Cálculo Exemplos

$x^{2} d x = 3 y^{2} d y$

Etapa 1

Reescreva a equação.

$3 y^{2} d y = x^{2} d x$

Etapa 2

Integre os dois lados.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int 3 y^{2} d y = \int x^{2} d x$

Etapa 2.2

Integre o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Como $3$ é constante com relação a $y$ , mova $3$ para fora da integral.

$3 \int y^{2} d y = \int x^{2} d x$

Etapa 2.2.2

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $y^{2}$ com relação a $y$ é $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$3 (\frac{1}{3} y^{3} + C_{1}) = \int x^{2} d x$

Etapa 2.2.3

Simplifique a resposta.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.3.1

Reescreva $3 (\frac{1}{3} y^{3} + C_{1})$ como $3 (\frac{1}{3}) y^{3} + C_{1}$ .

$3 (\frac{1}{3}) y^{3} + C_{1} = \int x^{2} d x$

Etapa 2.2.3.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.3.2.1

Combine $3$ e $\frac{1}{3}$ .

$\frac{3}{3} y^{3} + C_{1} = \int x^{2} d x$

Etapa 2.2.3.2.2

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.3.2.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{3}{3} y^{3} + C_{1} = \int x^{2} d x$

Etapa 2.2.3.2.2.2

Reescreva a expressão.

$1 y^{3} + C_{1} = \int x^{2} d x$

Etapa 2.2.3.2.3

Multiplique $y^{3}$ por $1$ .

$y^{3} + C_{1} = \int x^{2} d x$

Etapa 2.3

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$y^{3} + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{2}$

Etapa 2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $K$ .

$y^{3} = \frac{1}{3} x^{3} + K$

Etapa 3

Resolva $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$y = \sqrt[3]{\frac{1}{3} x^{3} + K}$

Etapa 3.2

Simplifique $\sqrt[3]{\frac{1}{3} x^{3} + K}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1

Combine $\frac{1}{3}$ e $x^{3}$ .

$y = \sqrt[3]{\frac{x^{3}}{3} + K}$

Etapa 3.2.2

Para escrever $K$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$y = \sqrt[3]{\frac{x^{3}}{3} + K \cdot \frac{3}{3}}$

Etapa 3.2.3

Simplifique os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.3.1

Combine $K$ e $\frac{3}{3}$ .

$y = \sqrt[3]{\frac{x^{3}}{3} + \frac{K \cdot 3}{3}}$

Etapa 3.2.3.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y = \sqrt[3]{\frac{x^{3} + K \cdot 3}{3}}$

Etapa 3.2.4

Mova $3$ para a esquerda de $K$ .

$y = \sqrt[3]{\frac{x^{3} + 3 K}{3}}$

Etapa 3.2.5

Reescreva $\sqrt[3]{\frac{x^{3} + 3 K}{3}}$ como $\frac{\sqrt[3]{x^{3} + 3 K}}{\sqrt[3]{3}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{3} + 3 K}}{\sqrt[3]{3}}$

Etapa 3.2.6

Multiplique $\frac{\sqrt[3]{x^{3} + 3 K}}{\sqrt[3]{3}}$ por $\frac{{\sqrt[3]{3}}^{2}}{{\sqrt[3]{3}}^{2}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{3} + 3 K}}{\sqrt[3]{3}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{3}}^{2}}{{\sqrt[3]{3}}^{2}}$

Etapa 3.2.7

Combine e simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.7.1

Multiplique $\frac{\sqrt[3]{x^{3} + 3 K}}{\sqrt[3]{3}}$ por $\frac{{\sqrt[3]{3}}^{2}}{{\sqrt[3]{3}}^{2}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{3} + 3 K} {\sqrt[3]{3}}^{2}}{\sqrt[3]{3} {\sqrt[3]{3}}^{2}}$

Etapa 3.2.7.2

Eleve $\sqrt[3]{3}$ à potência de $1$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{3} + 3 K} {\sqrt[3]{3}}^{2}}{{\sqrt[3]{3}}^{1} {\sqrt[3]{3}}^{2}}$

Etapa 3.2.7.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{3} + 3 K} {\sqrt[3]{3}}^{2}}{{\sqrt[3]{3}}^{1 + 2}}$

Etapa 3.2.7.4

Some $1$ e $2$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{3} + 3 K} {\sqrt[3]{3}}^{2}}{{\sqrt[3]{3}}^{3}}$

Etapa 3.2.7.5

Reescreva ${\sqrt[3]{3}}^{3}$ como $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.7.5.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt[3]{3}$ como $3^{\frac{1}{3}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{3} + 3 K} {\sqrt[3]{3}}^{2}}{{(3^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

Etapa 3.2.7.5.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{3} + 3 K} {\sqrt[3]{3}}^{2}}{3^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

Etapa 3.2.7.5.3

Combine $\frac{1}{3}$ e $3$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{3} + 3 K} {\sqrt[3]{3}}^{2}}{3^{\frac{3}{3}}}$

Etapa 3.2.7.5.4

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.7.5.4.1

Cancele o fator comum.

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{3} + 3 K} {\sqrt[3]{3}}^{2}}{3^{\frac{3}{3}}}$

Etapa 3.2.7.5.4.2

Reescreva a expressão.

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{3} + 3 K} {\sqrt[3]{3}}^{2}}{3^{1}}$

Etapa 3.2.7.5.5

Avalie o expoente.

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{3} + 3 K} {\sqrt[3]{3}}^{2}}{3}$

Etapa 3.2.8

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.8.1

Reescreva ${\sqrt[3]{3}}^{2}$ como $\sqrt[3]{3^{2}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{3} + 3 K} \sqrt[3]{3^{2}}}{3}$

Etapa 3.2.8.2

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{3} + 3 K} \sqrt[3]{9}}{3}$

Etapa 3.2.9

Simplifique com fatoração.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.9.1

Combine usando a regra do produto para radicais.

$y = \frac{\sqrt[3]{(x^{3} + 3 K) \cdot 9}}{3}$

Etapa 3.2.9.2

Reordene os fatores em $\frac{\sqrt[3]{(x^{3} + 3 K) \cdot 9}}{3}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{9 (x^{3} + 3 K)}}{3}$

Etapa 4

Simplifique a constante de integração.

$y = \frac{\sqrt[3]{9 (x^{3} + K)}}{3}$