Cálculo Exemplos

$2 x y d x - (1 + x^{2}) d y = 0$

Etapa 1

Subtraia $2 x y d x$ dos dois lados da equação.

$- (1 + x^{2}) d y = - 2 x y d x$

Etapa 2

Multiplique os dois lados por $\frac{1}{(1 + x^{2}) y}$ .

$\frac{1}{(1 + x^{2}) y} (- (1 + x^{2})) d y = \frac{1}{(1 + x^{2}) y} (- 2 x y) d x$

Etapa 3

Simplifique.

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Etapa 3.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$- \frac{1}{(1 + x^{2}) y} (1 + x^{2}) d y = \frac{1}{(1 + x^{2}) y} (- 2 x y) d x$

Etapa 3.2

Cancele o fator comum de $1 + x^{2}$ .

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Etapa 3.2.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{1}{(1 + x^{2}) y}$ para o numerador.

$\frac{- 1}{(1 + x^{2}) y} (1 + x^{2}) d y = \frac{1}{(1 + x^{2}) y} (- 2 x y) d x$

Etapa 3.2.2

Fatore $1 + x^{2}$ de $(1 + x^{2}) y$ .

$\frac{- 1}{(1 + x^{2}) (y)} (1 + x^{2}) d y = \frac{1}{(1 + x^{2}) y} (- 2 x y) d x$

Etapa 3.2.3

Cancele o fator comum.

$\frac{- 1}{(1 + x^{2}) y} (1 + x^{2}) d y = \frac{1}{(1 + x^{2}) y} (- 2 x y) d x$

Etapa 3.2.4

Reescreva a expressão.

$\frac{- 1}{y} d y = \frac{1}{(1 + x^{2}) y} (- 2 x y) d x$

Etapa 3.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{1}{y} d y = \frac{1}{(1 + x^{2}) y} (- 2 x y) d x$

Etapa 3.4

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$- \frac{1}{y} d y = - 2 \frac{1}{(1 + x^{2}) y} (x y) d x$

Etapa 3.5

Combine $- 2$ e $\frac{1}{(1 + x^{2}) y}$ .

$- \frac{1}{y} d y = \frac{- 2}{(1 + x^{2}) y} (x y) d x$

Etapa 3.6

Cancele o fator comum de $y$ .

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Etapa 3.6.1

Fatore $y$ de $(1 + x^{2}) y$ .

$- \frac{1}{y} d y = \frac{- 2}{y (1 + x^{2})} (x y) d x$

Etapa 3.6.2

Fatore $y$ de $x y$ .

$- \frac{1}{y} d y = \frac{- 2}{y (1 + x^{2})} (y x) d x$

Etapa 3.6.3

Cancele o fator comum.

$- \frac{1}{y} d y = \frac{- 2}{y (1 + x^{2})} (y x) d x$

Etapa 3.6.4

Reescreva a expressão.

$- \frac{1}{y} d y = \frac{- 2}{1 + x^{2}} x d x$

Etapa 3.7

Combine $\frac{- 2}{1 + x^{2}}$ e $x$ .

$- \frac{1}{y} d y = \frac{- 2 x}{1 + x^{2}} d x$

Etapa 3.8

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{1}{y} d y = - \frac{2 x}{1 + x^{2}} d x$

Etapa 4

Integre os dois lados.

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Etapa 4.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int - \frac{1}{y} d y = \int - \frac{2 x}{1 + x^{2}} d x$

Etapa 4.2

Integre o lado esquerdo.

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Etapa 4.2.1

Como $- 1$ é constante com relação a $y$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$- \int \frac{1}{y} d y = \int - \frac{2 x}{1 + x^{2}} d x$

Etapa 4.2.2

A integral de $\frac{1}{y}$ com relação a $y$ é $\ln (| y |)$ .

$- (\ln (| y |) + C_{1}) = \int - \frac{2 x}{1 + x^{2}} d x$

Etapa 4.2.3

Simplifique.

$- \ln (| y |) + C_{1} = \int - \frac{2 x}{1 + x^{2}} d x$

Etapa 4.3

Integre o lado direito.

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Etapa 4.3.1

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$- \ln (| y |) + C_{1} = - \int \frac{2 x}{1 + x^{2}} d x$

Etapa 4.3.2

Como $2$ é constante com relação a $x$ , mova $2$ para fora da integral.

$- \ln (| y |) + C_{1} = - (2 \int \frac{x}{1 + x^{2}} d x)$

Etapa 4.3.3

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$- \ln (| y |) + C_{1} = - 2 \int \frac{x}{1 + x^{2}} d x$

Etapa 4.3.4

Deixe $u = 1 + x^{2}$ . Depois, $d u = 2 x d x$ , então, $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 4.3.4.1

Deixe $u = 1 + x^{2}$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 4.3.4.1.1

Diferencie $1 + x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [1 + x^{2}]$

Etapa 4.3.4.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $1 + x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 4.3.4.1.3

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 4.3.4.1.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$0 + 2 x$

Etapa 4.3.4.1.5

Some $0$ e $2 x$ .

$2 x$

Etapa 4.3.4.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$- \ln (| y |) + C_{1} = - 2 \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

Etapa 4.3.5

Simplifique.

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Etapa 4.3.5.1

Multiplique $\frac{1}{u}$ por $\frac{1}{2}$ .

$- \ln (| y |) + C_{1} = - 2 \int \frac{1}{u \cdot 2} d u$

Etapa 4.3.5.2

Mova $2$ para a esquerda de $u$ .

$- \ln (| y |) + C_{1} = - 2 \int \frac{1}{2 u} d u$

Etapa 4.3.6

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$- \ln (| y |) + C_{1} = - 2 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u)$

Etapa 4.3.7

Simplifique.

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Etapa 4.3.7.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $- 2$ .

$- \ln (| y |) + C_{1} = \frac{- 2}{2} \int \frac{1}{u} d u$

Etapa 4.3.7.2

Cancele o fator comum de $- 2$ e $2$ .

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Etapa 4.3.7.2.1

Fatore $2$ de $- 2$ .

$- \ln (| y |) + C_{1} = \frac{2 \cdot - 1}{2} \int \frac{1}{u} d u$

Etapa 4.3.7.2.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 4.3.7.2.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$- \ln (| y |) + C_{1} = \frac{2 \cdot - 1}{2 (1)} \int \frac{1}{u} d u$

Etapa 4.3.7.2.2.2

Cancele o fator comum.

$- \ln (| y |) + C_{1} = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1} \int \frac{1}{u} d u$

Etapa 4.3.7.2.2.3

Reescreva a expressão.

$- \ln (| y |) + C_{1} = \frac{- 1}{1} \int \frac{1}{u} d u$

Etapa 4.3.7.2.2.4

Divida $- 1$ por $1$ .

$- \ln (| y |) + C_{1} = - \int \frac{1}{u} d u$

Etapa 4.3.8

A integral de $\frac{1}{u}$ com relação a $u$ é $\ln (| u |)$ .

$- \ln (| y |) + C_{1} = - (\ln (| u |) + C_{2})$

Etapa 4.3.9

Simplifique.

$- \ln (| y |) + C_{1} = - \ln (| u |) + C_{2}$

Etapa 4.3.10

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $1 + x^{2}$ .

$- \ln (| y |) + C_{1} = - \ln (| 1 + x^{2} |) + C_{2}$

Etapa 4.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $C$ .

$- \ln (| y |) = - \ln (| 1 + x^{2} |) + C$

Etapa 5

Resolva $y$ .

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Etapa 5.1

Mova todos os termos que contêm um logaritmo para o lado esquerdo da equação.

$- \ln (| y |) + \ln (| 1 + x^{2} |) = C$

Etapa 5.2

Subtraia $\ln (| 1 + x^{2} |)$ dos dois lados da equação.

$- \ln (| y |) = C - \ln (| 1 + x^{2} |)$

Etapa 5.3

Divida cada termo em $- \ln (| y |) = C - \ln (| 1 + x^{2} |)$ por $- 1$ e simplifique.

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Etapa 5.3.1

Divida cada termo em $- \ln (| y |) = C - \ln (| 1 + x^{2} |)$ por $- 1$ .

$\frac{- \ln (| y |)}{- 1} = \frac{C}{- 1} + \frac{- \ln (| 1 + x^{2} |)}{- 1}$

Etapa 5.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.3.2.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\frac{\ln (| y |)}{1} = \frac{C}{- 1} + \frac{- \ln (| 1 + x^{2} |)}{- 1}$

Etapa 5.3.2.2

Divida $\ln (| y |)$ por $1$ .

$\ln (| y |) = \frac{C}{- 1} + \frac{- \ln (| 1 + x^{2} |)}{- 1}$

Etapa 5.3.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.3.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.3.3.1.1

Mova o número negativo do denominador de $\frac{C}{- 1}$ .

$\ln (| y |) = - 1 \cdot C + \frac{- \ln (| 1 + x^{2} |)}{- 1}$

Etapa 5.3.3.1.2

Reescreva $- 1 \cdot C$ como $- C$ .

$\ln (| y |) = - C + \frac{- \ln (| 1 + x^{2} |)}{- 1}$

Etapa 5.3.3.1.3

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\ln (| y |) = - C + \frac{\ln (| 1 + x^{2} |)}{1}$

Etapa 5.3.3.1.4

Divida $\ln (| 1 + x^{2} |)$ por $1$ .

$\ln (| y |) = - C + \ln (| 1 + x^{2} |)$

Etapa 5.4

Mova todos os termos que contêm um logaritmo para o lado esquerdo da equação.

$\ln (| y |) - \ln (| 1 + x^{2} |) = - C$

Etapa 5.5

Use a propriedade dos logaritmos do quociente, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| y |}{| 1 + x^{2} |}) = - C$

Etapa 5.6

Para resolver $y$ , reescreva a equação usando propriedades de logaritmos.

$e^{\ln (\frac{| y |}{| 1 + x^{2} |})} = e^{- C}$

Etapa 5.7

Reescreva $\ln (\frac{| y |}{| 1 + x^{2} |}) = - C$ na forma exponencial usando a definição de um logaritmo. Se $x$ e $b$ forem números reais positivos e $b \neq 1$ , então, $\log_{b} (x) = y$ será equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{- C} = \frac{| y |}{| 1 + x^{2} |}$

Etapa 5.8

Resolva $y$ .

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Etapa 5.8.1

Reescreva a equação como $\frac{| y |}{| 1 + x^{2} |} = e^{- C}$ .

$\frac{| y |}{| 1 + x^{2} |} = e^{- C}$

Etapa 5.8.2

Multiplique os dois lados por $| 1 + x^{2} |$ .

$\frac{| y |}{| 1 + x^{2} |} | 1 + x^{2} | = e^{- C} | 1 + x^{2} |$

Etapa 5.8.3

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.8.3.1

Cancele o fator comum de $| 1 + x^{2} |$ .

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Etapa 5.8.3.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{| y |}{| 1 + x^{2} |} | 1 + x^{2} | = e^{- C} | 1 + x^{2} |$

Etapa 5.8.3.1.2

Reescreva a expressão.

$| y | = e^{- C} | 1 + x^{2} |$

Etapa 5.8.4

Resolva $y$ .

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Etapa 5.8.4.1

Reordene os fatores em $e^{- C} | 1 + x^{2} |$ .

$| y | = | 1 + x^{2} | e^{- C}$

Etapa 5.8.4.2

Remova o termo de valor absoluto. Isso cria um $\pm$ no lado direito da equação, porque $| x | = \pm x$ .

$y = \pm | 1 + x^{2} | e^{- C}$

Etapa 6

Agrupe os termos da constante.

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Etapa 6.1

Simplifique a constante de integração.

$y = \pm | 1 + x^{2} | C$

Etapa 6.2

Combine constantes com o sinal de mais ou menos.

$y = C | 1 + x^{2} |$