Cálculo Exemplos

$2 x y y' = y^{2} - 2 x^{3}$

Etapa 1

Reescreva a equação diferencial.

$2 x y \frac{d y}{d x} = y^{2} - 2 x^{3}$

Etapa 2

Deixe $v = y^{2}$ . Substitua $v$ em todas as ocorrências de $y^{2}$ .

$2 x y \frac{d y}{d x} = v - 2 x^{3}$

Etapa 3

Encontre $\frac{d v}{d x}$ ao diferenciar $y^{2}$ .

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Etapa 3.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = y$ .

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Etapa 3.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $y$ .

$\frac{d v}{d x} = \frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]$

Etapa 3.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{d v}{d x} = 2 u \frac{d}{d x} [y]$

Etapa 3.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $y$ .

$\frac{d v}{d x} = 2 y \frac{d}{d x} [y]$

Etapa 3.2

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$\frac{d v}{d x} = 2 y y'$

Etapa 4

Substitua a derivada na equação diferencial.

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Etapa 4.1

Fatore $2 y$ de $2 x y$ .

$2 y (x) \frac{\frac{d v}{d x}}{2 y} = v - 2 x^{3}$

Etapa 4.2

Cancele o fator comum.

$2 y x \frac{\frac{d v}{d x}}{2 y} = v - 2 x^{3}$

Etapa 4.3

Reescreva a expressão.

$x \frac{d v}{d x} = v - 2 x^{3}$

Etapa 5

Reescreva a equação diferencial como $\frac{d v}{d x} + M (x) v = Q (x)$ .

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Etapa 5.1

Subtraia $v$ dos dois lados da equação.

$x \frac{d v}{d x} - v = - 2 x^{3}$

Etapa 5.2

Divida cada termo em $x \frac{d v}{d x} - v = - 2 x^{3}$ por $x$ .

$\frac{x \frac{d v}{d x}}{x} + \frac{- v}{x} = \frac{- 2 x^{3}}{x}$

Etapa 5.3

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 5.3.1

Cancele o fator comum.

$\frac{x \frac{d v}{d x}}{x} + \frac{- v}{x} = \frac{- 2 x^{3}}{x}$

Etapa 5.3.2

Divida $\frac{d v}{d x}$ por $1$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{- v}{x} = \frac{- 2 x^{3}}{x}$

Etapa 5.4

Cancele o fator comum de $x^{3}$ e $x$ .

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Etapa 5.4.1

Fatore $x$ de $- 2 x^{3}$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{- v}{x} = \frac{x (- 2 x^{2})}{x}$

Etapa 5.4.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 5.4.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{- v}{x} = \frac{x (- 2 x^{2})}{x^{1}}$

Etapa 5.4.2.2

Fatore $x$ de $x^{1}$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{- v}{x} = \frac{x (- 2 x^{2})}{x \cdot 1}$

Etapa 5.4.2.3

Cancele o fator comum.

$\frac{d v}{d x} + \frac{- v}{x} = \frac{x (- 2 x^{2})}{x \cdot 1}$

Etapa 5.4.2.4

Reescreva a expressão.

$\frac{d v}{d x} + \frac{- v}{x} = \frac{- 2 x^{2}}{1}$

Etapa 5.4.2.5

Divida $- 2 x^{2}$ por $1$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{- v}{x} = - 2 x^{2}$

Etapa 5.5

Fatore $v$ de $\frac{- v}{x}$ .

$\frac{d v}{d x} + v \frac{- 1}{x} = - 2 x^{2}$

Etapa 5.6

Reordene $v$ e $\frac{- 1}{x}$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{- 1}{x} v = - 2 x^{2}$

Etapa 6

O fator de integração é definido pela fórmula $e^{\int P (x) d x}$ , em que $P (x) = \frac{- 1}{x}$ .

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Etapa 6.1

Determine a integração.

$e^{\int \frac{- 1}{x} d x}$

Etapa 6.2

Integre $\frac{- 1}{x}$ .

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Etapa 6.2.1

Divida a fração em diversas frações.

$e^{\int - \frac{1}{x} d x}$

Etapa 6.2.2

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$e^{- \int \frac{1}{x} d x}$

Etapa 6.2.3

A integral de $\frac{1}{x}$ com relação a $x$ é $\ln (| x |)$ .

$e^{- (\ln (| x |) + C)}$

Etapa 6.2.4

Simplifique.

$e^{- \ln (| x |) + C}$

Etapa 6.3

Remova a constante de integração.

$e^{- \ln (x)}$

Etapa 6.4

Use a regra da multiplicação de potências logarítmica.

$e^{\ln (x^{- 1})}$

Etapa 6.5

Potenciação e logaritmo são funções inversas.

$x^{- 1}$

Etapa 6.6

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{x}$

Etapa 7

Multiplique cada termo pelo fator de integração $\frac{1}{x}$ .

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Etapa 7.1

Multiplique cada termo por $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{x} \frac{d v}{d x} + \frac{1}{x} (\frac{- 1}{x} v) = \frac{1}{x} (- 2 x^{2})$

Etapa 7.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 7.2.1

Combine $\frac{1}{x}$ e $\frac{d v}{d x}$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x} + \frac{1}{x} (\frac{- 1}{x} v) = \frac{1}{x} (- 2 x^{2})$

Etapa 7.2.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x} + \frac{1}{x} (- \frac{1}{x} v) = \frac{1}{x} (- 2 x^{2})$

Etapa 7.2.3

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x} - \frac{1}{x} (\frac{1}{x} v) = \frac{1}{x} (- 2 x^{2})$

Etapa 7.2.4

Combine $\frac{1}{x}$ e $v$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x} - \frac{1}{x} \cdot \frac{v}{x} = \frac{1}{x} (- 2 x^{2})$

Etapa 7.2.5

Multiplique $- \frac{1}{x} \cdot \frac{v}{x}$ .

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Etapa 7.2.5.1

Multiplique $\frac{v}{x}$ por $\frac{1}{x}$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x} - \frac{v}{x \cdot x} = \frac{1}{x} (- 2 x^{2})$

Etapa 7.2.5.2

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x} - \frac{v}{x^{1} x} = \frac{1}{x} (- 2 x^{2})$

Etapa 7.2.5.3

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x} - \frac{v}{x^{1} x^{1}} = \frac{1}{x} (- 2 x^{2})$

Etapa 7.2.5.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x} - \frac{v}{x^{1 + 1}} = \frac{1}{x} (- 2 x^{2})$

Etapa 7.2.5.5

Some $1$ e $1$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x} - \frac{v}{x^{2}} = \frac{1}{x} (- 2 x^{2})$

Etapa 7.3

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x} - \frac{v}{x^{2}} = - 2 \frac{1}{x} x^{2}$

Etapa 7.4

Combine $- 2$ e $\frac{1}{x}$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x} - \frac{v}{x^{2}} = \frac{- 2}{x} x^{2}$

Etapa 7.5

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 7.5.1

Fatore $x$ de $x^{2}$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x} - \frac{v}{x^{2}} = \frac{- 2}{x} (x \cdot x)$

Etapa 7.5.2

Cancele o fator comum.

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x} - \frac{v}{x^{2}} = \frac{- 2}{x} (x \cdot x)$

Etapa 7.5.3

Reescreva a expressão.

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x} - \frac{v}{x^{2}} = - 2 x$

Etapa 8

Reescreva o lado esquerdo como resultado da diferenciação de um produto.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x} v] = - 2 x$

Etapa 9

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{d}{d x} [\frac{1}{x} v] d x = \int - 2 x d x$

Etapa 10

Integre o lado esquerdo.

$\frac{1}{x} v = \int - 2 x d x$

Etapa 11

Integre o lado direito.

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Etapa 11.1

Como $- 2$ é constante com relação a $x$ , mova $- 2$ para fora da integral.

$\frac{1}{x} v = - 2 \int x d x$

Etapa 11.2

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x$ com relação a $x$ é $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{x} v = - 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Etapa 11.3

Simplifique a resposta.

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Etapa 11.3.1

Reescreva $- 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$ como $- 2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C$ .

$\frac{1}{x} v = - 2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C$

Etapa 11.3.2

Simplifique.

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Etapa 11.3.2.1

Combine $- 2$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{x} v = \frac{- 2}{2} x^{2} + C$

Etapa 11.3.2.2

Cancele o fator comum de $- 2$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.3.2.2.1

Fatore $2$ de $- 2$ .

$\frac{1}{x} v = \frac{2 \cdot - 1}{2} x^{2} + C$

Etapa 11.3.2.2.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 11.3.2.2.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$\frac{1}{x} v = \frac{2 \cdot - 1}{2 (1)} x^{2} + C$

Etapa 11.3.2.2.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{x} v = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1} x^{2} + C$

Etapa 11.3.2.2.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{x} v = \frac{- 1}{1} x^{2} + C$

Etapa 11.3.2.2.2.4

Divida $- 1$ por $1$ .

$\frac{1}{x} v = - x^{2} + C$

Etapa 12

Resolva $v$ .

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Etapa 12.1

Combine $\frac{1}{x}$ e $v$ .

$\frac{v}{x} = - x^{2} + C$

Etapa 12.2

Multiplique os dois lados por $x$ .

$\frac{v}{x} x = (- x^{2} + C) x$

Etapa 12.3

Simplifique.

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Etapa 12.3.1

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.3.1.1

Cancele o fator comum de $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.3.1.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{v}{x} x = (- x^{2} + C) x$

Etapa 12.3.1.1.2

Reescreva a expressão.

$v = (- x^{2} + C) x$

Etapa 12.3.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 12.3.2.1

Simplifique $(- x^{2} + C) x$ .

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Etapa 12.3.2.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$v = - x^{2} x + C x$

Etapa 12.3.2.1.2

Multiplique $x^{2}$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 12.3.2.1.2.1

Mova $x$ .

$v = - (x \cdot x^{2}) + C x$

Etapa 12.3.2.1.2.2

Multiplique $x$ por $x^{2}$ .

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Etapa 12.3.2.1.2.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$v = - (x^{1} x^{2}) + C x$

Etapa 12.3.2.1.2.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$v = - x^{1 + 2} + C x$

Etapa 12.3.2.1.2.3

Some $1$ e $2$ .

$v = - x^{3} + C x$

Etapa 13

Substitua todas as ocorrências de $v$ por $y^{2}$ .

$y^{2} = - x^{3} + C x$

Etapa 14

Resolva $y$ .

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Etapa 14.1

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$y = \pm \sqrt{- x^{3} + C x}$

Etapa 14.2

Fatore $x$ de $- x^{3} + C x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.2.1

Fatore $x$ de $- x^{3}$ .

$y = \pm \sqrt{x (- x^{2}) + C x}$

Etapa 14.2.2

Fatore $x$ de $C x$ .

$y = \pm \sqrt{x (- x^{2}) + x C}$

Etapa 14.2.3

Fatore $x$ de $x (- x^{2}) + x C$ .

$y = \pm \sqrt{x (- x^{2} + C)}$

Etapa 14.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 14.3.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$y = \sqrt{x (- x^{2} + C)}$

Etapa 14.3.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$y = - \sqrt{x (- x^{2} + C)}$

Etapa 14.3.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$y = \sqrt{x (- x^{2} + C)}$

$y = - \sqrt{x (- x^{2} + C)}$

$y = \sqrt{x (- x^{2} + C)}$

$y = - \sqrt{x (- x^{2} + C)}$

$y = \sqrt{x (- x^{2} + C)}$

$y = - \sqrt{x (- x^{2} + C)}$