Cálculo Exemplos

$(y - 2) d x + (3 x - y) d y = 0$

Etapa 1

Encontre $\frac{\partial M}{\partial y}$ em $M (x, y) = y - 2$ .

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Etapa 1.1

Diferencie $M$ em relação a $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y - 2]$

Etapa 1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $y - 2$ com relação a $y$ é $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 2]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 2]$

Etapa 1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 1 + \frac{d}{d y} [- 2]$

Etapa 1.4

Como $- 2$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $- 2$ em relação a $y$ é $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 1 + 0$

Etapa 1.5

Some $1$ e $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 1$

Etapa 2

Encontre $\frac{\partial N}{\partial x}$ em $N (x, y) = 3 x - y$ .

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Etapa 2.1

Diferencie $N$ em relação a $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [3 x - y]$

Etapa 2.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $3 x - y$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- y]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- y]$

Etapa 2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [3 x]$ .

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Etapa 2.3.1

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y]$

Etapa 2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- y]$

Etapa 2.3.3

Multiplique $3$ por $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 + \frac{d}{d x} [- y]$

Etapa 2.4

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 2.4.1

Como $- y$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- y$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 + 0$

Etapa 2.4.2

Some $3$ e $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3$

Etapa 3

Verifique se $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Etapa 3.1

Substitua $1$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ e $3$ por $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$1 = 3$

Etapa 3.2

O lado esquerdo não é igual ao direito. Portanto, a equação não é uma identidade.

$1 = 3$ não é uma identidade.

Etapa 4

Encontre o fator de integração $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

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Etapa 4.1

Substitua $3$ por $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{3 - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

Etapa 4.2

Substitua $1$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{3 - 1}{M}$

Etapa 4.3

Substitua $y - 2$ por $M$ .

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Etapa 4.3.1

Substitua $y - 2$ por $M$ .

$\frac{3 - 1}{y - 2}$

Etapa 4.3.2

Substitua $y - 2$ por $M$ .

$\frac{2}{y - 2}$

Etapa 4.4

Encontre o fator de integração $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

$μ (x, y) = e^{\int \frac{2}{y - 2} d y}$

Etapa 5

Avalie a integral $e^{\int \frac{2}{y - 2} d y}$ .

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Etapa 5.1

Como $2$ é constante com relação a $y$ , mova $2$ para fora da integral.

$μ (x, y) = e^{2 \int \frac{1}{y - 2} d y}$

Etapa 5.2

Deixe $u = y - 2$ . Depois, $d u = d y$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 5.2.1

Deixe $u = y - 2$ . Encontre $\frac{d u}{d y}$ .

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Etapa 5.2.1.1

Diferencie $y - 2$ .

$\frac{d}{d y} [y - 2]$

Etapa 5.2.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $y - 2$ com relação a $y$ é $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 2]$ .

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 2]$

Etapa 5.2.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d y} [- 2]$

Etapa 5.2.1.4

Como $- 2$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $- 2$ em relação a $y$ é $0$ .

$1 + 0$

Etapa 5.2.1.5

Some $1$ e $0$ .

$1$

Etapa 5.2.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$μ (x, y) = e^{2 \int \frac{1}{u} d u}$

Etapa 5.3

A integral de $\frac{1}{u}$ com relação a $u$ é $\ln (| u |)$ .

$μ (x, y) = e^{2 (\ln (| u |) + C)}$

Etapa 5.4

Simplifique.

$μ (x, y) = e^{2 \ln (| u |)} + C$

Etapa 5.5

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $y - 2$ .

$μ (x, y) = e^{2 \ln (| y - 2 |)} + C$

Etapa 5.6

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.6.1

Simplifique $2 \ln (| y - 2 |)$ movendo $2$ para dentro do logaritmo.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| y - 2 |}^{2})} + C$

Etapa 5.6.2

Potenciação e logaritmo são funções inversas.

$μ (x, y) = {| y - 2 |}^{2} + C$

Etapa 5.6.3

Remova o valor absoluto em ${| y - 2 |}^{2}$ , porque exponenciações com potências pares são sempre positivas.

$μ (x, y) = {(y - 2)}^{2} + C$

Etapa 5.6.4

Reescreva ${(y - 2)}^{2}$ como $(y - 2) (y - 2)$ .

$μ (x, y) = (y - 2) (y - 2) + C$

Etapa 5.6.5

Expanda $(y - 2) (y - 2)$ usando o método FOIL.

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Etapa 5.6.5.1

Aplique a propriedade distributiva.

$μ (x, y) = y (y - 2) - 2 (y - 2) + C$

Etapa 5.6.5.2

Aplique a propriedade distributiva.

$μ (x, y) = y \cdot y + y \cdot - 2 - 2 (y - 2) + C$

Etapa 5.6.5.3

Aplique a propriedade distributiva.

$μ (x, y) = y \cdot y + y \cdot - 2 - 2 y - 2 \cdot - 2 + C$

Etapa 5.6.6

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 5.6.6.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.6.6.1.1

Multiplique $y$ por $y$ .

$μ (x, y) = y^{2} + y \cdot - 2 - 2 y - 2 \cdot - 2 + C$

Etapa 5.6.6.1.2

Mova $- 2$ para a esquerda de $y$ .

$μ (x, y) = y^{2} - 2 \cdot y - 2 y - 2 \cdot - 2 + C$

Etapa 5.6.6.1.3

Multiplique $- 2$ por $- 2$ .

$μ (x, y) = y^{2} - 2 y - 2 y + 4 + C$

Etapa 5.6.6.2

Subtraia $2 y$ de $- 2 y$ .

$μ (x, y) = y^{2} - 4 y + 4 + C$

Etapa 6

Multiplique ambos os lados de $(y - 2) d x + (3 x - y) d y = 0$ pelo fator de integração $y^{2} - 4 y + 4$ .

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Etapa 6.1

Multiplique $y - 2$ por $y^{2} - 4 y + 4$ .

$(y - 2) (y^{2} - 4 y + 4) d x + (3 x - y) d y = 0$

Etapa 6.2

Expanda $(y - 2) (y^{2} - 4 y + 4)$ multiplicando cada termo na primeira expressão por cada um dos termos na segunda expressão.

$(y \cdot y^{2} + y (- 4 y) + y \cdot 4 - 2 y^{2} - 2 (- 4 y) - 2 \cdot 4) d x + (3 x - y) d y = 0$

Etapa 6.3

Simplifique cada termo.

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Etapa 6.3.1

Multiplique $y$ por $y^{2}$ somando os expoentes.

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Etapa 6.3.1.1

Multiplique $y$ por $y^{2}$ .

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Etapa 6.3.1.1.1

Eleve $y$ à potência de $1$ .

$(y^{1} y^{2} + y (- 4 y) + y \cdot 4 - 2 y^{2} - 2 (- 4 y) - 2 \cdot 4) d x + (3 x - y) d y = 0$

Etapa 6.3.1.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$(y^{1 + 2} + y (- 4 y) + y \cdot 4 - 2 y^{2} - 2 (- 4 y) - 2 \cdot 4) d x + (3 x - y) d y = 0$

Etapa 6.3.1.2

Some $1$ e $2$ .

$(y^{3} + y (- 4 y) + y \cdot 4 - 2 y^{2} - 2 (- 4 y) - 2 \cdot 4) d x + (3 x - y) d y = 0$

Etapa 6.3.2

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$(y^{3} - 4 y \cdot y + y \cdot 4 - 2 y^{2} - 2 (- 4 y) - 2 \cdot 4) d x + (3 x - y) d y = 0$

Etapa 6.3.3

Multiplique $y$ por $y$ somando os expoentes.

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Etapa 6.3.3.1

Mova $y$ .

$(y^{3} - 4 (y \cdot y) + y \cdot 4 - 2 y^{2} - 2 (- 4 y) - 2 \cdot 4) d x + (3 x - y) d y = 0$

Etapa 6.3.3.2

Multiplique $y$ por $y$ .

$(y^{3} - 4 y^{2} + y \cdot 4 - 2 y^{2} - 2 (- 4 y) - 2 \cdot 4) d x + (3 x - y) d y = 0$

Etapa 6.3.4

Mova $4$ para a esquerda de $y$ .

$(y^{3} - 4 y^{2} + 4 \cdot y - 2 y^{2} - 2 (- 4 y) - 2 \cdot 4) d x + (3 x - y) d y = 0$

Etapa 6.3.5

Multiplique $- 4$ por $- 2$ .

$(y^{3} - 4 y^{2} + 4 y - 2 y^{2} + 8 y - 2 \cdot 4) d x + (3 x - y) d y = 0$

Etapa 6.3.6

Multiplique $- 2$ por $4$ .

$(y^{3} - 4 y^{2} + 4 y - 2 y^{2} + 8 y - 8) d x + (3 x - y) d y = 0$

Etapa 6.4

Subtraia $2 y^{2}$ de $- 4 y^{2}$ .

$(y^{3} - 6 y^{2} + 4 y + 8 y - 8) d x + (3 x - y) d y = 0$

Etapa 6.5

Some $4 y$ e $8 y$ .

$(y^{3} - 6 y^{2} + 12 y - 8) d x + (3 x - y) d y = 0$

Etapa 6.6

Multiplique $3 x - y$ por $y^{2} - 4 y + 4$ .

$(y^{3} - 6 y^{2} + 12 y - 8) d x + (3 x - y) (y^{2} - 4 y + 4) d y = 0$

Etapa 6.7

Expanda $(3 x - y) (y^{2} - 4 y + 4)$ multiplicando cada termo na primeira expressão por cada um dos termos na segunda expressão.

$(y^{3} - 6 y^{2} + 12 y - 8) d x + (3 x y^{2} + 3 x (- 4 y) + 3 x \cdot 4 - y \cdot y^{2} - y (- 4 y) - y \cdot 4) d y = 0$

Etapa 6.8

Simplifique cada termo.

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Etapa 6.8.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$(y^{3} - 6 y^{2} + 12 y - 8) d x + (3 x y^{2} + 3 \cdot - 4 x y + 3 x \cdot 4 - y \cdot y^{2} - y (- 4 y) - y \cdot 4) d y = 0$

Etapa 6.8.2

Multiplique $3$ por $- 4$ .

$(y^{3} - 6 y^{2} + 12 y - 8) d x + (3 x y^{2} - 12 x y + 3 x \cdot 4 - y \cdot y^{2} - y (- 4 y) - y \cdot 4) d y = 0$

Etapa 6.8.3

Multiplique $4$ por $3$ .

$(y^{3} - 6 y^{2} + 12 y - 8) d x + (3 x y^{2} - 12 x y + 12 x - y \cdot y^{2} - y (- 4 y) - y \cdot 4) d y = 0$

Etapa 6.8.4

Multiplique $y$ por $y^{2}$ somando os expoentes.

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Etapa 6.8.4.1

Mova $y^{2}$ .

$(y^{3} - 6 y^{2} + 12 y - 8) d x + (3 x y^{2} - 12 x y + 12 x - (y^{2} y) - y (- 4 y) - y \cdot 4) d y = 0$

Etapa 6.8.4.2

Multiplique $y^{2}$ por $y$ .

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Etapa 6.8.4.2.1

Eleve $y$ à potência de $1$ .

$(y^{3} - 6 y^{2} + 12 y - 8) d x + (3 x y^{2} - 12 x y + 12 x - (y^{2} y^{1}) - y (- 4 y) - y \cdot 4) d y = 0$

Etapa 6.8.4.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$(y^{3} - 6 y^{2} + 12 y - 8) d x + (3 x y^{2} - 12 x y + 12 x - y^{2 + 1} - y (- 4 y) - y \cdot 4) d y = 0$

Etapa 6.8.4.3

Some $2$ e $1$ .

$(y^{3} - 6 y^{2} + 12 y - 8) d x + (3 x y^{2} - 12 x y + 12 x - y^{3} - y (- 4 y) - y \cdot 4) d y = 0$

Etapa 6.8.5

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$(y^{3} - 6 y^{2} + 12 y - 8) d x + (3 x y^{2} - 12 x y + 12 x - y^{3} - 1 \cdot - 4 y \cdot y - y \cdot 4) d y = 0$

Etapa 6.8.6

Multiplique $y$ por $y$ somando os expoentes.

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Etapa 6.8.6.1

Mova $y$ .

$(y^{3} - 6 y^{2} + 12 y - 8) d x + (3 x y^{2} - 12 x y + 12 x - y^{3} - 1 \cdot - 4 (y \cdot y) - y \cdot 4) d y = 0$

Etapa 6.8.6.2

Multiplique $y$ por $y$ .

$(y^{3} - 6 y^{2} + 12 y - 8) d x + (3 x y^{2} - 12 x y + 12 x - y^{3} - 1 \cdot - 4 y^{2} - y \cdot 4) d y = 0$

Etapa 6.8.7

Multiplique $- 1$ por $- 4$ .

$(y^{3} - 6 y^{2} + 12 y - 8) d x + (3 x y^{2} - 12 x y + 12 x - y^{3} + 4 y^{2} - y \cdot 4) d y = 0$

Etapa 6.8.8

Multiplique $4$ por $- 1$ .

$(y^{3} - 6 y^{2} + 12 y - 8) d x + (3 x y^{2} - 12 x y + 12 x - y^{3} + 4 y^{2} - 4 y) d y = 0$

Etapa 7

A integral de $f (x, y)$ é $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int y^{3} - 6 y^{2} + 12 y - 8 d x$

Etapa 8

Integre $M (x, y) = y^{3} - 6 y^{2} + 12 y - 8$ para encontrar $f (x, y)$ .

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Etapa 8.1

Aplique a regra da constante.

$f (x, y) = (y^{3} - 6 y^{2} + 12 y - 8) x + C$

Etapa 9

Como a integral de $g (y)$ conterá uma constante de integração, podemos substituir $C$ por $g (y)$ .

$f (x, y) = (y^{3} - 6 y^{2} + 12 y - 8) x + g (y)$

Etapa 10

Defina $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = 3 x y^{2} - 12 x y + 12 x - y^{3} + 4 y^{2} - 4 y$

Etapa 11

Encontre $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

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Etapa 11.1

Diferencie $f$ em relação a $y$ .

$\frac{d}{d y} [(y^{3} - 6 y^{2} + 12 y - 8) x + g (y)] = 3 x y^{2} - 12 x y + 12 x - y^{3} + 4 y^{2} - 4 y$

Etapa 11.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $(y^{3} - 6 y^{2} + 12 y - 8) x + g (y)$ com relação a $y$ é $\frac{d}{d y} [(y^{3} - 6 y^{2} + 12 y - 8) x] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [(y^{3} - 6 y^{2} + 12 y - 8) x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x y^{2} - 12 x y + 12 x - y^{3} + 4 y^{2} - 4 y$

Etapa 11.3

Avalie $\frac{d}{d y} [(y^{3} - 6 y^{2} + 12 y - 8) x]$ .

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Etapa 11.3.1

Como $x$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $(y^{3} - 6 y^{2} + 12 y - 8) x$ em relação a $y$ é $x \frac{d}{d y} [y^{3} - 6 y^{2} + 12 y - 8]$ .

$x \frac{d}{d y} [y^{3} - 6 y^{2} + 12 y - 8] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x y^{2} - 12 x y + 12 x - y^{3} + 4 y^{2} - 4 y$

Etapa 11.3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $y^{3} - 6 y^{2} + 12 y - 8$ com relação a $y$ é $\frac{d}{d y} [y^{3}] + \frac{d}{d y} [- 6 y^{2}] + \frac{d}{d y} [12 y] + \frac{d}{d y} [- 8]$ .

$x (\frac{d}{d y} [y^{3}] + \frac{d}{d y} [- 6 y^{2}] + \frac{d}{d y} [12 y] + \frac{d}{d y} [- 8]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x y^{2} - 12 x y + 12 x - y^{3} + 4 y^{2} - 4 y$

Etapa 11.3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$x (3 y^{2} + \frac{d}{d y} [- 6 y^{2}] + \frac{d}{d y} [12 y] + \frac{d}{d y} [- 8]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x y^{2} - 12 x y + 12 x - y^{3} + 4 y^{2} - 4 y$

Etapa 11.3.4

Como $- 6$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $- 6 y^{2}$ em relação a $y$ é $- 6 \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$x (3 y^{2} - 6 \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [12 y] + \frac{d}{d y} [- 8]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x y^{2} - 12 x y + 12 x - y^{3} + 4 y^{2} - 4 y$

Etapa 11.3.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$x (3 y^{2} - 6 (2 y) + \frac{d}{d y} [12 y] + \frac{d}{d y} [- 8]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x y^{2} - 12 x y + 12 x - y^{3} + 4 y^{2} - 4 y$

Etapa 11.3.6

Como $12$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $12 y$ em relação a $y$ é $12 \frac{d}{d y} [y]$ .

$x (3 y^{2} - 6 (2 y) + 12 \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 8]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x y^{2} - 12 x y + 12 x - y^{3} + 4 y^{2} - 4 y$

Etapa 11.3.7

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$x (3 y^{2} - 6 (2 y) + 12 \cdot 1 + \frac{d}{d y} [- 8]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x y^{2} - 12 x y + 12 x - y^{3} + 4 y^{2} - 4 y$

Etapa 11.3.8

Como $- 8$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $- 8$ em relação a $y$ é $0$ .

$x (3 y^{2} - 6 (2 y) + 12 \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x y^{2} - 12 x y + 12 x - y^{3} + 4 y^{2} - 4 y$

Etapa 11.3.9

Multiplique $2$ por $- 6$ .

$x (3 y^{2} - 12 y + 12 \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x y^{2} - 12 x y + 12 x - y^{3} + 4 y^{2} - 4 y$

Etapa 11.3.10

Multiplique $12$ por $1$ .

$x (3 y^{2} - 12 y + 12 + 0) + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x y^{2} - 12 x y + 12 x - y^{3} + 4 y^{2} - 4 y$

Etapa 11.3.11

Some $3 y^{2} - 12 y + 12$ e $0$ .

$x (3 y^{2} - 12 y + 12) + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x y^{2} - 12 x y + 12 x - y^{3} + 4 y^{2} - 4 y$

Etapa 11.4

Diferencie usando a regra da função que afirma que a derivada de $g (y)$ é $\frac{d g}{d y}$ .

$x (3 y^{2} - 12 y + 12) + \frac{d g}{d y} = 3 x y^{2} - 12 x y + 12 x - y^{3} + 4 y^{2} - 4 y$

Etapa 11.5

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.5.1

Aplique a propriedade distributiva.

$x (3 y^{2}) + x (- 12 y) + x \cdot 12 + \frac{d g}{d y} = 3 x y^{2} - 12 x y + 12 x - y^{3} + 4 y^{2} - 4 y$

Etapa 11.5.2

Combine os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.5.2.1

Mova $3$ para a esquerda de $x$ .

$3 \cdot x y^{2} + x (- 12 y) + x \cdot 12 + \frac{d g}{d y} = 3 x y^{2} - 12 x y + 12 x - y^{3} + 4 y^{2} - 4 y$

Etapa 11.5.2.2

Mova $12$ para a esquerda de $x$ .

$3 x y^{2} + x (- 12 y) + 12 x + \frac{d g}{d y} = 3 x y^{2} - 12 x y + 12 x - y^{3} + 4 y^{2} - 4 y$

Etapa 11.5.3

Reordene os termos.

$\frac{d g}{d y} + 3 y^{2} x - 12 x y + 12 x = 3 x y^{2} - 12 x y + 12 x - y^{3} + 4 y^{2} - 4 y$

Etapa 12

Resolva $\frac{d g}{d y}$ .

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Etapa 12.1

Mova todos os termos que não contêm $\frac{d g}{d y}$ para o lado direito da equação.

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Etapa 12.1.1

Subtraia $3 y^{2} x$ dos dois lados da equação.

$\frac{d g}{d y} - 12 x y + 12 x = 3 x y^{2} - 12 x y + 12 x - y^{3} + 4 y^{2} - 4 y - 3 y^{2} x$

Etapa 12.1.2

Some $12 x y$ aos dois lados da equação.

$\frac{d g}{d y} + 12 x = 3 x y^{2} - 12 x y + 12 x - y^{3} + 4 y^{2} - 4 y - 3 y^{2} x + 12 x y$

Etapa 12.1.3

Subtraia $12 x$ dos dois lados da equação.

$\frac{d g}{d y} = 3 x y^{2} - 12 x y + 12 x - y^{3} + 4 y^{2} - 4 y - 3 y^{2} x + 12 x y - 12 x$

Etapa 12.1.4

Combine os termos opostos em $3 x y^{2} - 12 x y + 12 x - y^{3} + 4 y^{2} - 4 y - 3 y^{2} x + 12 x y - 12 x$ .

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Etapa 12.1.4.1

Reorganize os fatores nos termos $3 x y^{2}$ e $- 3 y^{2} x$ .

$\frac{d g}{d y} = 3 y^{2} x - 12 x y + 12 x - y^{3} + 4 y^{2} - 4 y - 3 y^{2} x + 12 x y - 12 x$

Etapa 12.1.4.2

Subtraia $3 y^{2} x$ de $3 y^{2} x$ .

$\frac{d g}{d y} = - 12 x y + 12 x - y^{3} + 4 y^{2} - 4 y + 0 + 12 x y - 12 x$

Etapa 12.1.4.3

Some $- 12 x y + 12 x - y^{3} + 4 y^{2} - 4 y$ e $0$ .

$\frac{d g}{d y} = - 12 x y + 12 x - y^{3} + 4 y^{2} - 4 y + 12 x y - 12 x$

Etapa 12.1.4.4

Some $- 12 x y$ e $12 x y$ .

$\frac{d g}{d y} = 12 x - y^{3} + 4 y^{2} - 4 y + 0 - 12 x$

Etapa 12.1.4.5

Some $12 x - y^{3} + 4 y^{2} - 4 y$ e $0$ .

$\frac{d g}{d y} = 12 x - y^{3} + 4 y^{2} - 4 y - 12 x$

Etapa 12.1.4.6

Subtraia $12 x$ de $12 x$ .

$\frac{d g}{d y} = - y^{3} + 4 y^{2} - 4 y + 0$

Etapa 12.1.4.7

Some $- y^{3} + 4 y^{2} - 4 y$ e $0$ .

$\frac{d g}{d y} = - y^{3} + 4 y^{2} - 4 y$

Etapa 13

Encontre a antiderivada de $- y^{3} + 4 y^{2} - 4 y$ para encontrar $g (y)$ .

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Etapa 13.1

Integre ambos os lados de $\frac{d g}{d y} = - y^{3} + 4 y^{2} - 4 y$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int - y^{3} + 4 y^{2} - 4 y d y$

Etapa 13.2

Avalie $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int - y^{3} + 4 y^{2} - 4 y d y$

Etapa 13.3

Divida a integral única em várias integrais.

$g (y) = \int - y^{3} d y + \int 4 y^{2} d y + \int - 4 y d y$

Etapa 13.4

Como $- 1$ é constante com relação a $y$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$g (y) = - \int y^{3} d y + \int 4 y^{2} d y + \int - 4 y d y$

Etapa 13.5

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $y^{3}$ com relação a $y$ é $\frac{1}{4} y^{4}$ .

$g (y) = - (\frac{1}{4} y^{4} + C) + \int 4 y^{2} d y + \int - 4 y d y$

Etapa 13.6

Como $4$ é constante com relação a $y$ , mova $4$ para fora da integral.

$g (y) = - (\frac{1}{4} y^{4} + C) + 4 \int y^{2} d y + \int - 4 y d y$

Etapa 13.7

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $y^{2}$ com relação a $y$ é $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$g (y) = - (\frac{1}{4} y^{4} + C) + 4 (\frac{1}{3} y^{3} + C) + \int - 4 y d y$

Etapa 13.8

Como $- 4$ é constante com relação a $y$ , mova $- 4$ para fora da integral.

$g (y) = - (\frac{1}{4} y^{4} + C) + 4 (\frac{1}{3} y^{3} + C) - 4 \int y d y$

Etapa 13.9

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $y$ com relação a $y$ é $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$g (y) = - (\frac{1}{4} y^{4} + C) + 4 (\frac{1}{3} y^{3} + C) - 4 (\frac{1}{2} y^{2} + C)$

Etapa 13.10

Simplifique.

$g (y) = - \frac{y^{4}}{4} + \frac{4 y^{3}}{3} - 4 (\frac{1}{2} y^{2}) + C$

Etapa 13.11

Simplifique.

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Etapa 13.11.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $y^{2}$ .

$g (y) = - \frac{y^{4}}{4} + \frac{4 y^{3}}{3} - 4 \frac{y^{2}}{2} + C$

Etapa 13.11.2

Combine $- 4$ e $\frac{y^{2}}{2}$ .

$g (y) = - \frac{y^{4}}{4} + \frac{4 y^{3}}{3} + \frac{- 4 y^{2}}{2} + C$

Etapa 13.11.3

Cancele o fator comum de $- 4$ e $2$ .

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Etapa 13.11.3.1

Fatore $2$ de $- 4 y^{2}$ .

$g (y) = - \frac{y^{4}}{4} + \frac{4 y^{3}}{3} + \frac{2 (- 2 y^{2})}{2} + C$

Etapa 13.11.3.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 13.11.3.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$g (y) = - \frac{y^{4}}{4} + \frac{4 y^{3}}{3} + \frac{2 (- 2 y^{2})}{2 (1)} + C$

Etapa 13.11.3.2.2

Cancele o fator comum.

$g (y) = - \frac{y^{4}}{4} + \frac{4 y^{3}}{3} + \frac{2 (- 2 y^{2})}{2 \cdot 1} + C$

Etapa 13.11.3.2.3

Reescreva a expressão.

$g (y) = - \frac{y^{4}}{4} + \frac{4 y^{3}}{3} + \frac{- 2 y^{2}}{1} + C$

Etapa 13.11.3.2.4

Divida $- 2 y^{2}$ por $1$ .

$g (y) = - \frac{y^{4}}{4} + \frac{4 y^{3}}{3} - 2 y^{2} + C$

Etapa 13.12

Simplifique.

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Etapa 13.12.1

Reordene os termos.

$g (y) = - (\frac{1}{4} y^{4}) + \frac{4}{3} y^{3} - 2 y^{2} + C$

Etapa 13.12.2

Remova os parênteses.

$g (y) = - \frac{1}{4} y^{4} + \frac{4}{3} y^{3} - 2 y^{2} + C$

Etapa 14

Substitua por $g (y)$ em $f (x, y) = (y^{3} - 6 y^{2} + 12 y - 8) x + g (y)$ .

$f (x, y) = (y^{3} - 6 y^{2} + 12 y - 8) x - \frac{1}{4} y^{4} + \frac{4}{3} y^{3} - 2 y^{2} + C$

Etapa 15

Simplifique cada termo.

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Etapa 15.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f (x, y) = y^{3} x - 6 y^{2} x + 12 y x - 8 x - \frac{1}{4} y^{4} + \frac{4}{3} y^{3} - 2 y^{2} + C$

Etapa 15.2

Combine $y^{4}$ e $\frac{1}{4}$ .

$f (x, y) = y^{3} x - 6 y^{2} x + 12 y x - 8 x - \frac{y^{4}}{4} + \frac{4}{3} y^{3} - 2 y^{2} + C$

Etapa 15.3

Combine $\frac{4}{3}$ e $y^{3}$ .

$f (x, y) = y^{3} x - 6 y^{2} x + 12 y x - 8 x - \frac{y^{4}}{4} + \frac{4 y^{3}}{3} - 2 y^{2} + C$