Cálculo Exemplos

$2 x y d x + y^{2} d y = 0$

Etapa 1

Subtraia $2 x y d x$ dos dois lados da equação.

$y^{2} d y = - 2 x y d x$

Etapa 2

Multiplique os dois lados por $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y} y^{2} d y = \frac{1}{y} (- 2 x y) d x$

Etapa 3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Cancele o fator comum de $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.1

Fatore $y$ de $y^{2}$ .

$\frac{1}{y} (y \cdot y) d y = \frac{1}{y} (- 2 x y) d x$

Etapa 3.1.2

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{y} (y \cdot y) d y = \frac{1}{y} (- 2 x y) d x$

Etapa 3.1.3

Reescreva a expressão.

$y d y = \frac{1}{y} (- 2 x y) d x$

Etapa 3.2

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$y d y = - 2 \frac{1}{y} (x y) d x$

Etapa 3.3

Combine $- 2$ e $\frac{1}{y}$ .

$y d y = \frac{- 2}{y} (x y) d x$

Etapa 3.4

Cancele o fator comum de $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.1

Fatore $y$ de $x y$ .

$y d y = \frac{- 2}{y} (y x) d x$

Etapa 3.4.2

Cancele o fator comum.

$y d y = \frac{- 2}{y} (y x) d x$

Etapa 3.4.3

Reescreva a expressão.

$y d y = - 2 x d x$

Etapa 4

Integre os dois lados.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int y d y = \int - 2 x d x$

Etapa 4.2

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $y$ com relação a $y$ é $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int - 2 x d x$

Etapa 4.3

Integre o lado direito.

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Etapa 4.3.1

Como $- 2$ é constante com relação a $x$ , mova $- 2$ para fora da integral.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - 2 \int x d x$

Etapa 4.3.2

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x$ com relação a $x$ é $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$

Etapa 4.3.3

Simplifique a resposta.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.3.1

Reescreva $- 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$ como $- 2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - 2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{2}$

Etapa 4.3.3.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.3.2.1

Combine $- 2$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{- 2}{2} x^{2} + C_{2}$

Etapa 4.3.3.2.2

Cancele o fator comum de $- 2$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.3.2.2.1

Fatore $2$ de $- 2$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{2 \cdot - 1}{2} x^{2} + C_{2}$

Etapa 4.3.3.2.2.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.3.2.2.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{2 \cdot - 1}{2 (1)} x^{2} + C_{2}$

Etapa 4.3.3.2.2.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1} x^{2} + C_{2}$

Etapa 4.3.3.2.2.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{- 1}{1} x^{2} + C_{2}$

Etapa 4.3.3.2.2.2.4

Divida $- 1$ por $1$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - x^{2} + C_{2}$

Etapa 4.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $K$ .

$\frac{1}{2} y^{2} = - x^{2} + K$

Etapa 5

Resolva $y$ .

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Etapa 5.1

Multiplique os dois lados da equação por $2$ .

$2 (\frac{1}{2} y^{2}) = 2 (- x^{2} + K)$

Etapa 5.2

Simplifique os dois lados da equação.

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Etapa 5.2.1

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.2.1.1

Simplifique $2 (\frac{1}{2} y^{2})$ .

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Etapa 5.2.1.1.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $y^{2}$ .

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (- x^{2} + K)$

Etapa 5.2.1.1.2

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 5.2.1.1.2.1

Cancele o fator comum.

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (- x^{2} + K)$

Etapa 5.2.1.1.2.2

Reescreva a expressão.

$y^{2} = 2 (- x^{2} + K)$

Etapa 5.2.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.2.2.1

Simplifique $2 (- x^{2} + K)$ .

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Etapa 5.2.2.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$y^{2} = 2 (- x^{2}) + 2 K$

Etapa 5.2.2.1.2

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$y^{2} = - 2 x^{2} + 2 K$

Etapa 5.3

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$y = \pm \sqrt{- 2 x^{2} + 2 K}$

Etapa 5.4

Fatore $2$ de $- 2 x^{2} + 2 K$ .

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Etapa 5.4.1

Fatore $2$ de $- 2 x^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{2 (- x^{2}) + 2 K}$

Etapa 5.4.2

Fatore $2$ de $2 K$ .

$y = \pm \sqrt{2 (- x^{2}) + 2 K}$

Etapa 5.4.3

Fatore $2$ de $2 (- x^{2}) + 2 K$ .

$y = \pm \sqrt{2 (- x^{2} + K)}$

Etapa 5.5

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 5.5.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$y = \sqrt{2 (- x^{2} + K)}$

Etapa 5.5.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$y = - \sqrt{2 (- x^{2} + K)}$

Etapa 5.5.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$y = \sqrt{2 (- x^{2} + K)}$

$y = - \sqrt{2 (- x^{2} + K)}$

$y = \sqrt{2 (- x^{2} + K)}$

$y = - \sqrt{2 (- x^{2} + K)}$

$y = \sqrt{2 (- x^{2} + K)}$

$y = - \sqrt{2 (- x^{2} + K)}$