Cálculo Exemplos

$\frac{d y}{d x} = (x + 1) (x + 2)$

Etapa 1

Reescreva a equação.

$d y = (x + 1) (x + 2) d x$

Etapa 2

Integre os dois lados.

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Etapa 2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int d y = \int (x + 1) (x + 2) d x$

Etapa 2.2

Aplique a regra da constante.

$y + C_{1} = \int (x + 1) (x + 2) d x$

Etapa 2.3

Integre o lado direito.

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Etapa 2.3.1

Simplifique.

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Etapa 2.3.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$y + C_{1} = \int x (x + 2) + 1 (x + 2) d x$

Etapa 2.3.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$y + C_{1} = \int x \cdot x + x \cdot 2 + 1 (x + 2) d x$

Etapa 2.3.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$y + C_{1} = \int x \cdot x + x \cdot 2 + 1 x + 1 \cdot 2 d x$

Etapa 2.3.1.4

Reordene $x$ e $2$ .

$y + C_{1} = \int x \cdot x + 2 \cdot x + 1 x + 1 \cdot 2 d x$

Etapa 2.3.1.5

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$y + C_{1} = \int x^{1} x + 2 x + 1 x + 1 \cdot 2 d x$

Etapa 2.3.1.6

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$y + C_{1} = \int x^{1} x^{1} + 2 x + 1 x + 1 \cdot 2 d x$

Etapa 2.3.1.7

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$y + C_{1} = \int x^{1 + 1} + 2 x + 1 x + 1 \cdot 2 d x$

Etapa 2.3.1.8

Some $1$ e $1$ .

$y + C_{1} = \int x^{2} + 2 x + 1 x + 1 \cdot 2 d x$

Etapa 2.3.1.9

Multiplique $x$ por $1$ .

$y + C_{1} = \int x^{2} + 2 x + x + 1 \cdot 2 d x$

Etapa 2.3.1.10

Multiplique $2$ por $1$ .

$y + C_{1} = \int x^{2} + 2 x + x + 2 d x$

Etapa 2.3.1.11

Some $2 x$ e $x$ .

$y + C_{1} = \int x^{2} + 3 x + 2 d x$

Etapa 2.3.2

Divida a integral única em várias integrais.

$y + C_{1} = \int x^{2} d x + \int 3 x d x + \int 2 d x$

Etapa 2.3.3

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{2} + \int 3 x d x + \int 2 d x$

Etapa 2.3.4

Como $3$ é constante com relação a $x$ , mova $3$ para fora da integral.

$y + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{2} + 3 \int x d x + \int 2 d x$

Etapa 2.3.5

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x$ com relação a $x$ é $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{2} + 3 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{3}) + \int 2 d x$

Etapa 2.3.6

Aplique a regra da constante.

$y + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{2} + 3 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{3}) + 2 x + C_{4}$

Etapa 2.3.7

Simplifique.

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Etapa 2.3.7.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $x^{2}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{2} + 3 (\frac{x^{2}}{2} + C_{3}) + 2 x + C_{4}$

Etapa 2.3.7.2

Simplifique.

$y + C_{1} = \frac{x^{3}}{3} + \frac{3 x^{2}}{2} + 2 x + C_{5}$

Etapa 2.3.7.3

Reordene os termos.

$y + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} + \frac{3}{2} x^{2} + 2 x + C_{5}$

Etapa 2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $K$ .

$y = \frac{1}{3} x^{3} + \frac{3}{2} x^{2} + 2 x + K$