Cálculo Exemplos

$\frac{d y}{d t} + 3 y = 13 \sin (2 t)$ , $y (0) = 6$

Etapa 1

O fator de integração é definido pela fórmula $e^{\int P (t) d t}$ , em que $P (t) = 3$ .

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Etapa 1.1

Determine a integração.

$e^{\int 3 d t}$

Etapa 1.2

Aplique a regra da constante.

$e^{3 t + C}$

Etapa 1.3

Remova a constante de integração.

$e^{3 t}$

Etapa 2

Multiplique cada termo pelo fator de integração $e^{3 t}$ .

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Etapa 2.1

Multiplique cada termo por $e^{3 t}$ .

$e^{3 t} \frac{d y}{d t} + e^{3 t} (3 y) = e^{3 t} (13 \sin (2 t))$

Etapa 2.2

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$e^{3 t} \frac{d y}{d t} + 3 e^{3 t} y = e^{3 t} (13 \sin (2 t))$

Etapa 2.3

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$e^{3 t} \frac{d y}{d t} + 3 e^{3 t} y = 13 e^{3 t} \sin (2 t)$

Etapa 2.4

Reordene os fatores em $e^{3 t} \frac{d y}{d t} + 3 e^{3 t} y = 13 e^{3 t} \sin (2 t)$ .

$e^{3 t} \frac{d y}{d t} + 3 y e^{3 t} = 13 e^{3 t} \sin (2 t)$

Etapa 3

Reescreva o lado esquerdo como resultado da diferenciação de um produto.

$\frac{d}{d t} [e^{3 t} y] = 13 e^{3 t} \sin (2 t)$

Etapa 4

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{d}{d t} [e^{3 t} y] d t = \int 13 e^{3 t} \sin (2 t) d t$

Etapa 5

Integre o lado esquerdo.

$e^{3 t} y = \int 13 e^{3 t} \sin (2 t) d t$

Etapa 6

Integre o lado direito.

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Etapa 6.1

Como $13$ é constante com relação a $t$ , mova $13$ para fora da integral.

$e^{3 t} y = 13 \int e^{3 t} \sin (2 t) d t$

Etapa 6.2

Reordene $e^{3 t}$ e $\sin (2 t)$ .

$e^{3 t} y = 13 \int \sin (2 t) e^{3 t} d t$

Etapa 6.3

Integre por partes usando a fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , em que $u = \sin (2 t)$ e $d v = e^{3 t}$ .

$e^{3 t} y = 13 (\sin (2 t) (\frac{1}{3} e^{3 t}) - \int \frac{1}{3} e^{3 t} (2 \cos (2 t)) d t)$

Etapa 6.4

Como $\frac{1}{3} \cdot 2$ é constante com relação a $t$ , mova $\frac{1}{3} \cdot 2$ para fora da integral.

$e^{3 t} y = 13 (\sin (2 t) (\frac{1}{3} e^{3 t}) - (\frac{1}{3} \cdot 2 \int e^{3 t} (\cos (2 t)) d t))$

Etapa 6.5

Combine frações.

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Etapa 6.5.1

Combine $\frac{1}{3}$ e $e^{3 t}$ .

$e^{3 t} y = 13 (\sin (2 t) \frac{e^{3 t}}{3} - (\frac{1}{3} \cdot 2 \int e^{3 t} (\cos (2 t)) d t))$

Etapa 6.5.2

Combine $\sin (2 t)$ e $\frac{e^{3 t}}{3}$ .

$e^{3 t} y = 13 (\frac{\sin (2 t) e^{3 t}}{3} - (\frac{1}{3} \cdot 2 \int e^{3 t} (\cos (2 t)) d t))$

Etapa 6.5.3

Combine $\frac{1}{3}$ e $2$ .

$e^{3 t} y = 13 (\frac{\sin (2 t) e^{3 t}}{3} - (\frac{2}{3} \int e^{3 t} (\cos (2 t)) d t))$

Etapa 6.5.4

Reordene $e^{3 t}$ e $\cos (2 t)$ .

$e^{3 t} y = 13 (\frac{\sin (2 t) e^{3 t}}{3} - (\frac{2}{3} \int \cos (2 t) e^{3 t} d t))$

Etapa 6.6

Integre por partes usando a fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , em que $u = \cos (2 t)$ e $d v = e^{3 t}$ .

$e^{3 t} y = 13 (\frac{\sin (2 t) e^{3 t}}{3} - (\frac{2}{3} (\cos (2 t) (\frac{1}{3} e^{3 t}) - \int \frac{1}{3} e^{3 t} (- 2 \sin (2 t)) d t)))$

Etapa 6.7

Como $\frac{1}{3} \cdot - 2$ é constante com relação a $t$ , mova $\frac{1}{3} \cdot - 2$ para fora da integral.

$e^{3 t} y = 13 (\frac{\sin (2 t) e^{3 t}}{3} - (\frac{2}{3} (\cos (2 t) (\frac{1}{3} e^{3 t}) - (\frac{1}{3} \cdot - 2 \int e^{3 t} (\sin (2 t)) d t))))$

Etapa 6.8

Simplifique os termos.

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Etapa 6.8.1

Combine $\frac{1}{3}$ e $e^{3 t}$ .

$e^{3 t} y = 13 (\frac{\sin (2 t) e^{3 t}}{3} - (\frac{2}{3} (\cos (2 t) \frac{e^{3 t}}{3} - (\frac{1}{3} \cdot - 2 \int e^{3 t} (\sin (2 t)) d t))))$

Etapa 6.8.2

Combine $\cos (2 t)$ e $\frac{e^{3 t}}{3}$ .

$e^{3 t} y = 13 (\frac{\sin (2 t) e^{3 t}}{3} - (\frac{2}{3} (\frac{\cos (2 t) e^{3 t}}{3} - (\frac{1}{3} \cdot - 2 \int e^{3 t} (\sin (2 t)) d t))))$

Etapa 6.8.3

Combine $\frac{1}{3}$ e $- 2$ .

$e^{3 t} y = 13 (\frac{\sin (2 t) e^{3 t}}{3} - (\frac{2}{3} (\frac{\cos (2 t) e^{3 t}}{3} - (\frac{- 2}{3} \int e^{3 t} (\sin (2 t)) d t))))$

Etapa 6.8.4

Aplique a propriedade distributiva.

$e^{3 t} y = 13 (\frac{\sin (2 t) e^{3 t}}{3} - \frac{2}{3} \cdot \frac{\cos (2 t) e^{3 t}}{3} - \frac{2}{3} (- (\frac{- 2}{3} \int e^{3 t} (\sin (2 t)) d t)))$

Etapa 6.8.5

Multiplique $\frac{\cos (2 t) e^{3 t}}{3}$ por $\frac{2}{3}$ .

$e^{3 t} y = 13 (\frac{\sin (2 t) e^{3 t}}{3} - \frac{\cos (2 t) e^{3 t} \cdot 2}{3 \cdot 3} - \frac{2}{3} (- (\frac{- 2}{3} \int e^{3 t} (\sin (2 t)) d t)))$

Etapa 6.8.6

Multiplique.

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Etapa 6.8.6.1

Multiplique $3$ por $3$ .

$e^{3 t} y = 13 (\frac{\sin (2 t) e^{3 t}}{3} - \frac{\cos (2 t) e^{3 t} \cdot 2}{9} - \frac{2}{3} (- (\frac{- 2}{3} \int e^{3 t} (\sin (2 t)) d t)))$

Etapa 6.8.6.2

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$e^{3 t} y = 13 (\frac{\sin (2 t) e^{3 t}}{3} - \frac{\cos (2 t) e^{3 t} \cdot 2}{9} + 1 (\frac{2}{3}) (\frac{- 2}{3} \int e^{3 t} (\sin (2 t)) d t))$

Etapa 6.8.6.3

Multiplique $\frac{2}{3}$ por $1$ .

$e^{3 t} y = 13 (\frac{\sin (2 t) e^{3 t}}{3} - \frac{\cos (2 t) e^{3 t} \cdot 2}{9} + \frac{2}{3} (\frac{- 2}{3} \int e^{3 t} (\sin (2 t)) d t))$

Etapa 6.8.7

Multiplique $\frac{- 2}{3}$ por $\frac{2}{3}$ .

$e^{3 t} y = 13 (\frac{\sin (2 t) e^{3 t}}{3} - \frac{\cos (2 t) e^{3 t} \cdot 2}{9} + \frac{- 2 \cdot 2}{3 \cdot 3} \int e^{3 t} (\sin (2 t)) d t)$

Etapa 6.8.8

Multiplique.

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Etapa 6.8.8.1

Multiplique $- 2$ por $2$ .

$e^{3 t} y = 13 (\frac{\sin (2 t) e^{3 t}}{3} - \frac{\cos (2 t) e^{3 t} \cdot 2}{9} + \frac{- 4}{3 \cdot 3} \int e^{3 t} (\sin (2 t)) d t)$

Etapa 6.8.8.2

Multiplique $3$ por $3$ .

$e^{3 t} y = 13 (\frac{\sin (2 t) e^{3 t}}{3} - \frac{\cos (2 t) e^{3 t} \cdot 2}{9} + \frac{- 4}{9} \int e^{3 t} (\sin (2 t)) d t)$

Etapa 6.9

Ao resolver $\int e^{3 t} \sin (2 t) d t$ , descobrimos que $\int e^{3 t} \sin (2 t) d t$ = $\frac{\frac{\sin (2 t) e^{3 t}}{3} - \frac{\cos (2 t) e^{3 t} \cdot 2}{9}}{\frac{13}{9}}$ .

$e^{3 t} y = 13 (\frac{\frac{\sin (2 t) e^{3 t}}{3} - \frac{\cos (2 t) e^{3 t} \cdot 2}{9}}{\frac{13}{9}} + C)$

Etapa 6.10

Simplifique a resposta.

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Etapa 6.10.1

Simplifique.

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Etapa 6.10.1.1

Mova $2$ para a esquerda de $\cos (2 t) e^{3 t}$ .

$e^{3 t} y = 13 (\frac{\frac{\sin (2 t) e^{3 t}}{3} - \frac{2 \cdot (\cos (2 t) e^{3 t})}{9}}{\frac{13}{9}} + C)$

Etapa 6.10.1.2

Multiplique pelo inverso da fração para dividir por $\frac{13}{9}$ .

$e^{3 t} y = 13 ((\frac{\sin (2 t) e^{3 t}}{3} - \frac{2 \cos (2 t) e^{3 t}}{9}) \frac{9}{13} + C)$

Etapa 6.10.2

Reescreva $13 ((\frac{\sin (2 t) e^{3 t}}{3} - \frac{2 \cos (2 t) e^{3 t}}{9}) \frac{9}{13} + C)$ como $13 (\frac{\sin (2 t) e^{3 t} \cdot 9}{3 \cdot 13} + \frac{- 2 \cos (2 t) e^{3 t}}{13}) + C$ .

$e^{3 t} y = 13 (\frac{\sin (2 t) e^{3 t} \cdot 9}{3 \cdot 13} + \frac{- 2 \cos (2 t) e^{3 t}}{13}) + C$

Etapa 6.10.3

Simplifique.

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Etapa 6.10.3.1

Mova $9$ para a esquerda de $\sin (2 t) e^{3 t}$ .

$e^{3 t} y = 13 (\frac{9 \cdot (\sin (2 t) e^{3 t})}{3 \cdot 13} + \frac{- 2 \cos (2 t) e^{3 t}}{13}) + C$

Etapa 6.10.3.2

Multiplique $3$ por $13$ .

$e^{3 t} y = 13 (\frac{9 \sin (2 t) e^{3 t}}{39} + \frac{- 2 \cos (2 t) e^{3 t}}{13}) + C$

Etapa 6.10.3.3

Cancele o fator comum de $9$ e $39$ .

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Etapa 6.10.3.3.1

Fatore $3$ de $9 \sin (2 t) e^{3 t}$ .

$e^{3 t} y = 13 (\frac{3 (3 \sin (2 t) e^{3 t})}{39} + \frac{- 2 \cos (2 t) e^{3 t}}{13}) + C$

Etapa 6.10.3.3.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 6.10.3.3.2.1

Fatore $3$ de $39$ .

$e^{3 t} y = 13 (\frac{3 (3 \sin (2 t) e^{3 t})}{3 (13)} + \frac{- 2 \cos (2 t) e^{3 t}}{13}) + C$

Etapa 6.10.3.3.2.2

Cancele o fator comum.

$e^{3 t} y = 13 (\frac{3 (3 \sin (2 t) e^{3 t})}{3 \cdot 13} + \frac{- 2 \cos (2 t) e^{3 t}}{13}) + C$

Etapa 6.10.3.3.2.3

Reescreva a expressão.

$e^{3 t} y = 13 (\frac{3 \sin (2 t) e^{3 t}}{13} + \frac{- 2 \cos (2 t) e^{3 t}}{13}) + C$

Etapa 6.10.3.4

Mova o número negativo para a frente da fração.

$e^{3 t} y = 13 (\frac{3 \sin (2 t) e^{3 t}}{13} - \frac{2 \cos (2 t) e^{3 t}}{13}) + C$

Etapa 6.10.4

Simplifique.

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Etapa 6.10.4.1

Reordene os fatores em $\frac{3 \sin (2 t) e^{3 t}}{13}$ .

$e^{3 t} y = 13 (\frac{3 e^{3 t} \sin (2 t)}{13} - \frac{2 \cos (2 t) e^{3 t}}{13}) + C$

Etapa 6.10.4.2

Reordene os fatores em $\frac{2 \cos (2 t) e^{3 t}}{13}$ .

$e^{3 t} y = 13 (\frac{3}{13} e^{3 t} \sin (2 t) - \frac{2}{13} e^{3 t} \cos (2 t)) + C$

Etapa 7

Resolva $y$ .

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Etapa 7.1

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 7.1.1.1

Multiplique $\frac{3}{13} (e^{3 t} \sin (2 t))$ .

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Etapa 7.1.1.1.1

Combine $e^{3 t}$ e $\frac{3}{13}$ .

$e^{3 t} y = 13 (\frac{e^{3 t} \cdot 3}{13} \sin (2 t) - \frac{2}{13} \cdot (e^{3 t} \cos (2 t))) + C$

Etapa 7.1.1.1.2

Combine $\frac{e^{3 t} \cdot 3}{13}$ e $\sin (2 t)$ .

$e^{3 t} y = 13 (\frac{e^{3 t} \cdot 3 \sin (2 t)}{13} - \frac{2}{13} \cdot (e^{3 t} \cos (2 t))) + C$

Etapa 7.1.1.2

Mova $3$ para a esquerda de $e^{3 t}$ .

$e^{3 t} y = 13 (\frac{3 \cdot e^{3 t} \sin (2 t)}{13} - \frac{2}{13} \cdot (e^{3 t} \cos (2 t))) + C$

Etapa 7.1.1.3

Multiplique $- \frac{2}{13} (e^{3 t} \cos (2 t))$ .

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Etapa 7.1.1.3.1

Combine $e^{3 t}$ e $\frac{2}{13}$ .

$e^{3 t} y = 13 (\frac{3 e^{3 t} \sin (2 t)}{13} - \frac{e^{3 t} \cdot 2}{13} \cos (2 t)) + C$

Etapa 7.1.1.3.2

Combine $\cos (2 t)$ e $\frac{e^{3 t} \cdot 2}{13}$ .

$e^{3 t} y = 13 (\frac{3 e^{3 t} \sin (2 t)}{13} - \frac{\cos (2 t) (e^{3 t} \cdot 2)}{13}) + C$

Etapa 7.1.1.4

Remova os parênteses desnecessários.

$e^{3 t} y = 13 (\frac{3 e^{3 t} \sin (2 t)}{13} - \frac{\cos (2 t) e^{3 t} \cdot 2}{13}) + C$

Etapa 7.1.1.5

Mova $2$ para a esquerda de $\cos (2 t) e^{3 t}$ .

$e^{3 t} y = 13 (\frac{3 e^{3 t} \sin (2 t)}{13} - \frac{2 \cos (2 t) e^{3 t}}{13}) + C$

Etapa 7.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$e^{3 t} y = 13 \frac{3 e^{3 t} \sin (2 t)}{13} + 13 (- \frac{2 \cos (2 t) e^{3 t}}{13}) + C$

Etapa 7.1.3

Cancele o fator comum de $13$ .

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Etapa 7.1.3.1

Cancele o fator comum.

$e^{3 t} y = 13 \frac{3 e^{3 t} \sin (2 t)}{13} + 13 (- \frac{2 \cos (2 t) e^{3 t}}{13}) + C$

Etapa 7.1.3.2

Reescreva a expressão.

$e^{3 t} y = 3 e^{3 t} \sin (2 t) + 13 (- \frac{2 \cos (2 t) e^{3 t}}{13}) + C$

Etapa 7.1.4

Cancele o fator comum de $13$ .

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Etapa 7.1.4.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{2 \cos (2 t) e^{3 t}}{13}$ para o numerador.

$e^{3 t} y = 3 e^{3 t} \sin (2 t) + 13 \frac{- 2 \cos (2 t) e^{3 t}}{13} + C$

Etapa 7.1.4.2

Cancele o fator comum.

$e^{3 t} y = 3 e^{3 t} \sin (2 t) + 13 \frac{- 2 \cos (2 t) e^{3 t}}{13} + C$

Etapa 7.1.4.3

Reescreva a expressão.

$e^{3 t} y = 3 e^{3 t} \sin (2 t) - 2 \cos (2 t) e^{3 t} + C$

Etapa 7.1.5

Reordene os fatores em $3 e^{3 t} \sin (2 t) - 2 \cos (2 t) e^{3 t}$ .

$e^{3 t} y = 3 e^{3 t} \sin (2 t) - 2 e^{3 t} \cos (2 t) + C$

Etapa 7.2

Divida cada termo em $e^{3 t} y = 3 e^{3 t} \sin (2 t) - 2 e^{3 t} \cos (2 t) + C$ por $e^{3 t}$ e simplifique.

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Etapa 7.2.1

Divida cada termo em $e^{3 t} y = 3 e^{3 t} \sin (2 t) - 2 e^{3 t} \cos (2 t) + C$ por $e^{3 t}$ .

$\frac{e^{3 t} y}{e^{3 t}} = \frac{3 e^{3 t} \sin (2 t)}{e^{3 t}} + \frac{- 2 e^{3 t} \cos (2 t)}{e^{3 t}} + \frac{C}{e^{3 t}}$

Etapa 7.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 7.2.2.1

Cancele o fator comum de $e^{3 t}$ .

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Etapa 7.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{e^{3 t} y}{e^{3 t}} = \frac{3 e^{3 t} \sin (2 t)}{e^{3 t}} + \frac{- 2 e^{3 t} \cos (2 t)}{e^{3 t}} + \frac{C}{e^{3 t}}$

Etapa 7.2.2.1.2

Divida $y$ por $1$ .

$y = \frac{3 e^{3 t} \sin (2 t)}{e^{3 t}} + \frac{- 2 e^{3 t} \cos (2 t)}{e^{3 t}} + \frac{C}{e^{3 t}}$

Etapa 7.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 7.2.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 7.2.3.1.1

Cancele o fator comum de $e^{3 t}$ .

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Etapa 7.2.3.1.1.1

Cancele o fator comum.

$y = \frac{3 e^{3 t} \sin (2 t)}{e^{3 t}} + \frac{- 2 e^{3 t} \cos (2 t)}{e^{3 t}} + \frac{C}{e^{3 t}}$

Etapa 7.2.3.1.1.2

Divida $3 \sin (2 t)$ por $1$ .

$y = 3 \sin (2 t) + \frac{- 2 e^{3 t} \cos (2 t)}{e^{3 t}} + \frac{C}{e^{3 t}}$

Etapa 7.2.3.1.2

Cancele o fator comum de $e^{3 t}$ .

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Etapa 7.2.3.1.2.1

Cancele o fator comum.

$y = 3 \sin (2 t) + \frac{- 2 e^{3 t} \cos (2 t)}{e^{3 t}} + \frac{C}{e^{3 t}}$

Etapa 7.2.3.1.2.2

Divida $- 2 \cos (2 t)$ por $1$ .

$y = 3 \sin (2 t) - 2 \cos (2 t) + \frac{C}{e^{3 t}}$

Etapa 8

Use a condição inicial para encontrar o valor de $C$ , substituindo $0$ por $t$ e $6$ por $y$ em $y = 3 \sin (2 t) - 2 \cos (2 t) + \frac{C}{e^{3 t}}$ .

$6 = 3 \sin (2 \cdot 0) - 2 \cos (2 \cdot 0) + \frac{C}{e^{3 \cdot 0}}$

Etapa 9

Resolva $C$ .

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Etapa 9.1

Reescreva a equação como $3 \sin (2 \cdot 0) - 2 \cos (2 \cdot 0) + \frac{C}{e^{3 \cdot 0}} = 6$ .

$3 \sin (2 \cdot 0) - 2 \cos (2 \cdot 0) + \frac{C}{e^{3 \cdot 0}} = 6$

Etapa 9.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 9.2.1

Simplifique $3 \sin (2 \cdot 0) - 2 \cos (2 \cdot 0) + \frac{C}{e^{3 \cdot 0}}$ .

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Etapa 9.2.1.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.2.1.1.1

Multiplique $2$ por $0$ .

$3 \sin (0) - 2 \cos (2 \cdot 0) + \frac{C}{e^{3 \cdot 0}} = 6$

Etapa 9.2.1.1.2

O valor exato de $\sin (0)$ é $0$ .

$3 \cdot 0 - 2 \cos (2 \cdot 0) + \frac{C}{e^{3 \cdot 0}} = 6$

Etapa 9.2.1.1.3

Multiplique $3$ por $0$ .

$0 - 2 \cos (2 \cdot 0) + \frac{C}{e^{3 \cdot 0}} = 6$

Etapa 9.2.1.1.4

Multiplique $2$ por $0$ .

$0 - 2 \cos (0) + \frac{C}{e^{3 \cdot 0}} = 6$

Etapa 9.2.1.1.5

O valor exato de $\cos (0)$ é $1$ .

$0 - 2 \cdot 1 + \frac{C}{e^{3 \cdot 0}} = 6$

Etapa 9.2.1.1.6

Multiplique $- 2$ por $1$ .

$0 - 2 + \frac{C}{e^{3 \cdot 0}} = 6$

Etapa 9.2.1.1.7

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.2.1.1.7.1

Multiplique $3$ por $0$ .

$0 - 2 + \frac{C}{e^{0}} = 6$

Etapa 9.2.1.1.7.2

Qualquer coisa elevada a $0$ é $1$ .

$0 - 2 + \frac{C}{1} = 6$

Etapa 9.2.1.1.8

Divida $C$ por $1$ .

$0 - 2 + C = 6$

Etapa 9.2.1.2

Subtraia $2$ de $0$ .

$- 2 + C = 6$

Etapa 9.3

Mova todos os termos que não contêm $C$ para o lado direito da equação.

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Etapa 9.3.1

Some $2$ aos dois lados da equação.

$C = 6 + 2$

Etapa 9.3.2

Some $6$ e $2$ .

$C = 8$

Etapa 10

Substitua $8$ por $C$ em $y = 3 \sin (2 t) - 2 \cos (2 t) + \frac{C}{e^{3 t}}$ e simplifique.

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Etapa 10.1

Substitua $8$ por $C$ .

$y = 3 \sin (2 t) - 2 \cos (2 t) + \frac{8}{e^{3 t}}$