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Etapa 5.1

Substitua $3 - \ln (2)$ por $C$ .

$y = \ln (| 2 + x |) + 3 - \ln (2)$

Etapa 5.2

Use a propriedade dos logaritmos do quociente, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$y = \ln (\frac{| 2 + x |}{2}) + 3$