Cálculo Exemplos

$\frac{d z}{d t} - \frac{1}{2 t} z = 0$

Etapa 1

O fator de integração é definido pela fórmula $e^{\int P (t) d t}$ , em que $P (t) = - \frac{1}{2 t}$ .

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Etapa 1.1

Determine a integração.

$e^{\int - \frac{1}{2 t} d t}$

Etapa 1.2

Integre $- \frac{1}{2 t}$ .

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Etapa 1.2.1

Como $- 1$ é constante com relação a $t$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$e^{- \int \frac{1}{2 t} d t}$

Etapa 1.2.2

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $t$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$e^{- (\frac{1}{2} \int \frac{1}{t} d t)}$

Etapa 1.2.3

A integral de $\frac{1}{t}$ com relação a $t$ é $\ln (| t |)$ .

$e^{- \frac{1}{2} (\ln (| t |) + C)}$

Etapa 1.2.4

Simplifique.

$e^{- \frac{1}{2} \ln (| t |) + C}$

Etapa 1.3

Remova a constante de integração.

$e^{- \frac{1}{2} \ln (t)}$

Etapa 1.4

Use a regra da multiplicação de potências logarítmica.

$e^{\ln (t^{- \frac{1}{2}})}$

Etapa 1.5

Potenciação e logaritmo são funções inversas.

$t^{- \frac{1}{2}}$

Etapa 1.6

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{t^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 2

Multiplique cada termo pelo fator de integração $\frac{1}{t^{\frac{1}{2}}}$ .

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Etapa 2.1

Multiplique cada termo por $\frac{1}{t^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} \frac{d z}{d t} + \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} (- \frac{1}{2 t} z) = \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} \cdot 0$

Etapa 2.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.2.1

Combine $\frac{1}{t^{\frac{1}{2}}}$ e $\frac{d z}{d t}$ .

$\frac{\frac{d z}{d t}}{t^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} (- \frac{1}{2 t} z) = \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} \cdot 0$

Etapa 2.2.2

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{\frac{d z}{d t}}{t^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2 t} z) = \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} \cdot 0$

Etapa 2.2.3

Combine $\frac{1}{2 t}$ e $z$ .

$\frac{\frac{d z}{d t}}{t^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{z}{2 t} = \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} \cdot 0$

Etapa 2.2.4

Multiplique $- \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{z}{2 t}$ .

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Etapa 2.2.4.1

Multiplique $\frac{z}{2 t}$ por $\frac{1}{t^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{\frac{d z}{d t}}{t^{\frac{1}{2}}} - \frac{z}{2 t \cdot t^{\frac{1}{2}}} = \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} \cdot 0$

Etapa 2.2.4.2

Multiplique $t$ por $t^{\frac{1}{2}}$ somando os expoentes.

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Etapa 2.2.4.2.1

Mova $t^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\frac{d z}{d t}}{t^{\frac{1}{2}}} - \frac{z}{2 (t^{\frac{1}{2}} t)} = \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} \cdot 0$

Etapa 2.2.4.2.2

Multiplique $t^{\frac{1}{2}}$ por $t$ .

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Etapa 2.2.4.2.2.1

Eleve $t$ à potência de $1$ .

$\frac{\frac{d z}{d t}}{t^{\frac{1}{2}}} - \frac{z}{2 (t^{\frac{1}{2}} t^{1})} = \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} \cdot 0$

Etapa 2.2.4.2.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{\frac{d z}{d t}}{t^{\frac{1}{2}}} - \frac{z}{2 t^{\frac{1}{2} + 1}} = \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} \cdot 0$

Etapa 2.2.4.2.3

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$\frac{\frac{d z}{d t}}{t^{\frac{1}{2}}} - \frac{z}{2 t^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}}} = \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} \cdot 0$

Etapa 2.2.4.2.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{\frac{d z}{d t}}{t^{\frac{1}{2}}} - \frac{z}{2 t^{\frac{1 + 2}{2}}} = \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} \cdot 0$

Etapa 2.2.4.2.5

Some $1$ e $2$ .

$\frac{\frac{d z}{d t}}{t^{\frac{1}{2}}} - \frac{z}{2 t^{\frac{3}{2}}} = \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} \cdot 0$

Etapa 2.3

Multiplique $\frac{1}{t^{\frac{1}{2}}}$ por $0$ .

$\frac{\frac{d z}{d t}}{t^{\frac{1}{2}}} - \frac{z}{2 t^{\frac{3}{2}}} = 0$

Etapa 3

Reescreva o lado esquerdo como resultado da diferenciação de um produto.

$\frac{d}{d t} [\frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} z] = 0$

Etapa 4

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{d}{d t} [\frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} z] d t = \int 0 d t$

Etapa 5

Integre o lado esquerdo.

$\frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} z = \int 0 d t$

Etapa 6

Integre o lado direito.

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Etapa 6.1

A integral de $0$ com relação a $t$ é $0$ .

$\frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} z = 0 + C$

Etapa 6.2

Some $0$ e $C$ .

$\frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} z = C$

Etapa 7

Resolva $z$ .

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Etapa 7.1

Combine $\frac{1}{t^{\frac{1}{2}}}$ e $z$ .

$\frac{z}{t^{\frac{1}{2}}} = C$

Etapa 7.2

Multiplique os dois lados por $t^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{z}{t^{\frac{1}{2}}} t^{\frac{1}{2}} = C t^{\frac{1}{2}}$

Etapa 7.3

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 7.3.1

Cancele o fator comum de $t^{\frac{1}{2}}$ .

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Etapa 7.3.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{z}{t^{\frac{1}{2}}} t^{\frac{1}{2}} = C t^{\frac{1}{2}}$

Etapa 7.3.1.2

Reescreva a expressão.

$z = C t^{\frac{1}{2}}$