Cálculo Exemplos

$\frac{4}{t} d t - \frac{y - 3}{y} d y = 0$

Etapa 1

Subtraia $\frac{4}{t} d t$ dos dois lados da equação.

$- \frac{y - 3}{y} d y = - \frac{4}{t} d t$

Etapa 2

Integre os dois lados.

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Etapa 2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int - \frac{y - 3}{y} d y = \int - \frac{4}{t} d t$

Etapa 2.2

Integre o lado esquerdo.

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Etapa 2.2.1

Como $- 1$ é constante com relação a $y$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$- \int \frac{y - 3}{y} d y = \int - \frac{4}{t} d t$

Etapa 2.2.2

Divida $y - 3$ por $y$ .

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Etapa 2.2.2.1

Estabeleça os polinômios a serem divididos. Se não houver um termo para cada expoente, insira um com valor de $0$ .

$y$

$0$

$y$

$3$

Etapa 2.2.2.2

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $y$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $y$ .

					$1$
	$y$	+	$0$		$y$	-	$3$

Etapa 2.2.2.3

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$1$
$y$	+	$0$		$y$	-	$3$
			+	$y$	+	$0$

Etapa 2.2.2.4

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $y + 0$ .

				$1$
$y$	+	$0$		$y$	-	$3$
			-	$y$	-	$0$

Etapa 2.2.2.5

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$1$
$y$	+	$0$		$y$	-	$3$
			-	$y$	-	$0$
					-	$3$

Etapa 2.2.2.6

A resposta final é o quociente mais o resto sobre o divisor.

$- \int 1 - \frac{3}{y} d y = \int - \frac{4}{t} d t$

Etapa 2.2.3

Divida a integral única em várias integrais.

$- (\int d y + \int - \frac{3}{y} d y) = \int - \frac{4}{t} d t$

Etapa 2.2.4

Aplique a regra da constante.

$- (y + C_{1} + \int - \frac{3}{y} d y) = \int - \frac{4}{t} d t$

Etapa 2.2.5

Como $- 1$ é constante com relação a $y$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$- (y + C_{1} - \int \frac{3}{y} d y) = \int - \frac{4}{t} d t$

Etapa 2.2.6

Como $3$ é constante com relação a $y$ , mova $3$ para fora da integral.

$- (y + C_{1} - (3 \int \frac{1}{y} d y)) = \int - \frac{4}{t} d t$

Etapa 2.2.7

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$- (y + C_{1} - 3 \int \frac{1}{y} d y) = \int - \frac{4}{t} d t$

Etapa 2.2.8

A integral de $\frac{1}{y}$ com relação a $y$ é $\ln (| y |)$ .

$- (y + C_{1} - 3 (\ln (| y |) + C_{2})) = \int - \frac{4}{t} d t$

Etapa 2.2.9

Simplifique.

$- (y - 3 \ln (| y |)) + C_{3} = \int - \frac{4}{t} d t$

Etapa 2.3

Integre o lado direito.

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Etapa 2.3.1

Como $- 1$ é constante com relação a $t$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$- (y - 3 \ln (| y |)) + C_{3} = - \int \frac{4}{t} d t$

Etapa 2.3.2

Como $4$ é constante com relação a $t$ , mova $4$ para fora da integral.

$- (y - 3 \ln (| y |)) + C_{3} = - (4 \int \frac{1}{t} d t)$

Etapa 2.3.3

Multiplique $4$ por $- 1$ .

$- (y - 3 \ln (| y |)) + C_{3} = - 4 \int \frac{1}{t} d t$

Etapa 2.3.4

A integral de $\frac{1}{t}$ com relação a $t$ é $\ln (| t |)$ .

$- (y - 3 \ln (| y |)) + C_{3} = - 4 (\ln (| t |) + C_{4})$

Etapa 2.3.5

Simplifique.

$- (y - 3 \ln (| y |)) + C_{3} = - 4 \ln (| t |) + C_{4}$

Etapa 2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $C$ .

$- (y - 3 \ln (| y |)) = - 4 \ln (| t |) + C$