Cálculo Exemplos

$\frac{d y}{d x} = x e^{6 x - 5 y}$

Etapa 1

Deixe $v = e^{6 x - 5 y}$ . Substitua $v$ em todas as ocorrências de $e^{6 x - 5 y}$ .

$\frac{d y}{d x} = x v$

Etapa 2

Encontre $\frac{d v}{d x}$ ao diferenciar $e^{6 x - 5 y}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = 6 x - 5 y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $6 x - 5 y$ .

$\frac{d v}{d x} = \frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [6 x - 5 y]$

Etapa 2.1.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ é $a^{u} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$\frac{d v}{d x} = e^{u} \frac{d}{d x} [6 x - 5 y]$

Etapa 2.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $6 x - 5 y$ .

$\frac{d v}{d x} = e^{6 x - 5 y} \frac{d}{d x} [6 x - 5 y]$

Etapa 2.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $6 x - 5 y$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 5 y]$ .

$\frac{d v}{d x} = e^{6 x - 5 y} (\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 5 y])$

Etapa 2.3

Como $6$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $6 x$ em relação a $x$ é $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{d v}{d x} = e^{6 x - 5 y} (6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5 y])$

Etapa 2.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{d v}{d x} = e^{6 x - 5 y} (6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 5 y])$

Etapa 2.5

Multiplique $6$ por $1$ .

$\frac{d v}{d x} = e^{6 x - 5 y} (6 + \frac{d}{d x} [- 5 y])$

Etapa 2.6

Como $- 5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 5 y$ em relação a $x$ é $- 5 \frac{d}{d x} [y]$ .

$\frac{d v}{d x} = e^{6 x - 5 y} (6 - 5 \frac{d}{d x} [y])$

Etapa 2.7

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$\frac{d v}{d x} = e^{6 x - 5 y} (6 - 5 y')$

Etapa 3

Substitua $v$ por $e^{6 x - 5 y}$ .

$\frac{d v}{d x} = v (6 - 5 y')$

Etapa 4

Substitua a derivada na equação diferencial.

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{5 v} + \frac{6}{5} = x v$

Etapa 5

Multiplique cada termo em $- \frac{\frac{d v}{d x}}{5 v} + \frac{6}{5} = x v$ por $- (5 v)$ para eliminar as frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Multiplique cada termo em $- \frac{\frac{d v}{d x}}{5 v} + \frac{6}{5} = x v$ por $- (5 v)$ .

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{5 v} (- (5 v)) + \frac{6}{5} (- (5 v)) = x v (- (5 v))$

Etapa 5.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1.1

Cancele o fator comum de $5 v$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1.1.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{\frac{d v}{d x}}{5 v}$ para o numerador.

$\frac{- \frac{d v}{d x}}{5 v} (- (5 v)) + \frac{6}{5} (- (5 v)) = x v (- (5 v))$

Etapa 5.2.1.1.2

Fatore $5 v$ de $- (5 v)$ .

$\frac{- \frac{d v}{d x}}{5 v} (5 v (- 1)) + \frac{6}{5} (- (5 v)) = x v (- (5 v))$

Etapa 5.2.1.1.3

Cancele o fator comum.

$\frac{- \frac{d v}{d x}}{5 v} (5 v \cdot - 1) + \frac{6}{5} (- (5 v)) = x v (- (5 v))$

Etapa 5.2.1.1.4

Reescreva a expressão.

$- \frac{d v}{d x} \cdot - 1 + \frac{6}{5} (- (5 v)) = x v (- (5 v))$

Etapa 5.2.1.2

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$1 \frac{d v}{d x} + \frac{6}{5} (- (5 v)) = x v (- (5 v))$

Etapa 5.2.1.3

Multiplique $\frac{d v}{d x}$ por $1$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{6}{5} (- (5 v)) = x v (- (5 v))$

Etapa 5.2.1.4

Cancele o fator comum de $5$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1.4.1

Fatore $5$ de $- (5 v)$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{6}{5} (5 (- (v))) = x v (- (5 v))$

Etapa 5.2.1.4.2

Cancele o fator comum.

$\frac{d v}{d x} + \frac{6}{5} (5 (- (v))) = x v (- (5 v))$

Etapa 5.2.1.4.3

Reescreva a expressão.

$\frac{d v}{d x} + 6 (- (v)) = x v (- (5 v))$

Etapa 5.2.1.5

Multiplique $- 1$ por $6$ .

$\frac{d v}{d x} - 6 v = x v (- (5 v))$

Etapa 5.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{d v}{d x} - 6 v = - 1 \cdot 5 x v \cdot v$

Etapa 5.3.2

Multiplique $v$ por $v$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.2.1

Mova $v$ .

$\frac{d v}{d x} - 6 v = - 1 \cdot 5 x (v \cdot v)$

Etapa 5.3.2.2

Multiplique $v$ por $v$ .

$\frac{d v}{d x} - 6 v = - 1 \cdot 5 x v^{2}$

Etapa 5.3.3

Multiplique $- 1$ por $5$ .

$\frac{d v}{d x} - 6 v = - 5 x v^{2}$

Etapa 6

Para resolver a equação diferencial, deixe $v = y^{1 - n}$ , em que $n$ é o expoente de $v^{2}$ .

$v = v^{- 1}$

Etapa 7

Resolva a equação para $v$ .

$y = v^{- 1}$

Etapa 8

Calcule a derivada de $y$ com relação a $x$ .

$y' = v^{- 1}$

Etapa 9

Calcule a derivada de $v^{- 1}$ com relação a $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1

Calcule a derivada de $v^{- 1}$ .

$y' = \frac{d}{d x} [v^{- 1}]$

Etapa 9.2

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$y' = \frac{d}{d x} [\frac{1}{v}]$

Etapa 9.3

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = 1$ e $g (x) = v$ .

$y' = \frac{v \frac{d}{d x} [1] - 1 \cdot 1 \frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

Etapa 9.4

Diferencie usando a regra da constante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.4.1

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$y' = \frac{v \frac{d}{d x} [1] - \frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

Etapa 9.4.2

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$y' = \frac{v \cdot 0 - \frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

Etapa 9.4.3

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.4.3.1

Multiplique $v$ por $0$ .

$y' = \frac{0 - \frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

Etapa 9.4.3.2

Subtraia $\frac{d}{d x} [v]$ de $0$ .

$y' = \frac{- \frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

Etapa 9.4.3.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y' = - \frac{\frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

Etapa 9.5

Reescreva $\frac{d}{d x} [v]$ como $v'$ .

$y' = - \frac{v'}{v^{2}}$

Etapa 10

Substitua $- \frac{v'}{v^{2}}$ por $\frac{d v}{d x}$ e $v^{- 1}$ por $v$ na equação original $\frac{d v}{d x} - 6 v = - 5 x v^{2}$ .

$- \frac{v'}{v^{2}} - 6 v^{- 1} = - 5 x {(v^{- 1})}^{2}$

Etapa 11

Resolva a equação diferencial substituída.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.1

Multiplique cada termo em $- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} - 6 v^{- 1} = - 5 x {(v^{- 1})}^{2}$ por $- v^{2}$ para eliminar as frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.1.1

Multiplique cada termo em $- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} - 6 v^{- 1} = - 5 x {(v^{- 1})}^{2}$ por $- v^{2}$ .

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} (- v^{2}) - 6 v^{- 1} (- v^{2}) = - 5 x {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Etapa 11.1.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.1.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.1.2.1.1

Cancele o fator comum de $v^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.1.2.1.1.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}}$ para o numerador.

$\frac{- \frac{d v}{d x}}{v^{2}} (- v^{2}) - 6 v^{- 1} (- v^{2}) = - 5 x {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Etapa 11.1.2.1.1.2

Fatore $v^{2}$ de $- v^{2}$ .

$\frac{- \frac{d v}{d x}}{v^{2}} (v^{2} \cdot - 1) - 6 v^{- 1} (- v^{2}) = - 5 x {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Etapa 11.1.2.1.1.3

Cancele o fator comum.

$\frac{- \frac{d v}{d x}}{v^{2}} (v^{2} \cdot - 1) - 6 v^{- 1} (- v^{2}) = - 5 x {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Etapa 11.1.2.1.1.4

Reescreva a expressão.

$- \frac{d v}{d x} \cdot - 1 - 6 v^{- 1} (- v^{2}) = - 5 x {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Etapa 11.1.2.1.2

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$1 \frac{d v}{d x} - 6 v^{- 1} (- v^{2}) = - 5 x {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Etapa 11.1.2.1.3

Multiplique $\frac{d v}{d x}$ por $1$ .

$\frac{d v}{d x} - 6 v^{- 1} (- v^{2}) = - 5 x {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Etapa 11.1.2.1.4

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{d v}{d x} - 6 \cdot - 1 v^{- 1} v^{2} = - 5 x {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Etapa 11.1.2.1.5

Multiplique $v^{- 1}$ por $v^{2}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.1.2.1.5.1

Mova $v^{2}$ .

$\frac{d v}{d x} - 6 \cdot - 1 (v^{2} v^{- 1}) = - 5 x {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Etapa 11.1.2.1.5.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{d v}{d x} - 6 \cdot - 1 v^{2 - 1} = - 5 x {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Etapa 11.1.2.1.5.3

Subtraia $1$ de $2$ .

$\frac{d v}{d x} - 6 \cdot - 1 v^{1} = - 5 x {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Etapa 11.1.2.1.6

Simplifique $- 6 \cdot - 1 v^{1}$ .

$\frac{d v}{d x} - 6 \cdot - 1 v = - 5 x {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Etapa 11.1.2.1.7

Multiplique $- 6$ por $- 1$ .

$\frac{d v}{d x} + 6 v = - 5 x {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Etapa 11.1.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.1.3.1

Multiplique os expoentes em ${(v^{- 1})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.1.3.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d v}{d x} + 6 v = - 5 x v^{- 1 \cdot 2} (- v^{2})$

Etapa 11.1.3.1.2

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\frac{d v}{d x} + 6 v = - 5 x v^{- 2} (- v^{2})$

Etapa 11.1.3.2

Multiplique $v^{- 2}$ por $v^{2}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.1.3.2.1

Mova $v^{2}$ .

$\frac{d v}{d x} + 6 v = - 5 x (v^{2} v^{- 2}) \cdot - 1$

Etapa 11.1.3.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{d v}{d x} + 6 v = - 5 x v^{2 - 2} \cdot - 1$

Etapa 11.1.3.2.3

Subtraia $2$ de $2$ .

$\frac{d v}{d x} + 6 v = - 5 x v^{0} \cdot - 1$

Etapa 11.1.3.3

Simplifique $- 5 x v^{0} \cdot - 1$ .

$\frac{d v}{d x} + 6 v = - 5 x \cdot - 1$

Etapa 11.1.3.4

Multiplique $- 1$ por $- 5$ .

$\frac{d v}{d x} + 6 v = 5 x$

Etapa 11.2

O fator de integração é definido pela fórmula $e^{\int P (x) d x}$ , em que $P (x) = 6$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.1

Determine a integração.

$e^{\int 6 d x}$

Etapa 11.2.2

Aplique a regra da constante.

$e^{6 x + C}$

Etapa 11.2.3

Remova a constante de integração.

$e^{6 x}$

Etapa 11.3

Multiplique cada termo pelo fator de integração $e^{6 x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.3.1

Multiplique cada termo por $e^{6 x}$ .

$e^{6 x} \frac{d v}{d x} + e^{6 x} (6 v) = e^{6 x} (5 x)$

Etapa 11.3.2

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$e^{6 x} \frac{d v}{d x} + 6 e^{6 x} v = e^{6 x} (5 x)$

Etapa 11.3.3

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$e^{6 x} \frac{d v}{d x} + 6 e^{6 x} v = 5 e^{6 x} x$

Etapa 11.3.4

Reordene os fatores em $e^{6 x} \frac{d v}{d x} + 6 e^{6 x} v = 5 e^{6 x} x$ .

$e^{6 x} \frac{d v}{d x} + 6 v e^{6 x} = 5 x e^{6 x}$

Etapa 11.4

Reescreva o lado esquerdo como resultado da diferenciação de um produto.

$\frac{d}{d x} [e^{6 x} v] = 5 x e^{6 x}$

Etapa 11.5

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{d}{d x} [e^{6 x} v] d x = \int 5 x e^{6 x} d x$

Etapa 11.6

Integre o lado esquerdo.

$e^{6 x} v = \int 5 x e^{6 x} d x$

Etapa 11.7

Integre o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.7.1

Como $5$ é constante com relação a $x$ , mova $5$ para fora da integral.

$e^{6 x} v = 5 \int x e^{6 x} d x$

Etapa 11.7.2

Integre por partes usando a fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , em que $u = x$ e $d v = e^{6 x}$ .

$e^{6 x} v = 5 (x (\frac{1}{6} e^{6 x}) - \int \frac{1}{6} e^{6 x} d x)$

Etapa 11.7.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.7.3.1

Combine $\frac{1}{6}$ e $e^{6 x}$ .

$e^{6 x} v = 5 (x \frac{e^{6 x}}{6} - \int \frac{1}{6} e^{6 x} d x)$

Etapa 11.7.3.2

Combine $x$ e $\frac{e^{6 x}}{6}$ .

$e^{6 x} v = 5 (\frac{x e^{6 x}}{6} - \int \frac{1}{6} e^{6 x} d x)$

Etapa 11.7.3.3

Combine $\frac{1}{6}$ e $e^{6 x}$ .

$e^{6 x} v = 5 (\frac{x e^{6 x}}{6} - \int \frac{e^{6 x}}{6} d x)$

Etapa 11.7.4

Como $\frac{1}{6}$ é constante com relação a $x$ , mova $\frac{1}{6}$ para fora da integral.

$e^{6 x} v = 5 (\frac{x e^{6 x}}{6} - (\frac{1}{6} \int e^{6 x} d x))$

Etapa 11.7.5

Deixe $u = 6 x$ . Depois, $d u = 6 d x$ , então, $\frac{1}{6} d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.7.5.1

Deixe $u = 6 x$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.7.5.1.1

Diferencie $6 x$ .

$\frac{d}{d x} [6 x]$

Etapa 11.7.5.1.2

Como $6$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $6 x$ em relação a $x$ é $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 11.7.5.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$6 \cdot 1$

Etapa 11.7.5.1.4

Multiplique $6$ por $1$ .

$6$

Etapa 11.7.5.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$e^{6 x} v = 5 (\frac{x e^{6 x}}{6} - \frac{1}{6} \int e^{u} \frac{1}{6} d u)$

Etapa 11.7.6

Combine $e^{u}$ e $\frac{1}{6}$ .

$e^{6 x} v = 5 (\frac{x e^{6 x}}{6} - \frac{1}{6} \int \frac{e^{u}}{6} d u)$

Etapa 11.7.7

Como $\frac{1}{6}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{6}$ para fora da integral.

$e^{6 x} v = 5 (\frac{x e^{6 x}}{6} - \frac{1}{6} (\frac{1}{6} \int e^{u} d u))$

Etapa 11.7.8

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.7.8.1

Multiplique $\frac{1}{6}$ por $\frac{1}{6}$ .

$e^{6 x} v = 5 (\frac{x e^{6 x}}{6} - \frac{1}{6 \cdot 6} \int e^{u} d u)$

Etapa 11.7.8.2

Multiplique $6$ por $6$ .

$e^{6 x} v = 5 (\frac{x e^{6 x}}{6} - \frac{1}{36} \int e^{u} d u)$

Etapa 11.7.9

A integral de $e^{u}$ com relação a $u$ é $e^{u}$ .

$e^{6 x} v = 5 (\frac{x e^{6 x}}{6} - \frac{1}{36} (e^{u} + C))$

Etapa 11.7.10

Reescreva $5 (\frac{x e^{6 x}}{6} - \frac{1}{36} (e^{u} + C))$ como $5 (\frac{1}{6} x e^{6 x} - \frac{1}{36} e^{u}) + C$ .

$e^{6 x} v = 5 (\frac{1}{6} x e^{6 x} - \frac{1}{36} e^{u}) + C$

Etapa 11.7.11

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $6 x$ .

$e^{6 x} v = 5 (\frac{1}{6} x e^{6 x} - \frac{1}{36} e^{6 x}) + C$

Etapa 11.8

Resolva $v$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.8.1

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.8.1.1

Combine $e^{6 x}$ e $\frac{1}{36}$ .

$e^{6 x} v = 5 (\frac{1}{6} \cdot (x e^{6 x}) - \frac{e^{6 x}}{36}) + C$

Etapa 11.8.1.2

Remova os parênteses.

$e^{6 x} v = 5 (\frac{1}{6} \cdot x e^{6 x} - \frac{e^{6 x}}{36}) + C$

Etapa 11.8.2

Divida cada termo em $e^{6 x} v = 5 (\frac{1}{6} \cdot (x e^{6 x}) - \frac{e^{6 x}}{36}) + C$ por $e^{6 x}$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.8.2.1

Divida cada termo em $e^{6 x} v = 5 (\frac{1}{6} \cdot (x e^{6 x}) - \frac{e^{6 x}}{36}) + C$ por $e^{6 x}$ .

$\frac{e^{6 x} v}{e^{6 x}} = \frac{5 (\frac{1}{6} \cdot (x e^{6 x}) - \frac{e^{6 x}}{36})}{e^{6 x}} + \frac{C}{e^{6 x}}$

Etapa 11.8.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.8.2.2.1

Cancele o fator comum de $e^{6 x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.8.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{e^{6 x} v}{e^{6 x}} = \frac{5 (\frac{1}{6} \cdot (x e^{6 x}) - \frac{e^{6 x}}{36})}{e^{6 x}} + \frac{C}{e^{6 x}}$

Etapa 11.8.2.2.1.2

Divida $v$ por $1$ .

$v = \frac{5 (\frac{1}{6} \cdot (x e^{6 x}) - \frac{e^{6 x}}{36})}{e^{6 x}} + \frac{C}{e^{6 x}}$

Etapa 11.8.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.8.2.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.8.2.3.1.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.8.2.3.1.1.1

Fatore $e^{6 x}$ de $\frac{1}{6} \cdot x e^{6 x} - \frac{e^{6 x}}{36}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.8.2.3.1.1.1.1

Fatore $e^{6 x}$ de $\frac{1}{6} \cdot x e^{6 x}$ .

$v = \frac{5 (e^{6 x} (\frac{1}{6} \cdot x) - \frac{e^{6 x}}{36})}{e^{6 x}} + \frac{C}{e^{6 x}}$

Etapa 11.8.2.3.1.1.1.2

Fatore $e^{6 x}$ de $- \frac{e^{6 x}}{36}$ .

$v = \frac{5 (e^{6 x} (\frac{1}{6} \cdot x) + e^{6 x} (- \frac{1}{36}))}{e^{6 x}} + \frac{C}{e^{6 x}}$

Etapa 11.8.2.3.1.1.1.3

Fatore $e^{6 x}$ de $e^{6 x} (\frac{1}{6} \cdot x) + e^{6 x} (- \frac{1}{36})$ .

$v = \frac{5 (e^{6 x} (\frac{1}{6} \cdot x - \frac{1}{36}))}{e^{6 x}} + \frac{C}{e^{6 x}}$

Etapa 11.8.2.3.1.1.2

Combine $\frac{1}{6}$ e $x$ .

$v = \frac{5 e^{6 x} (\frac{x}{6} - \frac{1}{36})}{e^{6 x}} + \frac{C}{e^{6 x}}$

Etapa 11.8.2.3.1.1.3

Para escrever $\frac{x}{6}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{6}{6}$ .

$v = \frac{5 e^{6 x} (\frac{x}{6} \cdot \frac{6}{6} - \frac{1}{36})}{e^{6 x}} + \frac{C}{e^{6 x}}$

Etapa 11.8.2.3.1.1.4

Escreva cada expressão com um denominador comum de $36$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.8.2.3.1.1.4.1

Multiplique $\frac{x}{6}$ por $\frac{6}{6}$ .

$v = \frac{5 e^{6 x} (\frac{x \cdot 6}{6 \cdot 6} - \frac{1}{36})}{e^{6 x}} + \frac{C}{e^{6 x}}$

Etapa 11.8.2.3.1.1.4.2

Multiplique $6$ por $6$ .

$v = \frac{5 e^{6 x} (\frac{x \cdot 6}{36} - \frac{1}{36})}{e^{6 x}} + \frac{C}{e^{6 x}}$

Etapa 11.8.2.3.1.1.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$v = \frac{5 e^{6 x} \frac{x \cdot 6 - 1}{36}}{e^{6 x}} + \frac{C}{e^{6 x}}$

Etapa 11.8.2.3.1.1.6

Mova $6$ para a esquerda de $x$ .

$v = \frac{5 e^{6 x} \frac{6 x - 1}{36}}{e^{6 x}} + \frac{C}{e^{6 x}}$

Etapa 11.8.2.3.1.1.7

Combine expoentes.

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Etapa 11.8.2.3.1.1.7.1

Combine $\frac{6 x - 1}{36}$ e $5$ .

$v = \frac{\frac{(6 x - 1) \cdot 5}{36} e^{6 x}}{e^{6 x}} + \frac{C}{e^{6 x}}$

Etapa 11.8.2.3.1.1.7.2

Combine $\frac{(6 x - 1) \cdot 5}{36}$ e $e^{6 x}$ .

$v = \frac{\frac{(6 x - 1) \cdot 5 e^{6 x}}{36}}{e^{6 x}} + \frac{C}{e^{6 x}}$

Etapa 11.8.2.3.1.1.8

Mova $5$ para a esquerda de $6 x - 1$ .

$v = \frac{\frac{5 (6 x - 1) e^{6 x}}{36}}{e^{6 x}} + \frac{C}{e^{6 x}}$

Etapa 11.8.2.3.1.2

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$v = \frac{5 (6 x - 1) e^{6 x}}{36} \cdot \frac{1}{e^{6 x}} + \frac{C}{e^{6 x}}$

Etapa 11.8.2.3.1.3

Combine.

$v = \frac{5 (6 x - 1) e^{6 x} \cdot 1}{36 e^{6 x}} + \frac{C}{e^{6 x}}$

Etapa 11.8.2.3.1.4

Cancele o fator comum de $e^{6 x}$ .

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Etapa 11.8.2.3.1.4.1

Cancele o fator comum.

$v = \frac{5 (6 x - 1) e^{6 x} \cdot 1}{36 e^{6 x}} + \frac{C}{e^{6 x}}$

Etapa 11.8.2.3.1.4.2

Reescreva a expressão.

$v = \frac{5 (6 x - 1) \cdot 1}{36} + \frac{C}{e^{6 x}}$

Etapa 11.8.2.3.1.5

Multiplique $5$ por $1$ .

$v = \frac{5 (6 x - 1)}{36} + \frac{C}{e^{6 x}}$

Etapa 11.8.2.3.2

Para escrever $\frac{5 (6 x - 1)}{36}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{e^{6 x}}{e^{6 x}}$ .

$v = \frac{5 (6 x - 1)}{36} \cdot \frac{e^{6 x}}{e^{6 x}} + \frac{C}{e^{6 x}}$

Etapa 11.8.2.3.3

Para escrever $\frac{C}{e^{6 x}}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{36}{36}$ .

$v = \frac{5 (6 x - 1)}{36} \cdot \frac{e^{6 x}}{e^{6 x}} + \frac{C}{e^{6 x}} \cdot \frac{36}{36}$

Etapa 11.8.2.3.4

Escreva cada expressão com um denominador comum de $36 e^{6 x}$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 11.8.2.3.4.1

Multiplique $\frac{5 (6 x - 1)}{36}$ por $\frac{e^{6 x}}{e^{6 x}}$ .

$v = \frac{5 (6 x - 1) e^{6 x}}{36 e^{6 x}} + \frac{C}{e^{6 x}} \cdot \frac{36}{36}$

Etapa 11.8.2.3.4.2

Multiplique $\frac{C}{e^{6 x}}$ por $\frac{36}{36}$ .

$v = \frac{5 (6 x - 1) e^{6 x}}{36 e^{6 x}} + \frac{C \cdot 36}{e^{6 x} \cdot 36}$

Etapa 11.8.2.3.4.3

Reordene os fatores de $e^{6 x} \cdot 36$ .

$v = \frac{5 (6 x - 1) e^{6 x}}{36 e^{6 x}} + \frac{C \cdot 36}{36 e^{6 x}}$

Etapa 11.8.2.3.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$v = \frac{5 (6 x - 1) e^{6 x} + C \cdot 36}{36 e^{6 x}}$

Etapa 11.8.2.3.6

Simplifique o numerador.

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Etapa 11.8.2.3.6.1

Aplique a propriedade distributiva.

$v = \frac{(5 (6 x) + 5 \cdot - 1) e^{6 x} + C \cdot 36}{36 e^{6 x}}$

Etapa 11.8.2.3.6.2

Multiplique $6$ por $5$ .

$v = \frac{(30 x + 5 \cdot - 1) e^{6 x} + C \cdot 36}{36 e^{6 x}}$

Etapa 11.8.2.3.6.3

Multiplique $5$ por $- 1$ .

$v = \frac{(30 x - 5) e^{6 x} + C \cdot 36}{36 e^{6 x}}$

Etapa 11.8.2.3.6.4

Aplique a propriedade distributiva.

$v = \frac{30 x e^{6 x} - 5 e^{6 x} + C \cdot 36}{36 e^{6 x}}$

Etapa 11.8.2.3.6.5

Mova $36$ para a esquerda de $C$ .

$v = \frac{30 x e^{6 x} - 5 e^{6 x} + 36 C}{36 e^{6 x}}$

Etapa 12

Substitua $v^{- 1}$ por $v$ .

$v^{- 1} = \frac{30 x e^{6 x} - 5 e^{6 x} + 36 C}{36 e^{6 x}}$

Etapa 13

Substitua todas as ocorrências de $v$ por $e^{6 x - 5 y}$ .

${(e^{6 x - 5 y})}^{- 1} = \frac{30 x e^{6 x} - 5 e^{6 x} + 36 C}{36 e^{6 x}}$

Etapa 14

Resolva $y$ .

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Etapa 14.1

Obtenha o logaritmo natural dos dois lados da equação para remover a variável do expoente.

$\ln ({(e^{6 x - 5 y})}^{- 1}) = \ln (\frac{30 x e^{6 x} - 5 e^{6 x} + 36 C}{36 e^{6 x}})$

Etapa 14.2

Expanda o lado esquerdo.

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Etapa 14.2.1

Expanda $\ln ({(e^{6 x - 5 y})}^{- 1})$ movendo $- 1$ para fora do logaritmo.

$- \ln (e^{6 x - 5 y}) = \ln (\frac{30 x e^{6 x} - 5 e^{6 x} + 36 C}{36 e^{6 x}})$

Etapa 14.2.2

Expanda $\ln (e^{6 x - 5 y})$ movendo $6 x - 5 y$ para fora do logaritmo.

$- ((6 x - 5 y) \ln (e)) = \ln (\frac{30 x e^{6 x} - 5 e^{6 x} + 36 C}{36 e^{6 x}})$

Etapa 14.2.3

O logaritmo natural de $e$ é $1$ .

$- ((6 x - 5 y) \cdot 1) = \ln (\frac{30 x e^{6 x} - 5 e^{6 x} + 36 C}{36 e^{6 x}})$

Etapa 14.2.4

Multiplique $6 x - 5 y$ por $1$ .

$- (6 x - 5 y) = \ln (\frac{30 x e^{6 x} - 5 e^{6 x} + 36 C}{36 e^{6 x}})$

Etapa 14.3

Expanda o lado direito.

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Etapa 14.3.1

Reescreva $\ln (\frac{30 x e^{6 x} - 5 e^{6 x} + 36 C}{36 e^{6 x}})$ como $\ln (30 x e^{6 x} - 5 e^{6 x} + 36 C) - \ln (36 e^{6 x})$ .

$- (6 x - 5 y) = \ln (30 x e^{6 x} - 5 e^{6 x} + 36 C) - \ln (36 e^{6 x})$

Etapa 14.3.2

Reescreva $\ln (36 e^{6 x})$ como $\ln (36) + \ln (e^{6 x})$ .

$- (6 x - 5 y) = \ln (30 x e^{6 x} - 5 e^{6 x} + 36 C) - (\ln (36) + \ln (e^{6 x}))$

Etapa 14.3.3

Expanda $\ln (e^{6 x})$ movendo $6 x$ para fora do logaritmo.

$- (6 x - 5 y) = \ln (30 x e^{6 x} - 5 e^{6 x} + 36 C) - (\ln (36) + 6 x \ln (e))$

Etapa 14.3.4

O logaritmo natural de $e$ é $1$ .

$- (6 x - 5 y) = \ln (30 x e^{6 x} - 5 e^{6 x} + 36 C) - (\ln (36) + 6 x \cdot 1)$

Etapa 14.3.5

Multiplique $6$ por $1$ .

$- (6 x - 5 y) = \ln (30 x e^{6 x} - 5 e^{6 x} + 36 C) - (\ln (36) + 6 x)$

Etapa 14.4

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 14.4.1

Simplifique $- (6 x - 5 y)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.4.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$- (6 x) - (- 5 y) = \ln (30 x e^{6 x} - 5 e^{6 x} + 36 C) - (\ln (36) + 6 x)$

Etapa 14.4.1.2

Multiplique.

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Etapa 14.4.1.2.1

Multiplique $6$ por $- 1$ .

$- 6 x - (- 5 y) = \ln (30 x e^{6 x} - 5 e^{6 x} + 36 C) - (\ln (36) + 6 x)$

Etapa 14.4.1.2.2

Multiplique $- 5$ por $- 1$ .

$- 6 x + 5 y = \ln (30 x e^{6 x} - 5 e^{6 x} + 36 C) - (\ln (36) + 6 x)$

Etapa 14.5

Simplifique o lado direito.

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Etapa 14.5.1

Simplifique $\ln (30 x e^{6 x} - 5 e^{6 x} + 36 C) - (\ln (36) + 6 x)$ .

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Etapa 14.5.1.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 14.5.1.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$- 6 x + 5 y = \ln (30 x e^{6 x} - 5 e^{6 x} + 36 C) - \ln (36) - (6 x)$

Etapa 14.5.1.1.2

Multiplique $6$ por $- 1$ .

$- 6 x + 5 y = \ln (30 x e^{6 x} - 5 e^{6 x} + 36 C) - \ln (36) - 6 x$

Etapa 14.5.1.2

Use a propriedade dos logaritmos do quociente, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$- 6 x + 5 y = \ln (\frac{30 x e^{6 x} - 5 e^{6 x} + 36 C}{36}) - 6 x$

Etapa 14.5.1.3

Simplifique cada termo.

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Etapa 14.5.1.3.1

Divida a fração $\frac{30 x e^{6 x} - 5 e^{6 x} + 36 C}{36}$ em duas frações.

$- 6 x + 5 y = \ln (\frac{30 x e^{6 x} - 5 e^{6 x}}{36} + \frac{36 C}{36}) - 6 x$

Etapa 14.5.1.3.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 14.5.1.3.2.1

Fatore $5 e^{6 x}$ de $30 x e^{6 x} - 5 e^{6 x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.5.1.3.2.1.1

Fatore $5 e^{6 x}$ de $30 x e^{6 x}$ .

$- 6 x + 5 y = \ln (\frac{5 e^{6 x} (6 x) - 5 e^{6 x}}{36} + \frac{36 C}{36}) - 6 x$

Etapa 14.5.1.3.2.1.2

Fatore $5 e^{6 x}$ de $- 5 e^{6 x}$ .

$- 6 x + 5 y = \ln (\frac{5 e^{6 x} (6 x) + 5 e^{6 x} (- 1)}{36} + \frac{36 C}{36}) - 6 x$

Etapa 14.5.1.3.2.1.3

Fatore $5 e^{6 x}$ de $5 e^{6 x} (6 x) + 5 e^{6 x} (- 1)$ .

$- 6 x + 5 y = \ln (\frac{5 e^{6 x} (6 x - 1)}{36} + \frac{36 C}{36}) - 6 x$

Etapa 14.5.1.3.2.2

Cancele o fator comum de $36$ .

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Etapa 14.5.1.3.2.2.1

Cancele o fator comum.

$- 6 x + 5 y = \ln (\frac{5 e^{6 x} (6 x - 1)}{36} + \frac{36 C}{36}) - 6 x$

Etapa 14.5.1.3.2.2.2

Divida $C$ por $1$ .

$- 6 x + 5 y = \ln (\frac{5 e^{6 x} (6 x - 1)}{36} + C) - 6 x$

Etapa 14.6

Mova todos os termos que não contêm $y$ para o lado direito da equação.

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Etapa 14.6.1

Some $6 x$ aos dois lados da equação.

$5 y = \ln (\frac{5 e^{6 x} (6 x - 1)}{36} + C) - 6 x + 6 x$

Etapa 14.6.2

Combine os termos opostos em $\ln (\frac{5 e^{6 x} (6 x - 1)}{36} + C) - 6 x + 6 x$ .

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Etapa 14.6.2.1

Some $- 6 x$ e $6 x$ .

$5 y = \ln (\frac{5 e^{6 x} (6 x - 1)}{36} + C) + 0$

Etapa 14.6.2.2

Some $\ln (\frac{5 e^{6 x} (6 x - 1)}{36} + C)$ e $0$ .

$5 y = \ln (\frac{5 e^{6 x} (6 x - 1)}{36} + C)$

Etapa 14.7

Divida cada termo em $5 y = \ln (\frac{5 e^{6 x} (6 x - 1)}{36} + C)$ por $5$ e simplifique.

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Etapa 14.7.1

Divida cada termo em $5 y = \ln (\frac{5 e^{6 x} (6 x - 1)}{36} + C)$ por $5$ .

$\frac{5 y}{5} = \frac{\ln (\frac{5 e^{6 x} (6 x - 1)}{36} + C)}{5}$

Etapa 14.7.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 14.7.2.1

Cancele o fator comum de $5$ .

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Etapa 14.7.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{5 y}{5} = \frac{\ln (\frac{5 e^{6 x} (6 x - 1)}{36} + C)}{5}$

Etapa 14.7.2.1.2

Divida $y$ por $1$ .

$y = \frac{\ln (\frac{5 e^{6 x} (6 x - 1)}{36} + C)}{5}$