Cálculo Exemplos

$\frac{d y}{d x} = \frac{{(x y)}^{2}}{8} + y^{2}$

Etapa 1

Separe as variáveis.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Fatore.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Aplique a regra do produto a $x y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} y^{2}}{8} + y^{2}$

Etapa 1.1.2

Para escrever $y^{2}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{8}{8}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} y^{2}}{8} + y^{2} \cdot \frac{8}{8}$

Etapa 1.1.3

Combine $y^{2}$ e $\frac{8}{8}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} y^{2}}{8} + \frac{y^{2} \cdot 8}{8}$

Etapa 1.1.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} y^{2} + y^{2} \cdot 8}{8}$

Etapa 1.1.5

Fatore $y^{2}$ de $x^{2} y^{2} + y^{2} \cdot 8$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.5.1

Fatore $y^{2}$ de $x^{2} y^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{2} x^{2} + y^{2} \cdot 8}{8}$

Etapa 1.1.5.2

Fatore $y^{2}$ de $y^{2} \cdot 8$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{2} x^{2} + y^{2} (8)}{8}$

Etapa 1.1.5.3

Fatore $y^{2}$ de $y^{2} x^{2} + y^{2} (8)$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{2} (x^{2} + 8)}{8}$

Etapa 1.2

Reagrupe os fatores.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{2}}{8} (x^{2} + 8)$

Etapa 1.3

Multiplique os dois lados por $\frac{8}{y^{2}}$ .

$\frac{8}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{8}{y^{2}} (\frac{y^{2}}{8} (x^{2} + 8))$

Etapa 1.4

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{8}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{8}{y^{2}} (\frac{y^{2}}{8} x^{2} + \frac{y^{2}}{8} \cdot 8)$

Etapa 1.4.2

Combine $\frac{y^{2}}{8}$ e $x^{2}$ .

$\frac{8}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{8}{y^{2}} (\frac{y^{2} x^{2}}{8} + \frac{y^{2}}{8} \cdot 8)$

Etapa 1.4.3

Cancele o fator comum de $8$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.3.1

Cancele o fator comum.

$\frac{8}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{8}{y^{2}} (\frac{y^{2} x^{2}}{8} + \frac{y^{2}}{8} \cdot 8)$

Etapa 1.4.3.2

Reescreva a expressão.

$\frac{8}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{8}{y^{2}} (\frac{y^{2} x^{2}}{8} + y^{2})$

Etapa 1.4.4

Multiplique $\frac{8}{y^{2}}$ por $\frac{y^{2} x^{2}}{8} + y^{2}$ .

$\frac{8}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{8 (\frac{y^{2} x^{2}}{8} + y^{2})}{y^{2}}$

Etapa 1.4.5

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.5.1

Fatore $y^{2}$ de $\frac{y^{2} x^{2}}{8} + y^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.5.1.1

Fatore $y^{2}$ de $\frac{y^{2} x^{2}}{8}$ .

$\frac{8}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{8 (y^{2} \frac{x^{2}}{8} + y^{2})}{y^{2}}$

Etapa 1.4.5.1.2

Multiplique por $1$ .

$\frac{8}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{8 (y^{2} \frac{x^{2}}{8} + y^{2} \cdot 1)}{y^{2}}$

Etapa 1.4.5.1.3

Fatore $y^{2}$ de $y^{2} \frac{x^{2}}{8} + y^{2} \cdot 1$ .

$\frac{8}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{8 (y^{2} (\frac{x^{2}}{8} + 1))}{y^{2}}$

$\frac{8}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{8 y^{2} (\frac{x^{2}}{8} + 1)}{y^{2}}$

Etapa 1.4.5.2

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$\frac{8}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{8 y^{2} (\frac{x^{2}}{8} + \frac{8}{8})}{y^{2}}$

Etapa 1.4.5.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{8}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{8 y^{2} \frac{x^{2} + 8}{8}}{y^{2}}$

Etapa 1.4.5.4

Combine expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.5.4.1

Combine $8$ e $\frac{x^{2} + 8}{8}$ .

$\frac{8}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{y^{2} \frac{8 (x^{2} + 8)}{8}}{y^{2}}$

Etapa 1.4.5.4.2

Combine $y^{2}$ e $\frac{8 (x^{2} + 8)}{8}$ .

$\frac{8}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{\frac{y^{2} (8 (x^{2} + 8))}{8}}{y^{2}}$

Etapa 1.4.5.5

Remova os parênteses desnecessários.

$\frac{8}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{\frac{y^{2} \cdot 8 (x^{2} + 8)}{8}}{y^{2}}$

Etapa 1.4.5.6

Reduza a expressão cancelando os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.5.6.1

Reduza a expressão $\frac{y^{2} \cdot 8 (x^{2} + 8)}{8}$ cancelando os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.5.6.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{8}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{\frac{y^{2} \cdot 8 (x^{2} + 8)}{8}}{y^{2}}$

Etapa 1.4.5.6.1.2

Reescreva a expressão.

$\frac{8}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{\frac{y^{2} (x^{2} + 8)}{1}}{y^{2}}$

Etapa 1.4.5.6.2

Divida $y^{2} (x^{2} + 8)$ por $1$ .

$\frac{8}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{y^{2} (x^{2} + 8)}{y^{2}}$

Etapa 1.4.6

Cancele o fator comum de $y^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.6.1

Cancele o fator comum.

$\frac{8}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{y^{2} (x^{2} + 8)}{y^{2}}$

Etapa 1.4.6.2

Divida $x^{2} + 8$ por $1$ .

$\frac{8}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = x^{2} + 8$

Etapa 1.5

Reescreva a equação.

$\frac{8}{y^{2}} d y = (x^{2} + 8) d x$

Etapa 2

Integre os dois lados.

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Etapa 2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{8}{y^{2}} d y = \int x^{2} + 8 d x$

Etapa 2.2

Integre o lado esquerdo.

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Etapa 2.2.1

Como $8$ é constante com relação a $y$ , mova $8$ para fora da integral.

$8 \int \frac{1}{y^{2}} d y = \int x^{2} + 8 d x$

Etapa 2.2.2

Aplique regras básicas de expoentes.

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Etapa 2.2.2.1

Mova $y^{2}$ para fora do denominador, elevando-o à $- 1$ potência.

$8 \int {(y^{2})}^{- 1} d y = \int x^{2} + 8 d x$

Etapa 2.2.2.2

Multiplique os expoentes em ${(y^{2})}^{- 1}$ .

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Etapa 2.2.2.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$8 \int y^{2 \cdot - 1} d y = \int x^{2} + 8 d x$

Etapa 2.2.2.2.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$8 \int y^{- 2} d y = \int x^{2} + 8 d x$

Etapa 2.2.3

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $y^{- 2}$ com relação a $y$ é $- y^{- 1}$ .

$8 (- y^{- 1} + C_{1}) = \int x^{2} + 8 d x$

Etapa 2.2.4

Simplifique a resposta.

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Etapa 2.2.4.1

Reescreva $8 (- y^{- 1} + C_{1})$ como $8 (- \frac{1}{y}) + C_{1}$ .

$8 (- \frac{1}{y}) + C_{1} = \int x^{2} + 8 d x$

Etapa 2.2.4.2

Simplifique.

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Etapa 2.2.4.2.1

Multiplique $- 1$ por $8$ .

$- 8 \frac{1}{y} + C_{1} = \int x^{2} + 8 d x$

Etapa 2.2.4.2.2

Combine $- 8$ e $\frac{1}{y}$ .

$\frac{- 8}{y} + C_{1} = \int x^{2} + 8 d x$

Etapa 2.2.4.2.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{8}{y} + C_{1} = \int x^{2} + 8 d x$

Etapa 2.3

Integre o lado direito.

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Etapa 2.3.1

Divida a integral única em várias integrais.

$- \frac{8}{y} + C_{1} = \int x^{2} d x + \int 8 d x$

Etapa 2.3.2

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$- \frac{8}{y} + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{2} + \int 8 d x$

Etapa 2.3.3

Aplique a regra da constante.

$- \frac{8}{y} + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{2} + 8 x + C_{3}$

Etapa 2.3.4

Simplifique.

$- \frac{8}{y} + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} + 8 x + C_{4}$

Etapa 2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $K$ .

$- \frac{8}{y} = \frac{1}{3} x^{3} + 8 x + K$

Etapa 3

Resolva $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Combine $\frac{1}{3}$ e $x^{3}$ .

$- \frac{8}{y} = \frac{x^{3}}{3} + 8 x + K$

Etapa 3.2

Encontre o MMC dos termos na equação.

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Etapa 3.2.1

Encontrar o MMC de uma lista de valores é o mesmo que encontrar o MMC dos denominadores desses valores.

$y, 3, 1, 1$

Etapa 3.2.2

Como $y, 3, 1, 1$ contém números e variáveis, há duas etapas para encontrar o MMC. Encontre o MMC da parte numérica $y, 3, 1, 1$ 1) e, depois, o da parte variável $y, 3, 1, 1$ .

Etapa 3.2.3

O MMC é o menor número positivo pelo qual todos os números se dividem uniformemente.

1. Liste os fatores primos de cada número.

2. Multiplique cada fator pelo maior número de vezes em que ele ocorre em cada número.

Etapa 3.2.4

O número $1$ não é primo porque tem apenas um fator positivo, que é ele mesmo.

Não é primo

Etapa 3.2.5

Como $3$ não tem fatores além de $1$ e $3$ .

$3$ é um número primo

Etapa 3.2.6

O número $1$ não é primo porque tem apenas um fator positivo, que é ele mesmo.

Não é primo

Etapa 3.2.7

O MMC de $1, 3, 1, 1$ é o resultado da multiplicação de todos os fatores primos pelo maior número de vezes que eles ocorrem em qualquer um dos números.

$3$

Etapa 3.2.8

O fator de $y^{1}$ é o próprio $y$ .

$y^{1} = y$

$y$ ocorre $1$ vez.

Etapa 3.2.9

O MMC de $y^{1}$ é o resultado da multiplicação de todos os fatores primos pelo maior número de vezes que eles ocorrem em qualquer um dos termos.

$y$

Etapa 3.2.10

O MMC de $y, 3, 1, 1$ é a parte numérica $3$ multiplicada pela parte variável.

$3 y$

Etapa 3.3

Multiplique cada termo em $- \frac{8}{y} = \frac{x^{3}}{3} + 8 x + K$ por $3 y$ para eliminar as frações.

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Etapa 3.3.1

Multiplique cada termo em $- \frac{8}{y} = \frac{x^{3}}{3} + 8 x + K$ por $3 y$ .

$- \frac{8}{y} (3 y) = \frac{x^{3}}{3} (3 y) + 8 x (3 y) + K (3 y)$

Etapa 3.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.1

Cancele o fator comum de $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.1.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{8}{y}$ para o numerador.

$\frac{- 8}{y} (3 y) = \frac{x^{3}}{3} (3 y) + 8 x (3 y) + K (3 y)$

Etapa 3.3.2.1.2

Fatore $y$ de $3 y$ .

$\frac{- 8}{y} (y \cdot 3) = \frac{x^{3}}{3} (3 y) + 8 x (3 y) + K (3 y)$

Etapa 3.3.2.1.3

Cancele o fator comum.

$\frac{- 8}{y} (y \cdot 3) = \frac{x^{3}}{3} (3 y) + 8 x (3 y) + K (3 y)$

Etapa 3.3.2.1.4

Reescreva a expressão.

$- 8 \cdot 3 = \frac{x^{3}}{3} (3 y) + 8 x (3 y) + K (3 y)$

Etapa 3.3.2.2

Multiplique $- 8$ por $3$ .

$- 24 = \frac{x^{3}}{3} (3 y) + 8 x (3 y) + K (3 y)$

Etapa 3.3.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.3.1.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$- 24 = 3 \frac{x^{3}}{3} y + 8 x (3 y) + K (3 y)$

Etapa 3.3.3.1.2

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.3.1.2.1

Cancele o fator comum.

$- 24 = 3 \frac{x^{3}}{3} y + 8 x (3 y) + K (3 y)$

Etapa 3.3.3.1.2.2

Reescreva a expressão.

$- 24 = x^{3} y + 8 x (3 y) + K (3 y)$

Etapa 3.3.3.1.3

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$- 24 = x^{3} y + 8 \cdot 3 x y + K (3 y)$

Etapa 3.3.3.1.4

Multiplique $8$ por $3$ .

$- 24 = x^{3} y + 24 x y + K (3 y)$

Etapa 3.3.3.1.5

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$- 24 = x^{3} y + 24 x y + 3 K y$

Etapa 3.4

Resolva a equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.1

Reescreva a equação como $x^{3} y + 24 x y + 3 K y = - 24$ .

$x^{3} y + 24 x y + 3 K y = - 24$

Etapa 3.4.2

Fatore $y$ de $x^{3} y + 24 x y + 3 K y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.2.1

Fatore $y$ de $x^{3} y$ .

$y x^{3} + 24 x y + 3 K y = - 24$

Etapa 3.4.2.2

Fatore $y$ de $24 x y$ .

$y x^{3} + y (24 x) + 3 K y = - 24$

Etapa 3.4.2.3

Fatore $y$ de $3 K y$ .

$y x^{3} + y (24 x) + y (3 K) = - 24$

Etapa 3.4.2.4

Fatore $y$ de $y x^{3} + y (24 x)$ .

$y (x^{3} + 24 x) + y (3 K) = - 24$

Etapa 3.4.2.5

Fatore $y$ de $y (x^{3} + 24 x) + y (3 K)$ .

$y (x^{3} + 24 x + 3 K) = - 24$

Etapa 3.4.3

Divida cada termo em $y (x^{3} + 24 x + 3 K) = - 24$ por $x^{3} + 24 x + 3 K$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.3.1

Divida cada termo em $y (x^{3} + 24 x + 3 K) = - 24$ por $x^{3} + 24 x + 3 K$ .

$\frac{y (x^{3} + 24 x + 3 K)}{x^{3} + 24 x + 3 K} = \frac{- 24}{x^{3} + 24 x + 3 K}$

Etapa 3.4.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.3.2.1

Cancele o fator comum de $x^{3} + 24 x + 3 K$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y (x^{3} + 24 x + 3 K)}{x^{3} + 24 x + 3 K} = \frac{- 24}{x^{3} + 24 x + 3 K}$

Etapa 3.4.3.2.1.2

Divida $y$ por $1$ .

$y = \frac{- 24}{x^{3} + 24 x + 3 K}$

Etapa 3.4.3.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.3.3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y = - \frac{24}{x^{3} + 24 x + 3 K}$

Etapa 4

Simplifique a constante de integração.

$y = - \frac{24}{x^{3} + 24 x + K}$