Cálculo Exemplos

$y = 2 e^{3 x} - 5 e^{4 x}$ , $\frac{d^{2} y}{d x^{2}} - 7 \frac{d y}{d x} + 12 y = 0$

Etapa 1

Reescreva a equação diferencial.

$y'' - 7 y' + 12 y = 0$

Etapa 2

Encontre $y'$ .

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Etapa 2.1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (2 e^{3 x} - 5 e^{4 x})$

Etapa 2.2

A derivada de $y$ em relação a $x$ é $y'$ .

$y'$

Etapa 2.3

Diferencie o lado direito da equação.

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Etapa 2.3.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 e^{3 x} - 5 e^{4 x}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [2 e^{3 x}] + \frac{d}{d x} [- 5 e^{4 x}]$ .

$\frac{d}{d x} [2 e^{3 x}] + \frac{d}{d x} [- 5 e^{4 x}]$

Etapa 2.3.2

Avalie $\frac{d}{d x} [2 e^{3 x}]$ .

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Etapa 2.3.2.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 e^{3 x}$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [e^{3 x}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [e^{3 x}] + \frac{d}{d x} [- 5 e^{4 x}]$

Etapa 2.3.2.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = 3 x$ .

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Etapa 2.3.2.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $3 x$ .

$2 (\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [3 x]) + \frac{d}{d x} [- 5 e^{4 x}]$

Etapa 2.3.2.2.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ é $a^{u_{1}} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$2 (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [3 x]) + \frac{d}{d x} [- 5 e^{4 x}]$

Etapa 2.3.2.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $3 x$ .

$2 (e^{3 x} \frac{d}{d x} [3 x]) + \frac{d}{d x} [- 5 e^{4 x}]$

Etapa 2.3.2.3

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 (e^{3 x} (3 \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [- 5 e^{4 x}]$

Etapa 2.3.2.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$2 (e^{3 x} (3 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [- 5 e^{4 x}]$

Etapa 2.3.2.5

Multiplique $3$ por $1$ .

$2 (e^{3 x} \cdot 3) + \frac{d}{d x} [- 5 e^{4 x}]$

Etapa 2.3.2.6

Mova $3$ para a esquerda de $e^{3 x}$ .

$2 (3 \cdot e^{3 x}) + \frac{d}{d x} [- 5 e^{4 x}]$

Etapa 2.3.2.7

Multiplique $3$ por $2$ .

$6 e^{3 x} + \frac{d}{d x} [- 5 e^{4 x}]$

Etapa 2.3.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- 5 e^{4 x}]$ .

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Etapa 2.3.3.1

Como $- 5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 5 e^{4 x}$ em relação a $x$ é $- 5 \frac{d}{d x} [e^{4 x}]$ .

$6 e^{3 x} - 5 \frac{d}{d x} [e^{4 x}]$

Etapa 2.3.3.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = 4 x$ .

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Etapa 2.3.3.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $4 x$ .

$6 e^{3 x} - 5 (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [4 x])$

Etapa 2.3.3.2.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ é $a^{u_{2}} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$6 e^{3 x} - 5 (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [4 x])$

Etapa 2.3.3.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $4 x$ .

$6 e^{3 x} - 5 (e^{4 x} \frac{d}{d x} [4 x])$

Etapa 2.3.3.3

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4 x$ em relação a $x$ é $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 e^{3 x} - 5 (e^{4 x} (4 \frac{d}{d x} [x]))$

Etapa 2.3.3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$6 e^{3 x} - 5 (e^{4 x} (4 \cdot 1))$

Etapa 2.3.3.5

Multiplique $4$ por $1$ .

$6 e^{3 x} - 5 (e^{4 x} \cdot 4)$

Etapa 2.3.3.6

Mova $4$ para a esquerda de $e^{4 x}$ .

$6 e^{3 x} - 5 (4 \cdot e^{4 x})$

Etapa 2.3.3.7

Multiplique $4$ por $- 5$ .

$6 e^{3 x} - 20 e^{4 x}$

Etapa 2.4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$y' = 6 e^{3 x} - 20 e^{4 x}$

Etapa 3

Encontre $y''$ .

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Etapa 3.1

Determine a derivada.

$y'' = \frac{d}{d x} [6 e^{3 x} - 20 e^{4 x}]$

Etapa 3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $6 e^{3 x} - 20 e^{4 x}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [6 e^{3 x}] + \frac{d}{d x} [- 20 e^{4 x}]$ .

$y'' = \frac{d}{d x} [6 e^{3 x}] + \frac{d}{d x} [- 20 e^{4 x}]$

Etapa 3.3

Avalie $\frac{d}{d x} [6 e^{3 x}]$ .

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Etapa 3.3.1

Como $6$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $6 e^{3 x}$ em relação a $x$ é $6 \frac{d}{d x} [e^{3 x}]$ .

$y'' = 6 \frac{d}{d x} [e^{3 x}] + \frac{d}{d x} [- 20 e^{4 x}]$

Etapa 3.3.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = 3 x$ .

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Etapa 3.3.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $3 x$ .

$y'' = 6 (\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [3 x]) + \frac{d}{d x} [- 20 e^{4 x}]$

Etapa 3.3.2.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ é $a^{u_{1}} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$y'' = 6 (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [3 x]) + \frac{d}{d x} [- 20 e^{4 x}]$

Etapa 3.3.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $3 x$ .

$y'' = 6 (e^{3 x} \frac{d}{d x} [3 x]) + \frac{d}{d x} [- 20 e^{4 x}]$

Etapa 3.3.3

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$y'' = 6 (e^{3 x} (3 \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [- 20 e^{4 x}]$

Etapa 3.3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$y'' = 6 (e^{3 x} (3 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [- 20 e^{4 x}]$

Etapa 3.3.5

Multiplique $3$ por $1$ .

$y'' = 6 (e^{3 x} \cdot 3) + \frac{d}{d x} [- 20 e^{4 x}]$

Etapa 3.3.6

Mova $3$ para a esquerda de $e^{3 x}$ .

$y'' = 6 (3 e^{3 x}) + \frac{d}{d x} [- 20 e^{4 x}]$

Etapa 3.3.7

Multiplique $3$ por $6$ .

$y'' = 18 e^{3 x} + \frac{d}{d x} [- 20 e^{4 x}]$

Etapa 3.4

Avalie $\frac{d}{d x} [- 20 e^{4 x}]$ .

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Etapa 3.4.1

Como $- 20$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 20 e^{4 x}$ em relação a $x$ é $- 20 \frac{d}{d x} [e^{4 x}]$ .

$y'' = 18 e^{3 x} - 20 \frac{d}{d x} [e^{4 x}]$

Etapa 3.4.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = 4 x$ .

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Etapa 3.4.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $4 x$ .

$y'' = 18 e^{3 x} - 20 (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [4 x])$

Etapa 3.4.2.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ é $a^{u_{2}} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$y'' = 18 e^{3 x} - 20 (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [4 x])$

Etapa 3.4.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $4 x$ .

$y'' = 18 e^{3 x} - 20 (e^{4 x} \frac{d}{d x} [4 x])$

Etapa 3.4.3

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4 x$ em relação a $x$ é $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$y'' = 18 e^{3 x} - 20 (e^{4 x} (4 \frac{d}{d x} [x]))$

Etapa 3.4.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$y'' = 18 e^{3 x} - 20 (e^{4 x} (4 \cdot 1))$

Etapa 3.4.5

Multiplique $4$ por $1$ .

$y'' = 18 e^{3 x} - 20 (e^{4 x} \cdot 4)$

Etapa 3.4.6

Mova $4$ para a esquerda de $e^{4 x}$ .

$y'' = 18 e^{3 x} - 20 (4 e^{4 x})$

Etapa 3.4.7

Multiplique $4$ por $- 20$ .

$y'' = 18 e^{3 x} - 80 e^{4 x}$

Etapa 4

Substitua na equação diferencial determinada.

$18 e^{3 x} - 80 e^{4 x} - 7 (6 e^{3 x} - 20 e^{4 x}) + 12 (2 e^{3 x} - 5 e^{4 x}) = 0$

Etapa 5

Simplifique.

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Etapa 5.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$18 e^{3 x} - 80 e^{4 x} - 7 (6 e^{3 x}) - 7 (- 20 e^{4 x}) + 12 (2 e^{3 x} - 5 e^{4 x}) = 0$

Etapa 5.1.2

Multiplique $6$ por $- 7$ .

$18 e^{3 x} - 80 e^{4 x} - 42 e^{3 x} - 7 (- 20 e^{4 x}) + 12 (2 e^{3 x} - 5 e^{4 x}) = 0$

Etapa 5.1.3

Multiplique $- 20$ por $- 7$ .

$18 e^{3 x} - 80 e^{4 x} - 42 e^{3 x} + 140 e^{4 x} + 12 (2 e^{3 x} - 5 e^{4 x}) = 0$

Etapa 5.1.4

Aplique a propriedade distributiva.

$18 e^{3 x} - 80 e^{4 x} - 42 e^{3 x} + 140 e^{4 x} + 12 (2 e^{3 x}) + 12 (- 5 e^{4 x}) = 0$

Etapa 5.1.5

Multiplique $2$ por $12$ .

$18 e^{3 x} - 80 e^{4 x} - 42 e^{3 x} + 140 e^{4 x} + 24 e^{3 x} + 12 (- 5 e^{4 x}) = 0$

Etapa 5.1.6

Multiplique $- 5$ por $12$ .

$18 e^{3 x} - 80 e^{4 x} - 42 e^{3 x} + 140 e^{4 x} + 24 e^{3 x} - 60 e^{4 x} = 0$

Etapa 5.2

Subtraia $42 e^{3 x}$ de $18 e^{3 x}$ .

$- 24 e^{3 x} - 80 e^{4 x} + 140 e^{4 x} + 24 e^{3 x} - 60 e^{4 x} = 0$

Etapa 5.3

Combine os termos opostos em $- 24 e^{3 x} - 80 e^{4 x} + 140 e^{4 x} + 24 e^{3 x} - 60 e^{4 x}$ .

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Etapa 5.3.1

Some $- 24 e^{3 x}$ e $24 e^{3 x}$ .

$0 - 80 e^{4 x} + 140 e^{4 x} - 60 e^{4 x} = 0$

Etapa 5.3.2

Subtraia $80 e^{4 x}$ de $0$ .

$- 80 e^{4 x} + 140 e^{4 x} - 60 e^{4 x} = 0$

Etapa 5.4

Some $- 80 e^{4 x}$ e $140 e^{4 x}$ .

$60 e^{4 x} - 60 e^{4 x} = 0$

Etapa 5.5

Subtraia $60 e^{4 x}$ de $60 e^{4 x}$ .

$0 = 0$

Etapa 6

A solução determinada satisfaz a equação diferencial fornecida.

$y = 2 e^{3 x} - 5 e^{4 x}$ é uma solução para $y'' - 7 y' + 12 y = 0$