Cálculo Exemplos

$\frac{d y}{d x} + \frac{3}{x} y = \frac{\ln (x)}{x^{2}}$

Etapa 1

O fator de integração é definido pela fórmula $e^{\int P (x) d x}$ , em que $P (x) = \frac{3}{x}$ .

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Etapa 1.1

Determine a integração.

$e^{\int \frac{3}{x} d x}$

Etapa 1.2

Integre $\frac{3}{x}$ .

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Etapa 1.2.1

Como $3$ é constante com relação a $x$ , mova $3$ para fora da integral.

$e^{3 \int \frac{1}{x} d x}$

Etapa 1.2.2

A integral de $\frac{1}{x}$ com relação a $x$ é $\ln (| x |)$ .

$e^{3 (\ln (| x |) + C)}$

Etapa 1.2.3

Simplifique.

$e^{3 \ln (| x |) + C}$

Etapa 1.3

Remova a constante de integração.

$e^{3 \ln (x)}$

Etapa 1.4

Use a regra da multiplicação de potências logarítmica.

$e^{\ln (x^{3})}$

Etapa 1.5

Potenciação e logaritmo são funções inversas.

$x^{3}$

Etapa 2

Multiplique cada termo pelo fator de integração $x^{3}$ .

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Etapa 2.1

Multiplique cada termo por $x^{3}$ .

$x^{3} \frac{d y}{d x} + x^{3} (\frac{3}{x} y) = x^{3} \frac{\ln (x)}{x^{2}}$

Etapa 2.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.2.1

Combine $\frac{3}{x}$ e $y$ .

$x^{3} \frac{d y}{d x} + x^{3} \frac{3 y}{x} = x^{3} \frac{\ln (x)}{x^{2}}$

Etapa 2.2.2

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 2.2.2.1

Fatore $x$ de $x^{3}$ .

$x^{3} \frac{d y}{d x} + x \cdot x^{2} \frac{3 y}{x} = x^{3} \frac{\ln (x)}{x^{2}}$

Etapa 2.2.2.2

Cancele o fator comum.

$x^{3} \frac{d y}{d x} + x \cdot x^{2} \frac{3 y}{x} = x^{3} \frac{\ln (x)}{x^{2}}$

Etapa 2.2.2.3

Reescreva a expressão.

$x^{3} \frac{d y}{d x} + x^{2} (3 y) = x^{3} \frac{\ln (x)}{x^{2}}$

Etapa 2.2.3

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$x^{3} \frac{d y}{d x} + 3 x^{2} y = x^{3} \frac{\ln (x)}{x^{2}}$

Etapa 2.3

Cancele o fator comum de $x^{2}$ .

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Etapa 2.3.1

Fatore $x^{2}$ de $x^{3}$ .

$x^{3} \frac{d y}{d x} + 3 x^{2} y = x^{2} x \frac{\ln (x)}{x^{2}}$

Etapa 2.3.2

Cancele o fator comum.

$x^{3} \frac{d y}{d x} + 3 x^{2} y = x^{2} x \frac{\ln (x)}{x^{2}}$

Etapa 2.3.3

Reescreva a expressão.

$x^{3} \frac{d y}{d x} + 3 x^{2} y = x \ln (x)$

Etapa 3

Reescreva o lado esquerdo como resultado da diferenciação de um produto.

$\frac{d}{d x} [x^{3} y] = x \ln (x)$

Etapa 4

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{d}{d x} [x^{3} y] d x = \int x \ln (x) d x$

Etapa 5

Integre o lado esquerdo.

$x^{3} y = \int x \ln (x) d x$

Etapa 6

Integre o lado direito.

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Etapa 6.1

Integre por partes usando a fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , em que $u = \ln (x)$ e $d v = x$ .

$x^{3} y = \ln (x) (\frac{1}{2} x^{2}) - \int \frac{1}{2} x^{2} \frac{1}{x} d x$

Etapa 6.2

Simplifique.

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Etapa 6.2.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $x^{2}$ .

$x^{3} y = \ln (x) \frac{x^{2}}{2} - \int \frac{1}{2} x^{2} \frac{1}{x} d x$

Etapa 6.2.2

Combine $\ln (x)$ e $\frac{x^{2}}{2}$ .

$x^{3} y = \frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \int \frac{1}{2} x^{2} \frac{1}{x} d x$

Etapa 6.3

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $x$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$x^{3} y = \frac{\ln (x) x^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int x^{2} \frac{1}{x} d x)$

Etapa 6.4

Simplifique.

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Etapa 6.4.1

Combine $x^{2}$ e $\frac{1}{x}$ .

$x^{3} y = \frac{\ln (x) x^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int \frac{x^{2}}{x} d x)$

Etapa 6.4.2

Cancele o fator comum de $x^{2}$ e $x$ .

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Etapa 6.4.2.1

Fatore $x$ de $x^{2}$ .

$x^{3} y = \frac{\ln (x) x^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int \frac{x \cdot x}{x} d x)$

Etapa 6.4.2.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 6.4.2.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$x^{3} y = \frac{\ln (x) x^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int \frac{x \cdot x}{x^{1}} d x)$

Etapa 6.4.2.2.2

Fatore $x$ de $x^{1}$ .

$x^{3} y = \frac{\ln (x) x^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int \frac{x \cdot x}{x \cdot 1} d x)$

Etapa 6.4.2.2.3

Cancele o fator comum.

$x^{3} y = \frac{\ln (x) x^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int \frac{x \cdot x}{x \cdot 1} d x)$

Etapa 6.4.2.2.4

Reescreva a expressão.

$x^{3} y = \frac{\ln (x) x^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int \frac{x}{1} d x)$

Etapa 6.4.2.2.5

Divida $x$ por $1$ .

$x^{3} y = \frac{\ln (x) x^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int x d x)$

$x^{3} y = \frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} \int x d x$

Etapa 6.5

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x$ com relação a $x$ é $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$x^{3} y = \frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Etapa 6.6

Simplifique a resposta.

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Etapa 6.6.1

Reescreva $\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C)$ como $\frac{1}{2} \ln (x) x^{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} x^{2} + C$ .

$x^{3} y = \frac{1}{2} \ln (x) x^{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} x^{2} + C$

Etapa 6.6.2

Simplifique.

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Etapa 6.6.2.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $\ln (x)$ .

$x^{3} y = \frac{\ln (x)}{2} x^{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} x^{2} + C$

Etapa 6.6.2.2

Combine $\frac{\ln (x)}{2}$ e $x^{2}$ .

$x^{3} y = \frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} x^{2} + C$

Etapa 6.6.2.3

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $\frac{1}{2}$ .

$x^{3} y = \frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2 \cdot 2} x^{2} + C$

Etapa 6.6.2.4

Multiplique $2$ por $2$ .

$x^{3} y = \frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{4} x^{2} + C$

Etapa 6.6.3

Combine $x^{2}$ e $\frac{1}{4}$ .

$x^{3} y = \frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \frac{x^{2}}{4} + C$

Etapa 6.6.4

Reordene os termos.

$x^{3} y = \frac{1}{2} \ln (x) x^{2} - \frac{1}{4} x^{2} + C$

Etapa 7

Resolva $y$ .

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Etapa 7.1

Simplifique.

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Etapa 7.1.1

Combine $x^{2}$ e $\frac{1}{4}$ .

$x^{3} y = \frac{1}{2} \cdot (\ln (x) x^{2}) - \frac{x^{2}}{4} + C$

Etapa 7.1.2

Remova os parênteses.

$x^{3} y = \frac{1}{2} \cdot \ln (x) x^{2} - \frac{x^{2}}{4} + C$

Etapa 7.2

Divida cada termo em $x^{3} y = \frac{1}{2} \cdot (\ln (x) x^{2}) - \frac{x^{2}}{4} + C$ por $x^{3}$ e simplifique.

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Etapa 7.2.1

Divida cada termo em $x^{3} y = \frac{1}{2} \cdot (\ln (x) x^{2}) - \frac{x^{2}}{4} + C$ por $x^{3}$ .

$\frac{x^{3} y}{x^{3}} = \frac{\frac{1}{2} \cdot (\ln (x) x^{2})}{x^{3}} + \frac{- \frac{x^{2}}{4}}{x^{3}} + \frac{C}{x^{3}}$

Etapa 7.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 7.2.2.1

Cancele o fator comum de $x^{3}$ .

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Etapa 7.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{x^{3} y}{x^{3}} = \frac{\frac{1}{2} \cdot (\ln (x) x^{2})}{x^{3}} + \frac{- \frac{x^{2}}{4}}{x^{3}} + \frac{C}{x^{3}}$

Etapa 7.2.2.1.2

Divida $y$ por $1$ .

$y = \frac{\frac{1}{2} \cdot (\ln (x) x^{2})}{x^{3}} + \frac{- \frac{x^{2}}{4}}{x^{3}} + \frac{C}{x^{3}}$

Etapa 7.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 7.2.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 7.2.3.1.1

Cancele o fator comum de $x^{2}$ e $x^{3}$ .

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Etapa 7.2.3.1.1.1

Fatore $x^{2}$ de $\frac{1}{2} \cdot (\ln (x) x^{2})$ .

$y = \frac{x^{2} (\frac{1}{2} \cdot (\ln (x)))}{x^{3}} + \frac{- \frac{x^{2}}{4}}{x^{3}} + \frac{C}{x^{3}}$

Etapa 7.2.3.1.1.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 7.2.3.1.1.2.1

Fatore $x^{2}$ de $x^{3}$ .

$y = \frac{x^{2} (\frac{1}{2} \cdot (\ln (x)))}{x^{2} x} + \frac{- \frac{x^{2}}{4}}{x^{3}} + \frac{C}{x^{3}}$

Etapa 7.2.3.1.1.2.2

Cancele o fator comum.

$y = \frac{x^{2} (\frac{1}{2} \cdot (\ln (x)))}{x^{2} x} + \frac{- \frac{x^{2}}{4}}{x^{3}} + \frac{C}{x^{3}}$

Etapa 7.2.3.1.1.2.3

Reescreva a expressão.

$y = \frac{\frac{1}{2} \cdot (\ln (x))}{x} + \frac{- \frac{x^{2}}{4}}{x^{3}} + \frac{C}{x^{3}}$

Etapa 7.2.3.1.2

Simplifique $\frac{1}{2} \ln (x)$ movendo $\frac{1}{2}$ para dentro do logaritmo.

$y = \frac{\ln (x^{\frac{1}{2}})}{x} + \frac{- \frac{x^{2}}{4}}{x^{3}} + \frac{C}{x^{3}}$

Etapa 7.2.3.1.3

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$y = \frac{\ln (x^{\frac{1}{2}})}{x} - \frac{x^{2}}{4} \cdot \frac{1}{x^{3}} + \frac{C}{x^{3}}$

Etapa 7.2.3.1.4

Cancele o fator comum de $x^{2}$ .

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Etapa 7.2.3.1.4.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{x^{2}}{4}$ para o numerador.

$y = \frac{\ln (x^{\frac{1}{2}})}{x} + \frac{- x^{2}}{4} \cdot \frac{1}{x^{3}} + \frac{C}{x^{3}}$

Etapa 7.2.3.1.4.2

Fatore $x^{2}$ de $- x^{2}$ .

$y = \frac{\ln (x^{\frac{1}{2}})}{x} + \frac{x^{2} \cdot - 1}{4} \cdot \frac{1}{x^{3}} + \frac{C}{x^{3}}$

Etapa 7.2.3.1.4.3

Fatore $x^{2}$ de $x^{3}$ .

$y = \frac{\ln (x^{\frac{1}{2}})}{x} + \frac{x^{2} \cdot - 1}{4} \cdot \frac{1}{x^{2} x} + \frac{C}{x^{3}}$

Etapa 7.2.3.1.4.4

Cancele o fator comum.

$y = \frac{\ln (x^{\frac{1}{2}})}{x} + \frac{x^{2} \cdot - 1}{4} \cdot \frac{1}{x^{2} x} + \frac{C}{x^{3}}$

Etapa 7.2.3.1.4.5

Reescreva a expressão.

$y = \frac{\ln (x^{\frac{1}{2}})}{x} + \frac{- 1}{4} \cdot \frac{1}{x} + \frac{C}{x^{3}}$

Etapa 7.2.3.1.5

Multiplique $\frac{- 1}{4}$ por $\frac{1}{x}$ .

$y = \frac{\ln (x^{\frac{1}{2}})}{x} + \frac{- 1}{4 x} + \frac{C}{x^{3}}$

Etapa 7.2.3.1.6

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y = \frac{\ln (x^{\frac{1}{2}})}{x} - \frac{1}{4 x} + \frac{C}{x^{3}}$