Cálculo Exemplos

$\frac{d y}{d x} = 6 x y^{8}$

Etapa 1

Separe as variáveis.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Multiplique os dois lados por $\frac{1}{y^{8}}$ .

$\frac{1}{y^{8}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{8}} (6 x y^{8})$

Etapa 1.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{1}{y^{8}} \frac{d y}{d x} = 6 \frac{1}{y^{8}} (x y^{8})$

Etapa 1.2.2

Combine $6$ e $\frac{1}{y^{8}}$ .

$\frac{1}{y^{8}} \frac{d y}{d x} = \frac{6}{y^{8}} (x y^{8})$

Etapa 1.2.3

Cancele o fator comum de $y^{8}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.1

Fatore $y^{8}$ de $x y^{8}$ .

$\frac{1}{y^{8}} \frac{d y}{d x} = \frac{6}{y^{8}} (y^{8} x)$

Etapa 1.2.3.2

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{y^{8}} \frac{d y}{d x} = \frac{6}{y^{8}} (y^{8} x)$

Etapa 1.2.3.3

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{y^{8}} \frac{d y}{d x} = 6 x$

Etapa 1.3

Reescreva a equação.

$\frac{1}{y^{8}} d y = 6 x d x$

Etapa 2

Integre os dois lados.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{1}{y^{8}} d y = \int 6 x d x$

Etapa 2.2

Integre o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Aplique regras básicas de expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1.1

Mova $y^{8}$ para fora do denominador, elevando-o à $- 1$ potência.

$\int {(y^{8})}^{- 1} d y = \int 6 x d x$

Etapa 2.2.1.2

Multiplique os expoentes em ${(y^{8})}^{- 1}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int y^{8 \cdot - 1} d y = \int 6 x d x$

Etapa 2.2.1.2.2

Multiplique $8$ por $- 1$ .

$\int y^{- 8} d y = \int 6 x d x$

Etapa 2.2.2

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $y^{- 8}$ com relação a $y$ é $- \frac{1}{7} y^{- 7}$ .

$- \frac{1}{7} y^{- 7} + C_{1} = \int 6 x d x$

Etapa 2.2.3

Simplifique a resposta.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.3.1

Reescreva $- \frac{1}{7} y^{- 7} + C_{1}$ como $- \frac{1}{7} \cdot \frac{1}{y^{7}} + C_{1}$ .

$- \frac{1}{7} \cdot \frac{1}{y^{7}} + C_{1} = \int 6 x d x$

Etapa 2.2.3.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.3.2.1

Multiplique $\frac{1}{y^{7}}$ por $\frac{1}{7}$ .

$- \frac{1}{y^{7} \cdot 7} + C_{1} = \int 6 x d x$

Etapa 2.2.3.2.2

Mova $7$ para a esquerda de $y^{7}$ .

$- \frac{1}{7 y^{7}} + C_{1} = \int 6 x d x$

Etapa 2.3

Integre o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Como $6$ é constante com relação a $x$ , mova $6$ para fora da integral.

$- \frac{1}{7 y^{7}} + C_{1} = 6 \int x d x$

Etapa 2.3.2

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x$ com relação a $x$ é $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$- \frac{1}{7 y^{7}} + C_{1} = 6 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$

Etapa 2.3.3

Simplifique a resposta.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.3.1

Reescreva $6 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$ como $6 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{2}$ .

$- \frac{1}{7 y^{7}} + C_{1} = 6 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{2}$

Etapa 2.3.3.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.3.2.1

Combine $6$ e $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{7 y^{7}} + C_{1} = \frac{6}{2} x^{2} + C_{2}$

Etapa 2.3.3.2.2

Cancele o fator comum de $6$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.3.2.2.1

Fatore $2$ de $6$ .

$- \frac{1}{7 y^{7}} + C_{1} = \frac{2 \cdot 3}{2} x^{2} + C_{2}$

Etapa 2.3.3.2.2.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.3.2.2.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$- \frac{1}{7 y^{7}} + C_{1} = \frac{2 \cdot 3}{2 (1)} x^{2} + C_{2}$

Etapa 2.3.3.2.2.2.2

Cancele o fator comum.

$- \frac{1}{7 y^{7}} + C_{1} = \frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 1} x^{2} + C_{2}$

Etapa 2.3.3.2.2.2.3

Reescreva a expressão.

$- \frac{1}{7 y^{7}} + C_{1} = \frac{3}{1} x^{2} + C_{2}$

Etapa 2.3.3.2.2.2.4

Divida $3$ por $1$ .

$- \frac{1}{7 y^{7}} + C_{1} = 3 x^{2} + C_{2}$

Etapa 2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $K$ .

$- \frac{1}{7 y^{7}} = 3 x^{2} + K$

Etapa 3

Resolva $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Encontre o MMC dos termos na equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.1

Encontrar o MMC de uma lista de valores é o mesmo que encontrar o MMC dos denominadores desses valores.

$7 y^{7}, 1, 1$

Etapa 3.1.2

O MMC de um e qualquer expressão é a expressão.

$7 y^{7}$

Etapa 3.2

Multiplique cada termo em $- \frac{1}{7 y^{7}} = 3 x^{2} + K$ por $7 y^{7}$ para eliminar as frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1

Multiplique cada termo em $- \frac{1}{7 y^{7}} = 3 x^{2} + K$ por $7 y^{7}$ .

$- \frac{1}{7 y^{7}} (7 y^{7}) = 3 x^{2} (7 y^{7}) + K (7 y^{7})$

Etapa 3.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.1

Cancele o fator comum de $7 y^{7}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.1.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{1}{7 y^{7}}$ para o numerador.

$\frac{- 1}{7 y^{7}} (7 y^{7}) = 3 x^{2} (7 y^{7}) + K (7 y^{7})$

Etapa 3.2.2.1.2

Cancele o fator comum.

$\frac{- 1}{7 y^{7}} (7 y^{7}) = 3 x^{2} (7 y^{7}) + K (7 y^{7})$

Etapa 3.2.2.1.3

Reescreva a expressão.

$- 1 = 3 x^{2} (7 y^{7}) + K (7 y^{7})$

Etapa 3.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.3.1.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$- 1 = 3 \cdot 7 x^{2} y^{7} + K (7 y^{7})$

Etapa 3.2.3.1.2

Multiplique $3$ por $7$ .

$- 1 = 21 x^{2} y^{7} + K (7 y^{7})$

Etapa 3.2.3.1.3

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$- 1 = 21 x^{2} y^{7} + 7 K y^{7}$

Etapa 3.3

Resolva a equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1

Reescreva a equação como $21 x^{2} y^{7} + 7 K y^{7} = - 1$ .

$21 x^{2} y^{7} + 7 K y^{7} = - 1$

Etapa 3.3.2

Fatore $7 y^{7}$ de $21 x^{2} y^{7} + 7 K y^{7}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.1

Fatore $7 y^{7}$ de $21 x^{2} y^{7}$ .

$7 y^{7} (3 x^{2}) + 7 K y^{7} = - 1$

Etapa 3.3.2.2

Fatore $7 y^{7}$ de $7 K y^{7}$ .

$7 y^{7} (3 x^{2}) + 7 y^{7} K = - 1$

Etapa 3.3.2.3

Fatore $7 y^{7}$ de $7 y^{7} (3 x^{2}) + 7 y^{7} K$ .

$7 y^{7} (3 x^{2} + K) = - 1$

Etapa 3.3.3

Divida cada termo em $7 y^{7} (3 x^{2} + K) = - 1$ por $7 (3 x^{2} + K)$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.3.1

Divida cada termo em $7 y^{7} (3 x^{2} + K) = - 1$ por $7 (3 x^{2} + K)$ .

$\frac{7 y^{7} (3 x^{2} + K)}{7 (3 x^{2} + K)} = \frac{- 1}{7 (3 x^{2} + K)}$

Etapa 3.3.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.3.2.1

Cancele o fator comum de $7$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{7 y^{7} (3 x^{2} + K)}{7 (3 x^{2} + K)} = \frac{- 1}{7 (3 x^{2} + K)}$

Etapa 3.3.3.2.1.2

Reescreva a expressão.

$\frac{y^{7} (3 x^{2} + K)}{3 x^{2} + K} = \frac{- 1}{7 (3 x^{2} + K)}$

Etapa 3.3.3.2.2

Cancele o fator comum de $3 x^{2} + K$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.3.2.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y^{7} (3 x^{2} + K)}{3 x^{2} + K} = \frac{- 1}{7 (3 x^{2} + K)}$

Etapa 3.3.3.2.2.2

Divida $y^{7}$ por $1$ .

$y^{7} = \frac{- 1}{7 (3 x^{2} + K)}$

Etapa 3.3.3.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.3.3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y^{7} = - \frac{1}{7 (3 x^{2} + K)}$

Etapa 3.3.4

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$y = \sqrt[7]{- \frac{1}{7 (3 x^{2} + K)}}$

Etapa 3.3.5

Simplifique $\sqrt[7]{- \frac{1}{7 (3 x^{2} + K)}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.5.1

Reescreva $- \frac{1}{7 (3 x^{2} + K)}$ como ${({(- 1)}^{7})}^{7} \frac{1}{7 (3 x^{2} + K)}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.5.1.1

Reescreva $- 1$ como ${(- 1)}^{7}$ .

$y = \sqrt[7]{{(- 1)}^{7} \frac{1}{7 (3 x^{2} + K)}}$

Etapa 3.3.5.1.2

Reescreva $- 1$ como ${(- 1)}^{7}$ .

$y = \sqrt[7]{{({(- 1)}^{7})}^{7} \frac{1}{7 (3 x^{2} + K)}}$

Etapa 3.3.5.2

Elimine os termos abaixo do radical.

$y = {(- 1)}^{7} \sqrt[7]{\frac{1}{7 (3 x^{2} + K)}}$

Etapa 3.3.5.3

Eleve $- 1$ à potência de $7$ .

$y = - \sqrt[7]{\frac{1}{7 (3 x^{2} + K)}}$

Etapa 3.3.5.4

Reescreva $\sqrt[7]{\frac{1}{7 (3 x^{2} + K)}}$ como $\frac{\sqrt[7]{1}}{\sqrt[7]{7 (3 x^{2} + K)}}$ .

$y = - \frac{\sqrt[7]{1}}{\sqrt[7]{7 (3 x^{2} + K)}}$

Etapa 3.3.5.5

Qualquer raiz de $1$ é $1$ .

$y = - \frac{1}{\sqrt[7]{7 (3 x^{2} + K)}}$

Etapa 3.3.5.6

Multiplique $\frac{1}{\sqrt[7]{7 (3 x^{2} + K)}}$ por $\frac{{\sqrt[7]{7 (3 x^{2} + K)}}^{6}}{{\sqrt[7]{7 (3 x^{2} + K)}}^{6}}$ .

$y = - (\frac{1}{\sqrt[7]{7 (3 x^{2} + K)}} \cdot \frac{{\sqrt[7]{7 (3 x^{2} + K)}}^{6}}{{\sqrt[7]{7 (3 x^{2} + K)}}^{6}})$

Etapa 3.3.5.7

Combine e simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.5.7.1

Multiplique $\frac{1}{\sqrt[7]{7 (3 x^{2} + K)}}$ por $\frac{{\sqrt[7]{7 (3 x^{2} + K)}}^{6}}{{\sqrt[7]{7 (3 x^{2} + K)}}^{6}}$ .

$y = - \frac{{\sqrt[7]{7 (3 x^{2} + K)}}^{6}}{\sqrt[7]{7 (3 x^{2} + K)} {\sqrt[7]{7 (3 x^{2} + K)}}^{6}}$

Etapa 3.3.5.7.2

Eleve $\sqrt[7]{7 (3 x^{2} + K)}$ à potência de $1$ .

$y = - \frac{{\sqrt[7]{7 (3 x^{2} + K)}}^{6}}{{\sqrt[7]{7 (3 x^{2} + K)}}^{1} {\sqrt[7]{7 (3 x^{2} + K)}}^{6}}$

Etapa 3.3.5.7.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$y = - \frac{{\sqrt[7]{7 (3 x^{2} + K)}}^{6}}{{\sqrt[7]{7 (3 x^{2} + K)}}^{1 + 6}}$

Etapa 3.3.5.7.4

Some $1$ e $6$ .

$y = - \frac{{\sqrt[7]{7 (3 x^{2} + K)}}^{6}}{{\sqrt[7]{7 (3 x^{2} + K)}}^{7}}$

Etapa 3.3.5.7.5

Reescreva ${\sqrt[7]{7 (3 x^{2} + K)}}^{7}$ como $7 (3 x^{2} + K)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.5.7.5.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt[7]{7 (3 x^{2} + K)}$ como ${(7 (3 x^{2} + K))}^{\frac{1}{7}}$ .

$y = - \frac{{\sqrt[7]{7 (3 x^{2} + K)}}^{6}}{{({(7 (3 x^{2} + K))}^{\frac{1}{7}})}^{7}}$

Etapa 3.3.5.7.5.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = - \frac{{\sqrt[7]{7 (3 x^{2} + K)}}^{6}}{{(7 (3 x^{2} + K))}^{\frac{1}{7} \cdot 7}}$

Etapa 3.3.5.7.5.3

Combine $\frac{1}{7}$ e $7$ .

$y = - \frac{{\sqrt[7]{7 (3 x^{2} + K)}}^{6}}{{(7 (3 x^{2} + K))}^{\frac{7}{7}}}$

Etapa 3.3.5.7.5.4

Cancele o fator comum de $7$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.5.7.5.4.1

Cancele o fator comum.

$y = - \frac{{\sqrt[7]{7 (3 x^{2} + K)}}^{6}}{{(7 (3 x^{2} + K))}^{\frac{7}{7}}}$

Etapa 3.3.5.7.5.4.2

Reescreva a expressão.

$y = - \frac{{\sqrt[7]{7 (3 x^{2} + K)}}^{6}}{{(7 (3 x^{2} + K))}^{1}}$

Etapa 3.3.5.7.5.5

Simplifique.

$y = - \frac{{\sqrt[7]{7 (3 x^{2} + K)}}^{6}}{7 (3 x^{2} + K)}$

Etapa 3.3.5.8

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.5.8.1

Reescreva ${\sqrt[7]{7 (3 x^{2} + K)}}^{6}$ como $\sqrt[7]{{(7 (3 x^{2} + K))}^{6}}$ .

$y = - \frac{\sqrt[7]{{(7 (3 x^{2} + K))}^{6}}}{7 (3 x^{2} + K)}$

Etapa 3.3.5.8.2

Aplique a regra do produto a $7 (3 x^{2} + K)$ .

$y = - \frac{\sqrt[7]{7^{6} {(3 x^{2} + K)}^{6}}}{7 (3 x^{2} + K)}$

Etapa 3.3.5.8.3

Eleve $7$ à potência de $6$ .

$y = - \frac{\sqrt[7]{117649 {(3 x^{2} + K)}^{6}}}{7 (3 x^{2} + K)}$