Cálculo Exemplos

$\frac{d y}{d x} = \frac{8 e^{4 x}}{2 \cos (2 y)}$

Etapa 1

Separe as variáveis.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Multiplique os dois lados por $\cos (2 y)$ .

$\cos (2 y) \frac{d y}{d x} = \cos (2 y) \frac{8 e^{4 x}}{2 \cos (2 y)}$

Etapa 1.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Cancele o fator comum de $\cos (2 y)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1.1

Fatore $\cos (2 y)$ de $2 \cos (2 y)$ .

$\cos (2 y) \frac{d y}{d x} = \cos (2 y) \frac{8 e^{4 x}}{\cos (2 y) \cdot 2}$

Etapa 1.2.1.2

Cancele o fator comum.

$\cos (2 y) \frac{d y}{d x} = \cos (2 y) \frac{8 e^{4 x}}{\cos (2 y) \cdot 2}$

Etapa 1.2.1.3

Reescreva a expressão.

$\cos (2 y) \frac{d y}{d x} = \frac{8 e^{4 x}}{2}$

Etapa 1.2.2

Cancele o fator comum de $8$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.2.1

Fatore $2$ de $8 e^{4 x}$ .

$\cos (2 y) \frac{d y}{d x} = \frac{2 (4 e^{4 x})}{2}$

Etapa 1.2.2.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.2.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$\cos (2 y) \frac{d y}{d x} = \frac{2 (4 e^{4 x})}{2 (1)}$

Etapa 1.2.2.2.2

Cancele o fator comum.

$\cos (2 y) \frac{d y}{d x} = \frac{2 (4 e^{4 x})}{2 \cdot 1}$

Etapa 1.2.2.2.3

Reescreva a expressão.

$\cos (2 y) \frac{d y}{d x} = \frac{4 e^{4 x}}{1}$

Etapa 1.2.2.2.4

Divida $4 e^{4 x}$ por $1$ .

$\cos (2 y) \frac{d y}{d x} = 4 e^{4 x}$

Etapa 1.3

Reescreva a equação.

$\cos (2 y) d y = 4 e^{4 x} d x$

Etapa 2

Integre os dois lados.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int \cos (2 y) d y = \int 4 e^{4 x} d x$

Etapa 2.2

Integre o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Deixe $u_{1} = 2 y$ . Depois, $d u_{1} = 2 d y$ , então, $\frac{1}{2} d u_{1} = d y$ . Reescreva usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1.1

Deixe $u_{1} = 2 y$ . Encontre $\frac{d u_{1}}{d y}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1.1.1

Diferencie $2 y$ .

$\frac{d}{d y} [2 y]$

Etapa 2.2.1.1.2

Como $2$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $2 y$ em relação a $y$ é $2 \frac{d}{d y} [y]$ .

$2 \frac{d}{d y} [y]$

Etapa 2.2.1.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Etapa 2.2.1.1.4

Multiplique $2$ por $1$ .

$2$

Etapa 2.2.1.2

Reescreva o problema usando $u_{1}$ e $d u_{1}$ .

$\int \cos (u_{1}) \frac{1}{2} d u_{1} = \int 4 e^{4 x} d x$

Etapa 2.2.2

Combine $\cos (u_{1})$ e $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{\cos (u_{1})}{2} d u_{1} = \int 4 e^{4 x} d x$

Etapa 2.2.3

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $u_{1}$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$\frac{1}{2} \int \cos (u_{1}) d u_{1} = \int 4 e^{4 x} d x$

Etapa 2.2.4

A integral de $\cos (u_{1})$ com relação a $u_{1}$ é $\sin (u_{1})$ .

$\frac{1}{2} (\sin (u_{1}) + C_{1}) = \int 4 e^{4 x} d x$

Etapa 2.2.5

Simplifique.

$\frac{1}{2} \sin (u_{1}) + C_{1} = \int 4 e^{4 x} d x$

Etapa 2.2.6

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $2 y$ .

$\frac{1}{2} \sin (2 y) + C_{1} = \int 4 e^{4 x} d x$

Etapa 2.3

Integre o lado direito.

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Etapa 2.3.1

Como $4$ é constante com relação a $x$ , mova $4$ para fora da integral.

$\frac{1}{2} \sin (2 y) + C_{1} = 4 \int e^{4 x} d x$

Etapa 2.3.2

Deixe $u_{2} = 4 x$ . Depois, $d u_{2} = 4 d x$ , então, $\frac{1}{4} d u_{2} = d x$ . Reescreva usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.2.1

Deixe $u_{2} = 4 x$ . Encontre $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.2.1.1

Diferencie $4 x$ .

$\frac{d}{d x} [4 x]$

Etapa 2.3.2.1.2

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4 x$ em relação a $x$ é $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.3.2.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$4 \cdot 1$

Etapa 2.3.2.1.4

Multiplique $4$ por $1$ .

$4$

Etapa 2.3.2.2

Reescreva o problema usando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$\frac{1}{2} \sin (2 y) + C_{1} = 4 \int e^{u_{2}} \frac{1}{4} d u_{2}$

Etapa 2.3.3

Combine $e^{u_{2}}$ e $\frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{2} \sin (2 y) + C_{1} = 4 \int \frac{e^{u_{2}}}{4} d u_{2}$

Etapa 2.3.4

Como $\frac{1}{4}$ é constante com relação a $u_{2}$ , mova $\frac{1}{4}$ para fora da integral.

$\frac{1}{2} \sin (2 y) + C_{1} = 4 (\frac{1}{4} \int e^{u_{2}} d u_{2})$

Etapa 2.3.5

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.5.1

Combine $\frac{1}{4}$ e $4$ .

$\frac{1}{2} \sin (2 y) + C_{1} = \frac{4}{4} \int e^{u_{2}} d u_{2}$

Etapa 2.3.5.2

Cancele o fator comum de $4$ .

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Etapa 2.3.5.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{2} \sin (2 y) + C_{1} = \frac{4}{4} \int e^{u_{2}} d u_{2}$

Etapa 2.3.5.2.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{2} \sin (2 y) + C_{1} = 1 \int e^{u_{2}} d u_{2}$

Etapa 2.3.5.3

Multiplique $\int e^{u_{2}} d u_{2}$ por $1$ .

$\frac{1}{2} \sin (2 y) + C_{1} = \int e^{u_{2}} d u_{2}$

Etapa 2.3.6

A integral de $e^{u_{2}}$ com relação a $u_{2}$ é $e^{u_{2}}$ .

$\frac{1}{2} \sin (2 y) + C_{1} = e^{u_{2}} + C_{2}$

Etapa 2.3.7

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $4 x$ .

$\frac{1}{2} \sin (2 y) + C_{1} = e^{4 x} + C_{2}$

Etapa 2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $K$ .

$\frac{1}{2} \sin (2 y) = e^{4 x} + K$

Etapa 3

Resolva $y$ .

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Etapa 3.1

Multiplique os dois lados da equação por $2$ .

$2 (\frac{1}{2} \sin (2 y)) = 2 (e^{4 x} + K)$

Etapa 3.2

Simplifique os dois lados da equação.

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Etapa 3.2.1

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1.1

Simplifique $2 (\frac{1}{2} \sin (2 y))$ .

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Etapa 3.2.1.1.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $\sin (2 y)$ .

$2 \frac{\sin (2 y)}{2} = 2 (e^{4 x} + K)$

Etapa 3.2.1.1.2

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 3.2.1.1.2.1

Cancele o fator comum.

$2 \frac{\sin (2 y)}{2} = 2 (e^{4 x} + K)$

Etapa 3.2.1.1.2.2

Reescreva a expressão.

$\sin (2 y) = 2 (e^{4 x} + K)$

Etapa 3.2.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.2.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\sin (2 y) = 2 e^{4 x} + 2 K$

Etapa 3.3

Reordene $2 e^{4 x}$ e $2 K$ .

$\sin (2 y) = 2 K + 2 e^{4 x}$

Etapa 3.4

Obtenha o seno inverso dos dois lados da equação para extrair $y$ de dentro do seno.

$2 y = \arcsin (2 K + 2 e^{4 x})$

Etapa 3.5

Divida cada termo em $2 y = \arcsin (2 K + 2 e^{4 x})$ por $2$ e simplifique.

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Etapa 3.5.1

Divida cada termo em $2 y = \arcsin (2 K + 2 e^{4 x})$ por $2$ .

$\frac{2 y}{2} = \frac{\arcsin (2 K + 2 e^{4 x})}{2}$

Etapa 3.5.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 y}{2} = \frac{\arcsin (2 K + 2 e^{4 x})}{2}$

Etapa 3.5.2.1.2

Divida $y$ por $1$ .

$y = \frac{\arcsin (2 K + 2 e^{4 x})}{2}$

Etapa 4

Simplifique a constante de integração.

$y = \frac{\arcsin (K + 2 e^{4 x})}{2}$