Cálculo Exemplos

$\frac{d y}{d x} = \sqrt{x - y}$ , $(3, 1)$

Etapa 1

Presuma que $\frac{d y}{d x} = f (x, y)$ .

Etapa 2

Verifique se a função é contínua nas proximidades de $(3, 1)$ .

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Etapa 2.1

Substitua $(3, 1)$ valores em $\frac{d y}{d x} = \sqrt{x - y}$ .

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Etapa 2.1.1

Substitua $3$ por $x$ .

$\sqrt{3 - y}$

Etapa 2.1.2

Substitua $1$ por $y$ .

$\sqrt{3 - 1}$

Etapa 2.1.3

Subtraia $1$ de $3$ .

$\sqrt{2}$

Etapa 2.2

Como não existe um logaritmo com argumento negativo ou zero, nenhum radical par com radicando zero ou negativo e nenhuma fração com zero no denominador, a função é contínua em um intervalo aberto em torno do valor $x$ de $(3, 1)$ .

Contínuo

Etapa 3

Encontre a derivada parcial com relação a $y$ .

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Etapa 3.1

Determine a derivada parcial.

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{d}{d y} [\sqrt{x - y}]$

Etapa 3.2

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{x - y}$ como ${(x - y)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{d}{d y} [{(x - y)}^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 3.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ é $f' (g (y)) g' (y)$ , em que $f (y) = y^{\frac{1}{2}}$ e $g (y) = x - y$ .

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Etapa 3.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x - y$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d y} [x - y]$

Etapa 3.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d y} [x - y]$

Etapa 3.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x - y$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{1}{2} {(x - y)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d y} [x - y]$

Etapa 3.4

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{1}{2} {(x - y)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d y} [x - y]$

Etapa 3.5

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{1}{2} {(x - y)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d y} [x - y]$

Etapa 3.6

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{1}{2} {(x - y)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d y} [x - y]$

Etapa 3.7

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.7.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{1}{2} {(x - y)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d y} [x - y]$

Etapa 3.7.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{1}{2} {(x - y)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d y} [x - y]$

Etapa 3.8

Combine frações.

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Etapa 3.8.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{1}{2} {(x - y)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d y} [x - y]$

Etapa 3.8.2

Combine $\frac{1}{2}$ e ${(x - y)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{{(x - y)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d y} [x - y]$

Etapa 3.8.3

Mova ${(x - y)}^{- \frac{1}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{1}{2 {(x - y)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d y} [x - y]$

Etapa 3.9

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - y$ com relação a $y$ é $\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [- y]$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{1}{2 {(x - y)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [- y])$

Etapa 3.10

Como $x$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $x$ em relação a $y$ é $0$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{1}{2 {(x - y)}^{\frac{1}{2}}} (0 + \frac{d}{d y} [- y])$

Etapa 3.11

Some $0$ e $\frac{d}{d y} [- y]$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{1}{2 {(x - y)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d y} [- y]$

Etapa 3.12

Como $- 1$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $- y$ em relação a $y$ é $- \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{1}{2 {(x - y)}^{\frac{1}{2}}} (- \frac{d}{d y} [y])$

Etapa 3.13

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{1}{2 {(x - y)}^{\frac{1}{2}}} (- 1 \cdot 1)$

Etapa 3.14

Combine frações.

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Etapa 3.14.1

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{1}{2 {(x - y)}^{\frac{1}{2}}} \cdot - 1$

Etapa 3.14.2

Combine $\frac{1}{2 {(x - y)}^{\frac{1}{2}}}$ e $- 1$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{- 1}{2 {(x - y)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 3.14.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{\partial f}{\partial y} = - \frac{1}{2 {(x - y)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 4

Verifique se a derivada parcial com relação a $y$ é contínua nas proximidades de $(3, 1)$ .

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Etapa 4.1

Converta expoentes fracionários em radicais.

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Etapa 4.1.1

Aplique a regra $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ para reescrever a exponenciação como um radical.

$\frac{\partial f}{\partial y} = - \frac{1}{2 \sqrt{{(x - y)}^{1}}}$

Etapa 4.1.2

Qualquer número elevado a $1$ é a própria base.

$\frac{\partial f}{\partial y} = - \frac{1}{2 \sqrt{x - y}}$

Etapa 4.2

Substitua $(3, 1)$ valores em $\frac{\partial f}{\partial y} = - \frac{1}{2 \sqrt{x - y}}$ .

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Etapa 4.2.1

Aplique a regra $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ para reescrever a exponenciação como um radical.

$- \frac{1}{2 \sqrt{{(x - y)}^{1}}}$

Etapa 4.2.2

Qualquer número elevado a $1$ é a própria base.

$- \frac{1}{2 \sqrt{x - y}}$

Etapa 4.2.3

Substitua $3$ por $y$ .

$- \frac{1}{2 \sqrt{x - 3}}$

Etapa 4.3

Contínuo

Etapa 5

Tanto a função quanto sua derivada parcial com relação a $y$ são contínuas em um intervalo aberto em torno do valor $x$ de $(3, 1)$ .

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