Cálculo Exemplos

$2 y d x = (x^{2} + 4) d y$

Etapa 1

Reescreva a equação.

$(x^{2} + 4) d y = 2 y d x$

Etapa 2

Multiplique os dois lados por $\frac{1}{(x^{2} + 4) y}$ .

$\frac{1}{(x^{2} + 4) y} (x^{2} + 4) d y = \frac{1}{(x^{2} + 4) y} (2 y) d x$

Etapa 3

Simplifique.

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Etapa 3.1

Cancele o fator comum de $x^{2} + 4$ .

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Etapa 3.1.1

Fatore $x^{2} + 4$ de $(x^{2} + 4) y$ .

$\frac{1}{(x^{2} + 4) (y)} (x^{2} + 4) d y = \frac{1}{(x^{2} + 4) y} (2 y) d x$

Etapa 3.1.2

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{(x^{2} + 4) y} (x^{2} + 4) d y = \frac{1}{(x^{2} + 4) y} (2 y) d x$

Etapa 3.1.3

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{y} d y = \frac{1}{(x^{2} + 4) y} (2 y) d x$

Etapa 3.2

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{1}{y} d y = 2 \frac{1}{(x^{2} + 4) y} y d x$

Etapa 3.3

Combine $2$ e $\frac{1}{(x^{2} + 4) y}$ .

$\frac{1}{y} d y = \frac{2}{(x^{2} + 4) y} y d x$

Etapa 3.4

Cancele o fator comum de $y$ .

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Etapa 3.4.1

Fatore $y$ de $(x^{2} + 4) y$ .

$\frac{1}{y} d y = \frac{2}{y (x^{2} + 4)} y d x$

Etapa 3.4.2

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{y} d y = \frac{2}{y (x^{2} + 4)} y d x$

Etapa 3.4.3

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{y} d y = \frac{2}{x^{2} + 4} d x$

Etapa 4

Integre os dois lados.

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Etapa 4.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{1}{y} d y = \int \frac{2}{x^{2} + 4} d x$

Etapa 4.2

A integral de $\frac{1}{y}$ com relação a $y$ é $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{2}{x^{2} + 4} d x$

Etapa 4.3

Integre o lado direito.

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Etapa 4.3.1

Como $2$ é constante com relação a $x$ , mova $2$ para fora da integral.

$\ln (| y |) + C_{1} = 2 \int \frac{1}{x^{2} + 4} d x$

Etapa 4.3.2

Simplifique a expressão.

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Etapa 4.3.2.1

Reordene $x^{2}$ e $4$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 2 \int \frac{1}{4 + x^{2}} d x$

Etapa 4.3.2.2

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 2 \int \frac{1}{2^{2} + x^{2}} d x$

Etapa 4.3.3

A integral de $\frac{1}{2^{2} + x^{2}}$ com relação a $x$ é $\frac{1}{2} \arctan (\frac{x}{2}) + C_{2}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 2 (\frac{1}{2} \arctan (\frac{x}{2}) + C_{2})$

Etapa 4.3.4

Simplifique a resposta.

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Etapa 4.3.4.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $\arctan (\frac{x}{2})$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 2 (\frac{\arctan (\frac{x}{2})}{2} + C_{2})$

Etapa 4.3.4.2

Reescreva $2 (\frac{\arctan (\frac{x}{2})}{2} + C_{2})$ como $2 (\frac{1}{2}) \arctan (\frac{1}{2} x) + C_{2}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 2 (\frac{1}{2}) \arctan (\frac{1}{2} x) + C_{2}$

Etapa 4.3.4.3

Simplifique.

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Etapa 4.3.4.3.1

Combine $2$ e $\frac{1}{2}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{2}{2} \arctan (\frac{1}{2} x) + C_{2}$

Etapa 4.3.4.3.2

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 4.3.4.3.2.1

Cancele o fator comum.

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{2}{2} \arctan (\frac{1}{2} x) + C_{2}$

Etapa 4.3.4.3.2.2

Reescreva a expressão.

$\ln (| y |) + C_{1} = 1 \arctan (\frac{1}{2} x) + C_{2}$

Etapa 4.3.4.3.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $x$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 1 \arctan (\frac{x}{2}) + C_{2}$

Etapa 4.3.4.3.4

Multiplique $\arctan (\frac{x}{2})$ por $1$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \arctan (\frac{x}{2}) + C_{2}$

Etapa 4.3.4.4

Reordene os termos.

$\ln (| y |) + C_{1} = \arctan (\frac{1}{2} x) + C_{2}$

Etapa 4.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $C$ .

$\ln (| y |) = \arctan (\frac{1}{2} x) + C$

Etapa 5

Resolva $y$ .

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Etapa 5.1

Para resolver $y$ , reescreva a equação usando propriedades de logaritmos.

$e^{\ln (| y |)} = e^{\arctan (\frac{1}{2} x) + C}$

Etapa 5.2

Reescreva $\ln (| y |) = \arctan (\frac{1}{2} x) + C$ na forma exponencial usando a definição de um logaritmo. Se $x$ e $b$ forem números reais positivos e $b \neq 1$ , então, $\log_{b} (x) = y$ será equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{\arctan (\frac{1}{2} x) + C} = | y |$

Etapa 5.3

Resolva $y$ .

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Etapa 5.3.1

Reescreva a equação como $| y | = e^{\arctan (\frac{1}{2} x) + C}$ .

$| y | = e^{\arctan (\frac{1}{2} x) + C}$

Etapa 5.3.2

Remova o termo de valor absoluto. Isso cria um $\pm$ no lado direito da equação, porque $| x | = \pm x$ .

$y = \pm e^{\arctan (\frac{1}{2} x) + C}$

Etapa 6

Agrupe os termos da constante.

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Etapa 6.1

Reescreva $e^{\arctan (\frac{1}{2} x) + C}$ como $e^{\arctan (\frac{1}{2} x)} e^{C}$ .

$y = \pm e^{\arctan (\frac{1}{2} x)} e^{C}$

Etapa 6.2

Reordene $e^{\arctan (\frac{1}{2} x)}$ e $e^{C}$ .

$y = \pm e^{C} e^{\arctan (\frac{1}{2} x)}$

Etapa 6.3

Combine constantes com o sinal de mais ou menos.

$y = C e^{\arctan (\frac{1}{2} x)}$