Cálculo Exemplos

$\frac{d y}{d x} = \frac{x y - 3 y + x - 3}{x y + 2 y - x - 2}$

Etapa 1

Separe as variáveis.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Fatore.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$\frac{d y}{d x} = \frac{(x y - 3 y) + x - 3}{x y + 2 y - x - 2}$

Etapa 1.1.1.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y (x - 3) + 1 (x - 3)}{x y + 2 y - x - 2}$

Etapa 1.1.2

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $x - 3$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{(x - 3) (y + 1)}{x y + 2 y - x - 2}$

Etapa 1.2

Fatore.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$\frac{d y}{d x} = \frac{(x - 3) (y + 1)}{(x y + 2 y) - x - 2}$

Etapa 1.2.1.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$\frac{d y}{d x} = \frac{(x - 3) (y + 1)}{y (x + 2) - (x + 2)}$

Etapa 1.2.2

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $x + 2$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{(x - 3) (y + 1)}{(x + 2) (y - 1)}$

Etapa 1.3

Reagrupe os fatores.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x - 3}{x + 2} \cdot \frac{y + 1}{y - 1}$

Etapa 1.4

Multiplique os dois lados por $\frac{y - 1}{y + 1}$ .

$\frac{y - 1}{y + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{y - 1}{y + 1} (\frac{x - 3}{x + 2} \cdot \frac{y + 1}{y - 1})$

Etapa 1.5

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.1

Multiplique $\frac{x - 3}{x + 2}$ por $\frac{y + 1}{y - 1}$ .

$\frac{y - 1}{y + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{y - 1}{y + 1} \cdot \frac{(x - 3) (y + 1)}{(x + 2) (y - 1)}$

Etapa 1.5.2

Cancele o fator comum de $y - 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.2.1

Fatore $y - 1$ de $(x + 2) (y - 1)$ .

$\frac{y - 1}{y + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{y - 1}{y + 1} \cdot \frac{(x - 3) (y + 1)}{(y - 1) (x + 2)}$

Etapa 1.5.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{y - 1}{y + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{y - 1}{y + 1} \cdot \frac{(x - 3) (y + 1)}{(y - 1) (x + 2)}$

Etapa 1.5.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{y - 1}{y + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y + 1} \cdot \frac{(x - 3) (y + 1)}{x + 2}$

Etapa 1.5.3

Cancele o fator comum de $y + 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.3.1

Fatore $y + 1$ de $(x - 3) (y + 1)$ .

$\frac{y - 1}{y + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y + 1} \cdot \frac{(y + 1) (x - 3)}{x + 2}$

Etapa 1.5.3.2

Cancele o fator comum.

$\frac{y - 1}{y + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y + 1} \cdot \frac{(y + 1) (x - 3)}{x + 2}$

Etapa 1.5.3.3

Reescreva a expressão.

$\frac{y - 1}{y + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{x - 3}{x + 2}$

Etapa 1.6

Reescreva a equação.

$\frac{y - 1}{y + 1} d y = \frac{x - 3}{x + 2} d x$

Etapa 2

Integre os dois lados.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{y - 1}{y + 1} d y = \int \frac{x - 3}{x + 2} d x$

Etapa 2.2

Integre o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Divida $y - 1$ por $y + 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1.1

Estabeleça os polinômios a serem divididos. Se não houver um termo para cada expoente, insira um com valor de $0$ .

$y$

$1$

$y$

$1$

Etapa 2.2.1.2

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $y$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $y$ .

					$1$
	$y$	+	$1$		$y$	-	$1$

Etapa 2.2.1.3

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$1$
$y$	+	$1$		$y$	-	$1$
			+	$y$	+	$1$

Etapa 2.2.1.4

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $y + 1$ .

				$1$
$y$	+	$1$		$y$	-	$1$
			-	$y$	-	$1$

Etapa 2.2.1.5

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$1$
$y$	+	$1$		$y$	-	$1$
			-	$y$	-	$1$
					-	$2$

Etapa 2.2.1.6

A resposta final é o quociente mais o resto sobre o divisor.

$\int 1 - \frac{2}{y + 1} d y = \int \frac{x - 3}{x + 2} d x$

Etapa 2.2.2

Divida a integral única em várias integrais.

$\int d y + \int - \frac{2}{y + 1} d y = \int \frac{x - 3}{x + 2} d x$

Etapa 2.2.3

Aplique a regra da constante.

$y + C_{1} + \int - \frac{2}{y + 1} d y = \int \frac{x - 3}{x + 2} d x$

Etapa 2.2.4

Como $- 1$ é constante com relação a $y$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$y + C_{1} - \int \frac{2}{y + 1} d y = \int \frac{x - 3}{x + 2} d x$

Etapa 2.2.5

Como $2$ é constante com relação a $y$ , mova $2$ para fora da integral.

$y + C_{1} - (2 \int \frac{1}{y + 1} d y) = \int \frac{x - 3}{x + 2} d x$

Etapa 2.2.6

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$y + C_{1} - 2 \int \frac{1}{y + 1} d y = \int \frac{x - 3}{x + 2} d x$

Etapa 2.2.7

Deixe $u_{1} = y + 1$ . Depois, $d u_{1} = d y$ . Reescreva usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.7.1

Deixe $u_{1} = y + 1$ . Encontre $\frac{d u_{1}}{d y}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.7.1.1

Diferencie $y + 1$ .

$\frac{d}{d y} [y + 1]$

Etapa 2.2.7.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $y + 1$ com relação a $y$ é $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$ .

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$

Etapa 2.2.7.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d y} [1]$

Etapa 2.2.7.1.4

Como $1$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $1$ em relação a $y$ é $0$ .

$1 + 0$

Etapa 2.2.7.1.5

Some $1$ e $0$ .

$1$

Etapa 2.2.7.2

Reescreva o problema usando $u_{1}$ e $d u_{1}$ .

$y + C_{1} - 2 \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} = \int \frac{x - 3}{x + 2} d x$

Etapa 2.2.8

A integral de $\frac{1}{u_{1}}$ com relação a $u_{1}$ é $\ln (| u_{1} |)$ .

$y + C_{1} - 2 (\ln (| u_{1} |) + C_{2}) = \int \frac{x - 3}{x + 2} d x$

Etapa 2.2.9

Simplifique.

$y - 2 \ln (| u_{1} |) + C_{3} = \int \frac{x - 3}{x + 2} d x$

Etapa 2.2.10

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $y + 1$ .

$y - 2 \ln (| y + 1 |) + C_{3} = \int \frac{x - 3}{x + 2} d x$

Etapa 2.3

Integre o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Divida $x - 3$ por $x + 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1.1

Estabeleça os polinômios a serem divididos. Se não houver um termo para cada expoente, insira um com valor de $0$ .

$x$

$2$

$x$

$3$

Etapa 2.3.1.2

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $x$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

					$1$
	$x$	+	$2$		$x$	-	$3$

Etapa 2.3.1.3

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$1$
$x$	+	$2$		$x$	-	$3$
			+	$x$	+	$2$

Etapa 2.3.1.4

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $x + 2$ .

				$1$
$x$	+	$2$		$x$	-	$3$
			-	$x$	-	$2$

Etapa 2.3.1.5

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$1$
$x$	+	$2$		$x$	-	$3$
			-	$x$	-	$2$
					-	$5$

Etapa 2.3.1.6

A resposta final é o quociente mais o resto sobre o divisor.

$y - 2 \ln (| y + 1 |) + C_{3} = \int 1 - \frac{5}{x + 2} d x$

Etapa 2.3.2

Divida a integral única em várias integrais.

$y - 2 \ln (| y + 1 |) + C_{3} = \int d x + \int - \frac{5}{x + 2} d x$

Etapa 2.3.3

Aplique a regra da constante.

$y - 2 \ln (| y + 1 |) + C_{3} = x + C_{4} + \int - \frac{5}{x + 2} d x$

Etapa 2.3.4

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$y - 2 \ln (| y + 1 |) + C_{3} = x + C_{4} - \int \frac{5}{x + 2} d x$

Etapa 2.3.5

Como $5$ é constante com relação a $x$ , mova $5$ para fora da integral.

$y - 2 \ln (| y + 1 |) + C_{3} = x + C_{4} - (5 \int \frac{1}{x + 2} d x)$

Etapa 2.3.6

Multiplique $5$ por $- 1$ .

$y - 2 \ln (| y + 1 |) + C_{3} = x + C_{4} - 5 \int \frac{1}{x + 2} d x$

Etapa 2.3.7

Deixe $u_{2} = x + 2$ . Depois, $d u_{2} = d x$ . Reescreva usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.7.1

Deixe $u_{2} = x + 2$ . Encontre $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.7.1.1

Diferencie $x + 2$ .

$\frac{d}{d x} [x + 2]$

Etapa 2.3.7.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + 2$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$

Etapa 2.3.7.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [2]$

Etapa 2.3.7.1.4

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2$ em relação a $x$ é $0$ .

$1 + 0$

Etapa 2.3.7.1.5

Some $1$ e $0$ .

$1$

Etapa 2.3.7.2

Reescreva o problema usando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$y - 2 \ln (| y + 1 |) + C_{3} = x + C_{4} - 5 \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Etapa 2.3.8

A integral de $\frac{1}{u_{2}}$ com relação a $u_{2}$ é $\ln (| u_{2} |)$ .

$y - 2 \ln (| y + 1 |) + C_{3} = x + C_{4} - 5 (\ln (| u_{2} |) + C_{5})$

Etapa 2.3.9

Simplifique.

$y - 2 \ln (| y + 1 |) + C_{3} = x - 5 \ln (| u_{2} |) + C_{6}$

Etapa 2.3.10

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $x + 2$ .

$y - 2 \ln (| y + 1 |) + C_{3} = x - 5 \ln (| x + 2 |) + C_{6}$

Etapa 2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $C$ .

$y - 2 \ln (| y + 1 |) = x - 5 \ln (| x + 2 |) + C$