Cálculo Exemplos

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{\sqrt{16 - x^{2}}}$ , $y (0) = π$

Etapa 1

Reescreva a equação.

$d y = \frac{1}{\sqrt{16 - x^{2}}} d x$

Etapa 2

Integre os dois lados.

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Etapa 2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int d y = \int \frac{1}{\sqrt{16 - x^{2}}} d x$

Etapa 2.2

Aplique a regra da constante.

$y + C_{1} = \int \frac{1}{\sqrt{16 - x^{2}}} d x$

Etapa 2.3

Integre o lado direito.

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Etapa 2.3.1

Reescreva $16$ como $4^{2}$ .

$y + C_{1} = \int \frac{1}{\sqrt{4^{2} - x^{2}}} d x$

Etapa 2.3.2

A integral de $\frac{1}{\sqrt{4^{2} - x^{2}}}$ com relação a $x$ é $\arcsin (\frac{x}{4})$

$y + C_{1} = \arcsin (\frac{x}{4}) + C_{2}$

Etapa 2.3.3

Reescreva $\arcsin (\frac{x}{4}) + C_{2}$ como $\arcsin (\frac{1}{4} x) + C_{2}$ .

$y + C_{1} = \arcsin (\frac{1}{4} x) + C_{2}$

Etapa 2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $K$ .

$y = \arcsin (\frac{1}{4} x) + K$

Etapa 3

Use a condição inicial para encontrar o valor de $K$ , substituindo $0$ por $x$ e $π$ por $y$ em $y = \arcsin (\frac{1}{4} x) + K$ .

$π = \arcsin (\frac{1}{4} \cdot 0) + K$

Etapa 4

Resolva $K$ .

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Etapa 4.1

Reescreva a equação como $\arcsin (\frac{1}{4} \cdot 0) + K = π$ .

$\arcsin (\frac{1}{4} \cdot 0) + K = π$

Etapa 4.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 4.2.1

Simplifique $\arcsin (\frac{1}{4} \cdot 0) + K$ .

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Etapa 4.2.1.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.2.1.1.1

Multiplique $\frac{1}{4}$ por $0$ .

$\arcsin (0) + K = π$

Etapa 4.2.1.1.2

O valor exato de $\arcsin (0)$ é $0$ .

$0 + K = π$

Etapa 4.2.1.2

Some $0$ e $K$ .

$K = π$

Etapa 5

Substitua $π$ por $K$ em $y = \arcsin (\frac{1}{4} x) + K$ e simplifique.

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Etapa 5.1

Substitua $π$ por $K$ .

$y = \arcsin (\frac{1}{4} x) + π$

Etapa 5.2

Combine $\frac{1}{4}$ e $x$ .

$y = \arcsin (\frac{x}{4}) + π$