Cálculo Exemplos

$(x^{3} + y^{3}) d x - x y^{2} d y = 0$

Etapa 1

Encontre $\frac{\partial M}{\partial y}$ em $M (x, y) = x^{3} + y^{3}$ .

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Etapa 1.1

Diferencie $M$ em relação a $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x^{3} + y^{3}]$

Etapa 1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{3} + y^{3}$ com relação a $y$ é $\frac{d}{d y} [x^{3}] + \frac{d}{d y} [y^{3}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x^{3}] + \frac{d}{d y} [y^{3}]$

Etapa 1.3

Como $x^{3}$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $x^{3}$ em relação a $y$ é $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [y^{3}]$

Etapa 1.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 3 y^{2}$

Etapa 1.5

Some $0$ e $3 y^{2}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 y^{2}$

Etapa 2

Encontre $\frac{\partial N}{\partial x}$ em $N (x, y) = - x y^{2}$ .

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Etapa 2.1

Diferencie $N$ em relação a $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [- x y^{2}]$

Etapa 2.2

Como $- y^{2}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x y^{2}$ em relação a $x$ é $- y^{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - y^{2} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - y^{2} \cdot 1$

Etapa 2.4

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - y^{2}$

Etapa 3

Verifique se $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Etapa 3.1

Substitua $3 y^{2}$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ e $- y^{2}$ por $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$3 y^{2} = - y^{2}$

Etapa 3.2

O lado esquerdo não é igual ao direito. Portanto, a equação não é uma identidade.

$3 y^{2} = - y^{2}$ não é uma identidade.

Etapa 4

Encontre o fator de integração $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

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Etapa 4.1

Substitua $3 y^{2}$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{3 y^{2} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

Etapa 4.2

Substitua $- y^{2}$ por $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{3 y^{2} - - y^{2}}{N}$

Etapa 4.3

Substitua $- x y^{2}$ por $N$ .

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Etapa 4.3.1

Substitua $- x y^{2}$ por $N$ .

$\frac{3 y^{2} - - y^{2}}{- x y^{2}}$

Etapa 4.3.2

Simplifique o numerador.

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Etapa 4.3.2.1

Fatore $y^{2}$ de $3 y^{2} - - y^{2}$ .

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Etapa 4.3.2.1.1

Fatore $y^{2}$ de $3 y^{2}$ .

$\frac{y^{2} \cdot 3 - - y^{2}}{- x y^{2}}$

Etapa 4.3.2.1.2

Fatore $y^{2}$ de $- - y^{2}$ .

$\frac{y^{2} \cdot 3 + y^{2} (- - 1)}{- x y^{2}}$

Etapa 4.3.2.1.3

Fatore $y^{2}$ de $y^{2} \cdot 3 + y^{2} (- - 1)$ .

$\frac{y^{2} (3 - - 1)}{- x y^{2}}$

Etapa 4.3.2.2

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{y^{2} (3 + 1)}{- x y^{2}}$

Etapa 4.3.2.3

Some $3$ e $1$ .

$\frac{y^{2} \cdot 4}{- x y^{2}}$

Etapa 4.3.3

Cancele o fator comum de $y^{2}$ .

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Etapa 4.3.3.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y^{2} \cdot 4}{- x y^{2}}$

Etapa 4.3.3.2

Reescreva a expressão.

$\frac{4}{- x}$

Etapa 4.3.4

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{4}{x}$

Etapa 4.4

Encontre o fator de integração $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{4}{x} d x}$

Etapa 5

Avalie a integral $e^{\int - \frac{4}{x} d x}$ .

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Etapa 5.1

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{4}{x} d x}$

Etapa 5.2

Como $4$ é constante com relação a $x$ , mova $4$ para fora da integral.

$μ (x, y) = e^{- (4 \int \frac{1}{x} d x)}$

Etapa 5.3

Multiplique $4$ por $- 1$ .

$μ (x, y) = e^{- 4 \int \frac{1}{x} d x}$

Etapa 5.4

A integral de $\frac{1}{x}$ com relação a $x$ é $\ln (| x |)$ .

$μ (x, y) = e^{- 4 (\ln (| x |) + C)}$

Etapa 5.5

Simplifique.

$μ (x, y) = e^{- 4 \ln (| x |)} + C$

Etapa 5.6

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.6.1

Simplifique $- 4 \ln (| x |)$ movendo $- 4$ para dentro do logaritmo.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| x |}^{- 4})} + C$

Etapa 5.6.2

Potenciação e logaritmo são funções inversas.

$μ (x, y) = {| x |}^{- 4} + C$

Etapa 5.6.3

Remova o valor absoluto em ${| x |}^{- 4}$ , porque exponenciações com potências pares são sempre positivas.

$μ (x, y) = x^{- 4} + C$

Etapa 5.6.4

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$μ (x, y) = \frac{1}{x^{4}} + C$

Etapa 6

Multiplique ambos os lados de $(x^{3} + y^{3}) d x - x y^{2} d y = 0$ pelo fator de integração $\frac{1}{x^{4}}$ .

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Etapa 6.1

Multiplique $x^{3} + y^{3}$ por $\frac{1}{x^{4}}$ .

$(x^{3} + y^{3}) \frac{1}{x^{4}} d x - x y^{2} d y = 0$

Etapa 6.2

Multiplique $x^{3} + y^{3}$ por $\frac{1}{x^{4}}$ .

$\frac{x^{3} + y^{3}}{x^{4}} d x - x y^{2} d y = 0$

Etapa 6.3

Como os dois termos são cubos perfeitos, fatore usando a fórmula da soma de cubos, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ em que $a = x$ e $b = y$ .

$\frac{(x + y) (x^{2} - x y + y^{2})}{x^{4}} d x - x y^{2} d y = 0$

Etapa 6.4

Multiplique $- x y^{2}$ por $\frac{1}{x^{4}}$ .

$\frac{(x + y) (x^{2} - x y + y^{2})}{x^{4}} d x - x y^{2} \frac{1}{x^{4}} d y = 0$

Etapa 6.5

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 6.5.1

Fatore $x$ de $- x y^{2}$ .

$\frac{(x + y) (x^{2} - x y + y^{2})}{x^{4}} d x + x (- 1 y^{2}) \frac{1}{x^{4}} d y = 0$

Etapa 6.5.2

Fatore $x$ de $x^{4}$ .

$\frac{(x + y) (x^{2} - x y + y^{2})}{x^{4}} d x + x (- 1 y^{2}) \frac{1}{x \cdot x^{3}} d y = 0$

Etapa 6.5.3

Cancele o fator comum.

$\frac{(x + y) (x^{2} - x y + y^{2})}{x^{4}} d x + x (- 1 y^{2}) \frac{1}{x \cdot x^{3}} d y = 0$

Etapa 6.5.4

Reescreva a expressão.

$\frac{(x + y) (x^{2} - x y + y^{2})}{x^{4}} d x - 1 y^{2} \frac{1}{x^{3}} d y = 0$

Etapa 6.6

Combine $\frac{1}{x^{3}}$ e $y^{2}$ .

$\frac{(x + y) (x^{2} - x y + y^{2})}{x^{4}} d x - 1 \frac{y^{2}}{x^{3}} d y = 0$

Etapa 6.7

Reescreva $- 1 \frac{y^{2}}{x^{3}}$ como $- \frac{y^{2}}{x^{3}}$ .

$\frac{(x + y) (x^{2} - x y + y^{2})}{x^{4}} d x - \frac{y^{2}}{x^{3}} d y = 0$

Etapa 7

A integral de $f (x, y)$ é $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int - \frac{y^{2}}{x^{3}} d y$

Etapa 8

Integre $N (x, y) = - \frac{y^{2}}{x^{3}}$ para encontrar $f (x, y)$ .

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Etapa 8.1

Como $- 1$ é constante com relação a $y$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$f (x, y) = - \int \frac{y^{2}}{x^{3}} d y$

Etapa 8.2

Como $\frac{1}{x^{3}}$ é constante com relação a $y$ , mova $\frac{1}{x^{3}}$ para fora da integral.

$f (x, y) = - (\frac{1}{x^{3}} \int y^{2} d y)$

Etapa 8.3

Remova os parênteses.

$f (x, y) = - \frac{1}{x^{3}} \int y^{2} d y$

Etapa 8.4

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $y^{2}$ com relação a $y$ é $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$f (x, y) = - \frac{1}{x^{3}} (\frac{1}{3} y^{3} + C)$

Etapa 8.5

Simplifique a resposta.

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Etapa 8.5.1

Reescreva $- \frac{1}{x^{3}} (\frac{1}{3} y^{3} + C)$ como $- \frac{1}{x^{3}} \cdot \frac{1}{3} y^{3} + C$ .

$f (x, y) = - \frac{1}{x^{3}} \cdot \frac{1}{3} y^{3} + C$

Etapa 8.5.2

Simplifique.

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Etapa 8.5.2.1

Multiplique $\frac{1}{3}$ por $\frac{1}{x^{3}}$ .

$f (x, y) = - \frac{1}{3 x^{3}} y^{3} + C$

Etapa 8.5.2.2

Combine $y^{3}$ e $\frac{1}{3 x^{3}}$ .

$f (x, y) = - \frac{y^{3}}{3 x^{3}} + C$

Etapa 9

Como a integral de $g (x)$ conterá uma constante de integração, podemos substituir $C$ por $g (x)$ .

$f (x, y) = - \frac{y^{3}}{3 x^{3}} + g (x)$

Etapa 10

Defina $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{(x + y) (x^{2} - x y + y^{2})}{x^{4}}$

Etapa 11

Encontre $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

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Etapa 11.1

Diferencie $f$ em relação a $x$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{y^{3}}{3 x^{3}} + g (x)] = \frac{(x + y) (x^{2} - x y + y^{2})}{x^{4}}$

Etapa 11.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $- \frac{y^{3}}{3 x^{3}} + g (x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [- \frac{y^{3}}{3 x^{3}}] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{y^{3}}{3 x^{3}}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{(x + y) (x^{2} - x y + y^{2})}{x^{4}}$

Etapa 11.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- \frac{y^{3}}{3 x^{3}}]$ .

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Etapa 11.3.1

Como $- \frac{y^{3}}{3}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- \frac{y^{3}}{3 x^{3}}$ em relação a $x$ é $- \frac{y^{3}}{3} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$ .

$- \frac{y^{3}}{3} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{(x + y) (x^{2} - x y + y^{2})}{x^{4}}$

Etapa 11.3.2

Reescreva $\frac{1}{x^{3}}$ como ${(x^{3})}^{- 1}$ .

$- \frac{y^{3}}{3} \frac{d}{d x} [{(x^{3})}^{- 1}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{(x + y) (x^{2} - x y + y^{2})}{x^{4}}$

Etapa 11.3.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{- 1}$ e $g (x) = x^{3}$ .

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Etapa 11.3.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x^{3}$ .

$- \frac{y^{3}}{3} (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{(x + y) (x^{2} - x y + y^{2})}{x^{4}}$

Etapa 11.3.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = - 1$ .

$- \frac{y^{3}}{3} (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{(x + y) (x^{2} - x y + y^{2})}{x^{4}}$

Etapa 11.3.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{3}$ .

$- \frac{y^{3}}{3} (- {(x^{3})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{(x + y) (x^{2} - x y + y^{2})}{x^{4}}$

Etapa 11.3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$- \frac{y^{3}}{3} (- {(x^{3})}^{- 2} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{(x + y) (x^{2} - x y + y^{2})}{x^{4}}$

Etapa 11.3.5

Multiplique os expoentes em ${(x^{3})}^{- 2}$ .

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Etapa 11.3.5.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{y^{3}}{3} (- x^{3 \cdot - 2} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{(x + y) (x^{2} - x y + y^{2})}{x^{4}}$

Etapa 11.3.5.2

Multiplique $3$ por $- 2$ .

$- \frac{y^{3}}{3} (- x^{- 6} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{(x + y) (x^{2} - x y + y^{2})}{x^{4}}$

Etapa 11.3.6

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$- \frac{y^{3}}{3} (- 3 x^{- 6} x^{2}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{(x + y) (x^{2} - x y + y^{2})}{x^{4}}$

Etapa 11.3.7

Multiplique $x^{- 6}$ por $x^{2}$ somando os expoentes.

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Etapa 11.3.7.1

Mova $x^{2}$ .

$- \frac{y^{3}}{3} (- 3 (x^{2} x^{- 6})) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{(x + y) (x^{2} - x y + y^{2})}{x^{4}}$

Etapa 11.3.7.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$- \frac{y^{3}}{3} (- 3 x^{2 - 6}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{(x + y) (x^{2} - x y + y^{2})}{x^{4}}$

Etapa 11.3.7.3

Subtraia $6$ de $2$ .

$- \frac{y^{3}}{3} (- 3 x^{- 4}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{(x + y) (x^{2} - x y + y^{2})}{x^{4}}$

Etapa 11.3.8

Multiplique $- 3$ por $- 1$ .

$3 \frac{y^{3}}{3} x^{- 4} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{(x + y) (x^{2} - x y + y^{2})}{x^{4}}$

Etapa 11.3.9

Combine $3$ e $\frac{y^{3}}{3}$ .

$\frac{3 y^{3}}{3} x^{- 4} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{(x + y) (x^{2} - x y + y^{2})}{x^{4}}$

Etapa 11.3.10

Combine $\frac{3 y^{3}}{3}$ e $x^{- 4}$ .

$\frac{3 y^{3} x^{- 4}}{3} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{(x + y) (x^{2} - x y + y^{2})}{x^{4}}$

Etapa 11.3.11

Mova $x^{- 4}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{3 y^{3}}{3 x^{4}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{(x + y) (x^{2} - x y + y^{2})}{x^{4}}$

Etapa 11.3.12

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 11.3.12.1

Cancele o fator comum.

$\frac{3 y^{3}}{3 x^{4}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{(x + y) (x^{2} - x y + y^{2})}{x^{4}}$

Etapa 11.3.12.2

Reescreva a expressão.

$\frac{y^{3}}{x^{4}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{(x + y) (x^{2} - x y + y^{2})}{x^{4}}$

Etapa 11.4

Diferencie usando a regra da função que afirma que a derivada de $g (x)$ é $\frac{d g}{d x}$ .

$\frac{y^{3}}{x^{4}} + \frac{d g}{d x} = \frac{(x + y) (x^{2} - x y + y^{2})}{x^{4}}$

Etapa 11.5

Reordene os termos.

$\frac{d g}{d x} + \frac{y^{3}}{x^{4}} = \frac{(x + y) (x^{2} - x y + y^{2})}{x^{4}}$

Etapa 12

Resolva $\frac{d g}{d x}$ .

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Etapa 12.1

Resolva $\frac{d g}{d x}$ .

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Etapa 12.1.1

Mova todos os termos que contêm variáveis para o lado esquerdo da equação.

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Etapa 12.1.1.1

Subtraia $\frac{(x + y) (x^{2} - x y + y^{2})}{x^{4}}$ dos dois lados da equação.

$\frac{d g}{d x} + \frac{y^{3}}{x^{4}} - \frac{(x + y) (x^{2} - x y + y^{2})}{x^{4}} = 0$

Etapa 12.1.1.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{d g}{d x} + \frac{y^{3} - (x + y) (x^{2} - x y + y^{2})}{x^{4}} = 0$

Etapa 12.1.1.3

Simplifique cada termo.

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Etapa 12.1.1.3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{d g}{d x} + \frac{y^{3} + (- x - y) (x^{2} - x y + y^{2})}{x^{4}} = 0$

Etapa 12.1.1.3.2

Expanda $(- x - y) (x^{2} - x y + y^{2})$ multiplicando cada termo na primeira expressão por cada um dos termos na segunda expressão.

$\frac{d g}{d x} + \frac{y^{3} - x \cdot x^{2} - x (- x y) - x y^{2} - y x^{2} - y (- x y) - y \cdot y^{2}}{x^{4}} = 0$

Etapa 12.1.1.3.3

Simplifique cada termo.

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Etapa 12.1.1.3.3.1

Multiplique $x$ por $x^{2}$ somando os expoentes.

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Etapa 12.1.1.3.3.1.1

Mova $x^{2}$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{y^{3} - (x^{2} x) - x (- x y) - x y^{2} - y x^{2} - y (- x y) - y \cdot y^{2}}{x^{4}} = 0$

Etapa 12.1.1.3.3.1.2

Multiplique $x^{2}$ por $x$ .

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Etapa 12.1.1.3.3.1.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{y^{3} - (x^{2} x^{1}) - x (- x y) - x y^{2} - y x^{2} - y (- x y) - y \cdot y^{2}}{x^{4}} = 0$

Etapa 12.1.1.3.3.1.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{d g}{d x} + \frac{y^{3} - x^{2 + 1} - x (- x y) - x y^{2} - y x^{2} - y (- x y) - y \cdot y^{2}}{x^{4}} = 0$

Etapa 12.1.1.3.3.1.3

Some $2$ e $1$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{y^{3} - x^{3} - x (- x y) - x y^{2} - y x^{2} - y (- x y) - y \cdot y^{2}}{x^{4}} = 0$

Etapa 12.1.1.3.3.2

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 12.1.1.3.3.2.1

Mova $x$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{y^{3} - x^{3} - (x \cdot x) (- 1 y) - x y^{2} - y x^{2} - y (- x y) - y \cdot y^{2}}{x^{4}} = 0$

Etapa 12.1.1.3.3.2.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{y^{3} - x^{3} - x^{2} (- 1 y) - x y^{2} - y x^{2} - y (- x y) - y \cdot y^{2}}{x^{4}} = 0$

Etapa 12.1.1.3.3.3

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{d g}{d x} + \frac{y^{3} - x^{3} - 1 \cdot - 1 x^{2} y - x y^{2} - y x^{2} - y (- x y) - y \cdot y^{2}}{x^{4}} = 0$

Etapa 12.1.1.3.3.4

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{y^{3} - x^{3} + 1 x^{2} y - x y^{2} - y x^{2} - y (- x y) - y \cdot y^{2}}{x^{4}} = 0$

Etapa 12.1.1.3.3.5

Multiplique $x^{2}$ por $1$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{y^{3} - x^{3} + x^{2} y - x y^{2} - y x^{2} - y (- x y) - y \cdot y^{2}}{x^{4}} = 0$

Etapa 12.1.1.3.3.6

Multiplique $y$ por $y$ somando os expoentes.

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Etapa 12.1.1.3.3.6.1

Mova $y$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{y^{3} - x^{3} + x^{2} y - x y^{2} - y x^{2} - (y \cdot y) (- x) - y \cdot y^{2}}{x^{4}} = 0$

Etapa 12.1.1.3.3.6.2

Multiplique $y$ por $y$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{y^{3} - x^{3} + x^{2} y - x y^{2} - y x^{2} - y^{2} (- x) - y \cdot y^{2}}{x^{4}} = 0$

Etapa 12.1.1.3.3.7

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{d g}{d x} + \frac{y^{3} - x^{3} + x^{2} y - x y^{2} - y x^{2} - 1 \cdot - 1 y^{2} x - y \cdot y^{2}}{x^{4}} = 0$

Etapa 12.1.1.3.3.8

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{y^{3} - x^{3} + x^{2} y - x y^{2} - y x^{2} + 1 y^{2} x - y \cdot y^{2}}{x^{4}} = 0$

Etapa 12.1.1.3.3.9

Multiplique $y^{2}$ por $1$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{y^{3} - x^{3} + x^{2} y - x y^{2} - y x^{2} + y^{2} x - y \cdot y^{2}}{x^{4}} = 0$

Etapa 12.1.1.3.3.10

Multiplique $y$ por $y^{2}$ somando os expoentes.

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Etapa 12.1.1.3.3.10.1

Mova $y^{2}$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{y^{3} - x^{3} + x^{2} y - x y^{2} - y x^{2} + y^{2} x - (y^{2} y)}{x^{4}} = 0$

Etapa 12.1.1.3.3.10.2

Multiplique $y^{2}$ por $y$ .

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Etapa 12.1.1.3.3.10.2.1

Eleve $y$ à potência de $1$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{y^{3} - x^{3} + x^{2} y - x y^{2} - y x^{2} + y^{2} x - (y^{2} y^{1})}{x^{4}} = 0$

Etapa 12.1.1.3.3.10.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{d g}{d x} + \frac{y^{3} - x^{3} + x^{2} y - x y^{2} - y x^{2} + y^{2} x - y^{2 + 1}}{x^{4}} = 0$

Etapa 12.1.1.3.3.10.3

Some $2$ e $1$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{y^{3} - x^{3} + x^{2} y - x y^{2} - y x^{2} + y^{2} x - y^{3}}{x^{4}} = 0$

Etapa 12.1.1.3.4

Combine os termos opostos em $- x^{3} + x^{2} y - x y^{2} - y x^{2} + y^{2} x - y^{3}$ .

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Etapa 12.1.1.3.4.1

Reorganize os fatores nos termos $x^{2} y$ e $- y x^{2}$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{y^{3} - x^{3} + x^{2} y - x y^{2} - x^{2} y + y^{2} x - y^{3}}{x^{4}} = 0$

Etapa 12.1.1.3.4.2

Subtraia $x^{2} y$ de $x^{2} y$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{y^{3} - x^{3} - x y^{2} + 0 + y^{2} x - y^{3}}{x^{4}} = 0$

Etapa 12.1.1.3.4.3

Some $- x^{3} - x y^{2}$ e $0$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{y^{3} - x^{3} - x y^{2} + y^{2} x - y^{3}}{x^{4}} = 0$

Etapa 12.1.1.3.4.4

Reorganize os fatores nos termos $- x y^{2}$ e $y^{2} x$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{y^{3} - x^{3} - y^{2} x + y^{2} x - y^{3}}{x^{4}} = 0$

Etapa 12.1.1.3.4.5

Some $- y^{2} x$ e $y^{2} x$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{y^{3} - x^{3} + 0 - y^{3}}{x^{4}} = 0$

Etapa 12.1.1.3.4.6

Some $- x^{3}$ e $0$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{y^{3} - x^{3} - y^{3}}{x^{4}} = 0$

Etapa 12.1.1.4

Combine os termos opostos em $y^{3} - x^{3} - y^{3}$ .

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Etapa 12.1.1.4.1

Subtraia $y^{3}$ de $y^{3}$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{- x^{3} + 0}{x^{4}} = 0$

Etapa 12.1.1.4.2

Some $- x^{3}$ e $0$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{- x^{3}}{x^{4}} = 0$

Etapa 12.1.1.5

Simplifique cada termo.

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Etapa 12.1.1.5.1

Cancele o fator comum de $x^{3}$ e $x^{4}$ .

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Etapa 12.1.1.5.1.1

Fatore $x^{3}$ de $- x^{3}$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{x^{3} \cdot - 1}{x^{4}} = 0$

Etapa 12.1.1.5.1.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 12.1.1.5.1.2.1

Fatore $x^{3}$ de $x^{4}$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{x^{3} \cdot - 1}{x^{3} x} = 0$

Etapa 12.1.1.5.1.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{d g}{d x} + \frac{x^{3} \cdot - 1}{x^{3} x} = 0$

Etapa 12.1.1.5.1.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{d g}{d x} + \frac{- 1}{x} = 0$

Etapa 12.1.1.5.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{d g}{d x} - \frac{1}{x} = 0$

Etapa 12.1.2

Some $\frac{1}{x}$ aos dois lados da equação.

$\frac{d g}{d x} = \frac{1}{x}$

Etapa 13

Encontre a antiderivada de $\frac{1}{x}$ para encontrar $g (x)$ .

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Etapa 13.1

Integre ambos os lados de $\frac{d g}{d x} = \frac{1}{x}$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 13.2

Avalie $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 13.3

A integral de $\frac{1}{x}$ com relação a $x$ é $\ln (| x |)$ .

$g (x) = \ln (| x |) + C$

Etapa 14

Substitua por $g (x)$ em $f (x, y) = - \frac{y^{3}}{3 x^{3}} + g (x)$ .

$f (x, y) = - \frac{y^{3}}{3 x^{3}} + \ln (| x |) + C$