Cálculo Exemplos

$(2 + x) d y = 3 (y d) x$

Etapa 1

Multiplique os dois lados por $\frac{1}{(2 + x) y}$ .

$\frac{1}{(2 + x) y} (2 + x) d y = \frac{1}{(2 + x) y} (3 y) d x$

Etapa 2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Cancele o fator comum de $2 + x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1

Fatore $2 + x$ de $(2 + x) y$ .

$\frac{1}{(2 + x) (y)} (2 + x) d y = \frac{1}{(2 + x) y} (3 y) d x$

Etapa 2.1.2

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{(2 + x) y} (2 + x) d y = \frac{1}{(2 + x) y} (3 y) d x$

Etapa 2.1.3

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{y} d y = \frac{1}{(2 + x) y} (3 y) d x$

Etapa 2.2

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{1}{y} d y = 3 \frac{1}{(2 + x) y} y d x$

Etapa 2.3

Combine $3$ e $\frac{1}{(2 + x) y}$ .

$\frac{1}{y} d y = \frac{3}{(2 + x) y} y d x$

Etapa 2.4

Cancele o fator comum de $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.1

Fatore $y$ de $(2 + x) y$ .

$\frac{1}{y} d y = \frac{3}{y (2 + x)} y d x$

Etapa 2.4.2

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{y} d y = \frac{3}{y (2 + x)} y d x$

Etapa 2.4.3

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{y} d y = \frac{3}{2 + x} d x$

Etapa 3

Integre os dois lados.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{1}{y} d y = \int \frac{3}{2 + x} d x$

Etapa 3.2

A integral de $\frac{1}{y}$ com relação a $y$ é $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{3}{2 + x} d x$

Etapa 3.3

Integre o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1

Como $3$ é constante com relação a $x$ , mova $3$ para fora da integral.

$\ln (| y |) + C_{1} = 3 \int \frac{1}{2 + x} d x$

Etapa 3.3.2

Deixe $u = 2 + x$ . Depois, $d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.1

Deixe $u = 2 + x$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.1.1

Diferencie $2 + x$ .

$\frac{d}{d x} [2 + x]$

Etapa 3.3.2.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 + x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 3.3.2.1.3

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2$ em relação a $x$ é $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 3.3.2.1.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$0 + 1$

Etapa 3.3.2.1.5

Some $0$ e $1$ .

$1$

Etapa 3.3.2.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 3 \int \frac{1}{u} d u$

Etapa 3.3.3

A integral de $\frac{1}{u}$ com relação a $u$ é $\ln (| u |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 3 (\ln (| u |) + C_{2})$

Etapa 3.3.4

Simplifique.

$\ln (| y |) + C_{1} = 3 \ln (| u |) + C_{2}$

Etapa 3.3.5

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $2 + x$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 3 \ln (| 2 + x |) + C_{2}$

Etapa 3.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $C$ .

$\ln (| y |) = 3 \ln (| 2 + x |) + C$

Etapa 4

Resolva $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Mova todos os termos que contêm um logaritmo para o lado esquerdo da equação.

$\ln (| y |) - 3 \ln (| 2 + x |) = C$

Etapa 4.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1

Simplifique $\ln (| y |) - 3 \ln (| 2 + x |)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1.1

Simplifique $- 3 \ln (| 2 + x |)$ movendo $3$ para dentro do logaritmo.

$\ln (| y |) - \ln ({| 2 + x |}^{3}) = C$

Etapa 4.2.1.2

Use a propriedade dos logaritmos do quociente, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| y |}{{| 2 + x |}^{3}}) = C$

Etapa 4.3

Para resolver $y$ , reescreva a equação usando propriedades de logaritmos.

$e^{\ln (\frac{| y |}{{| 2 + x |}^{3}})} = e^{C}$

Etapa 4.4

Reescreva $\ln (\frac{| y |}{{| 2 + x |}^{3}}) = C$ na forma exponencial usando a definição de um logaritmo. Se $x$ e $b$ forem números reais positivos e $b \neq 1$ , então, $\log_{b} (x) = y$ será equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{C} = \frac{| y |}{{| 2 + x |}^{3}}$

Etapa 4.5

Resolva $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.5.1

Reescreva a equação como $\frac{| y |}{{| 2 + x |}^{3}} = e^{C}$ .

$\frac{| y |}{{| 2 + x |}^{3}} = e^{C}$

Etapa 4.5.2

Multiplique os dois lados por ${| 2 + x |}^{3}$ .

$\frac{| y |}{{| 2 + x |}^{3}} {| 2 + x |}^{3} = e^{C} {| 2 + x |}^{3}$

Etapa 4.5.3

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.5.3.1

Cancele o fator comum de ${| 2 + x |}^{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.5.3.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{| y |}{{| 2 + x |}^{3}} {| 2 + x |}^{3} = e^{C} {| 2 + x |}^{3}$

Etapa 4.5.3.1.2

Reescreva a expressão.

$| y | = e^{C} {| 2 + x |}^{3}$

Etapa 4.5.4

Resolva $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.5.4.1

Reordene os fatores em $e^{C} {| 2 + x |}^{3}$ .

$| y | = {| 2 + x |}^{3} e^{C}$

Etapa 4.5.4.2

Remova o termo de valor absoluto. Isso cria um $\pm$ no lado direito da equação, porque $| x | = \pm x$ .

$y = \pm {| 2 + x |}^{3} e^{C}$

Etapa 5

Agrupe os termos da constante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Simplifique a constante de integração.

$y = \pm {| 2 + x |}^{3} C$

Etapa 5.2

Combine constantes com o sinal de mais ou menos.

$y = C {| 2 + x |}^{3}$