Cálculo Exemplos

$\frac{d x}{d y} = \frac{y^{2}}{1 + x}$

Etapa 1

Separe as variáveis.

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Etapa 1.1

Multiplique os dois lados por $1 + x$ .

$(1 + x) \frac{d x}{d y} = (1 + x) \frac{y^{2}}{1 + x}$

Etapa 1.2

Cancele o fator comum de $1 + x$ .

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Etapa 1.2.1

Cancele o fator comum.

$(1 + x) \frac{d x}{d y} = (1 + x) \frac{y^{2}}{1 + x}$

Etapa 1.2.2

Reescreva a expressão.

$(1 + x) \frac{d x}{d y} = y^{2}$

Etapa 1.3

Reescreva a equação.

$(1 + x) d x = y^{2} d y$

Etapa 2

Integre os dois lados.

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Etapa 2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int 1 + x d x = \int y^{2} d y$

Etapa 2.2

Integre o lado esquerdo.

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Etapa 2.2.1

Divida a integral única em várias integrais.

$\int d x + \int x d x = \int y^{2} d y$

Etapa 2.2.2

Aplique a regra da constante.

$x + C_{1} + \int x d x = \int y^{2} d y$

Etapa 2.2.3

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x$ com relação a $x$ é $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$x + C_{1} + \frac{1}{2} x^{2} + C_{2} = \int y^{2} d y$

Etapa 2.2.4

Simplifique.

$x + \frac{1}{2} x^{2} + C_{3} = \int y^{2} d y$

Etapa 2.2.5

Reordene os termos.

$\frac{1}{2} x^{2} + x + C_{3} = \int y^{2} d y$

Etapa 2.3

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $y^{2}$ com relação a $y$ é $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + x + C_{3} = \frac{1}{3} y^{3} + C_{4}$

Etapa 2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $K$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + x = \frac{1}{3} y^{3} + K$

Etapa 3

Resolva $x$ .

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Etapa 3.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $x^{2}$ .

$\frac{x^{2}}{2} + x = \frac{1}{3} y^{3} + K$

Etapa 3.2

Combine $\frac{1}{3}$ e $y^{3}$ .

$\frac{x^{2}}{2} + x = \frac{y^{3}}{3} + K$

Etapa 3.3

Mova todas as expressões para o lado esquerdo da equação.

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Etapa 3.3.1

Subtraia $\frac{y^{3}}{3}$ dos dois lados da equação.

$\frac{x^{2}}{2} + x - \frac{y^{3}}{3} = K$

Etapa 3.3.2

Subtraia $K$ dos dois lados da equação.

$\frac{x^{2}}{2} + x - \frac{y^{3}}{3} - K = 0$

Etapa 3.4

Multiplique pelo mínimo múltiplo comum $6$ . Depois, simplifique.

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Etapa 3.4.1

Aplique a propriedade distributiva.

$6 (\frac{x^{2}}{2}) + 6 x + 6 (- \frac{y^{3}}{3}) + 6 (- K) = 0$

Etapa 3.4.2

Simplifique.

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Etapa 3.4.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 3.4.2.1.1

Fatore $2$ de $6$ .

$2 (3) (\frac{x^{2}}{2}) + 6 x + 6 (- \frac{y^{3}}{3}) + 6 (- K) = 0$

Etapa 3.4.2.1.2

Cancele o fator comum.

$2 \cdot (3 (\frac{x^{2}}{2})) + 6 x + 6 (- \frac{y^{3}}{3}) + 6 (- K) = 0$

Etapa 3.4.2.1.3

Reescreva a expressão.

$3 x^{2} + 6 x + 6 (- \frac{y^{3}}{3}) + 6 (- K) = 0$

Etapa 3.4.2.2

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 3.4.2.2.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{y^{3}}{3}$ para o numerador.

$3 x^{2} + 6 x + 6 (\frac{- y^{3}}{3}) + 6 (- K) = 0$

Etapa 3.4.2.2.2

Fatore $3$ de $6$ .

$3 x^{2} + 6 x + 3 (2) (\frac{- y^{3}}{3}) + 6 (- K) = 0$

Etapa 3.4.2.2.3

Cancele o fator comum.

$3 x^{2} + 6 x + 3 \cdot (2 (\frac{- y^{3}}{3})) + 6 (- K) = 0$

Etapa 3.4.2.2.4

Reescreva a expressão.

$3 x^{2} + 6 x + 2 (- y^{3}) + 6 (- K) = 0$

Etapa 3.4.2.3

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$3 x^{2} + 6 x - 2 y^{3} + 6 (- K) = 0$

Etapa 3.4.2.4

Multiplique $- 1$ por $6$ .

$3 x^{2} + 6 x - 2 y^{3} - 6 K = 0$

Etapa 3.4.3

Mova $6 x$ .

$3 x^{2} - 2 y^{3} - 6 K + 6 x = 0$

Etapa 3.4.4

Reordene $3 x^{2}$ e $- 2 y^{3}$ .

$- 2 y^{3} + 3 x^{2} - 6 K + 6 x = 0$

Etapa 3.5

Use a fórmula quadrática para encontrar as soluções.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Etapa 3.6

Substitua os valores $a = 3$ , $b = 6$ e $c = - 2 y^{3} - 6 K$ na fórmula quadrática e resolva $x$ .

$\frac{- 6 \pm \sqrt{6^{2} - 4 \cdot (3 \cdot (- 2 y^{3} - 6 K))}}{2 \cdot 3}$

Etapa 3.7

Simplifique.

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Etapa 3.7.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.7.1.1

Eleve $6$ à potência de $2$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 3 \cdot (- 2 y^{3} - 6 K)}}{2 \cdot 3}$

Etapa 3.7.1.2

Multiplique $- 4$ por $3$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 12 \cdot (- 2 y^{3} - 6 K)}}{2 \cdot 3}$

Etapa 3.7.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 12 (- 2 y^{3}) - 12 (- 6 K)}}{2 \cdot 3}$

Etapa 3.7.1.4

Multiplique $- 2$ por $- 12$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 + 24 y^{3} - 12 (- 6 K)}}{2 \cdot 3}$

Etapa 3.7.1.5

Multiplique $- 6$ por $- 12$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 + 24 y^{3} + 72 K}}{2 \cdot 3}$

Etapa 3.7.1.6

Fatore $12$ de $36 + 24 y^{3} + 72 K$ .

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Etapa 3.7.1.6.1

Fatore $12$ de $36$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{12 (3) + 24 y^{3} + 72 K}}{2 \cdot 3}$

Etapa 3.7.1.6.2

Fatore $12$ de $24 y^{3}$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{12 (3) + 12 (2 y^{3}) + 72 K}}{2 \cdot 3}$

Etapa 3.7.1.6.3

Fatore $12$ de $72 K$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{12 (3) + 12 (2 y^{3}) + 12 (6 K)}}{2 \cdot 3}$

Etapa 3.7.1.6.4

Fatore $12$ de $12 (3) + 12 (2 y^{3})$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{12 (3 + 2 y^{3}) + 12 (6 K)}}{2 \cdot 3}$

Etapa 3.7.1.6.5

Fatore $12$ de $12 (3 + 2 y^{3}) + 12 (6 K)$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{12 (3 + 2 y^{3} + 6 K)}}{2 \cdot 3}$

Etapa 3.7.1.7

Reescreva $12 (3 + 2 y^{3} + 6 K)$ como $2^{2} \cdot (3 (3 + 2 y^{3} + 6 K))$ .

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Etapa 3.7.1.7.1

Fatore $4$ de $12$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{4 (3) (3 + 2 y^{3} + 6 K)}}{2 \cdot 3}$

Etapa 3.7.1.7.2

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (3 (3 + 2 y^{3} + 6 K))}}{2 \cdot 3}$

Etapa 3.7.1.7.3

Adicione parênteses.

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (3 (3 + 2 y^{3} + 6 K))}}{2 \cdot 3}$

Etapa 3.7.1.8

Elimine os termos abaixo do radical.

$x = \frac{- 6 \pm 2 \sqrt{3 (3 + 2 y^{3} + 6 K)}}{2 \cdot 3}$

Etapa 3.7.2

Multiplique $2$ por $3$ .

$x = \frac{- 6 \pm 2 \sqrt{3 (3 + 2 y^{3} + 6 K)}}{6}$

Etapa 3.7.3

Simplifique $\frac{- 6 \pm 2 \sqrt{3 (3 + 2 y^{3} + 6 K)}}{6}$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{3 (3 + 2 y^{3} + 6 K)}}{3}$

Etapa 3.8

A resposta final é a combinação das duas soluções.

$x = - \frac{3 - \sqrt{3 (3 + 2 y^{3} + 6 K)}}{3}$

$x = - \frac{3 + \sqrt{3 (2 y^{3} + 6 K + 3)}}{3}$

$x = - \frac{3 - \sqrt{3 (3 + 2 y^{3} + 6 K)}}{3}$

$x = - \frac{3 + \sqrt{3 (2 y^{3} + 6 K + 3)}}{3}$

Etapa 4

Simplifique a constante de integração.

$x = - \frac{3 - \sqrt{3 (3 + 2 y^{3} + K)}}{3}$

$x = - \frac{3 + \sqrt{3 (2 y^{3} + K)}}{3}$