Cálculo Exemplos

$t \frac{d y}{d x} = 6 t e^{2 t} + x (2 t - 1)$

Etapa 1

Reescreva a equação.

$t d y = (6 t e^{2 t} + x (2 t - 1)) d x$

Etapa 2

Integre os dois lados.

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Etapa 2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int t d y = \int 6 t e^{2 t} + x (2 t - 1) d x$

Etapa 2.2

Aplique a regra da constante.

$t y + C_{1} = \int 6 t e^{2 t} + x (2 t - 1) d x$

Etapa 2.3

Integre o lado direito.

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Etapa 2.3.1

Divida a integral única em várias integrais.

$t y + C_{1} = \int 6 t e^{2 t} d x + \int x (2 t - 1) d x$

Etapa 2.3.2

Aplique a regra da constante.

$t y + C_{1} = 6 t e^{2 t} x + C_{2} + \int x (2 t - 1) d x$

Etapa 2.3.3

Como $2 t - 1$ é constante com relação a $x$ , mova $2 t - 1$ para fora da integral.

$t y + C_{1} = 6 t e^{2 t} x + C_{2} + (2 t - 1) \int x d x$

Etapa 2.3.4

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x$ com relação a $x$ é $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$t y + C_{1} = 6 t e^{2 t} x + C_{2} + (2 t - 1) (\frac{1}{2} x^{2} + C_{3})$

Etapa 2.3.5

Simplifique.

$t y + C_{1} = 6 t e^{2 t} x + (2 t - 1) \frac{1}{2} x^{2} + C_{4}$

Etapa 2.3.6

Reordene os termos.

$t y + C_{1} = 6 e^{2 t} t x + \frac{1}{2} x^{2} (2 t - 1) + C_{4}$

Etapa 2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $K$ .

$t y = 6 e^{2 t} t x + \frac{1}{2} x^{2} (2 t - 1) + K$

Etapa 3

Divida cada termo em $t y = 6 e^{2 t} t x + \frac{1}{2} \cdot (x^{2} (2 t - 1)) + K$ por $t$ e simplifique.

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Etapa 3.1

Divida cada termo em $t y = 6 e^{2 t} t x + \frac{1}{2} \cdot (x^{2} (2 t - 1)) + K$ por $t$ .

$\frac{t y}{t} = \frac{6 e^{2 t} t x}{t} + \frac{\frac{1}{2} \cdot (x^{2} (2 t - 1))}{t} + \frac{K}{t}$

Etapa 3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.2.1

Cancele o fator comum de $t$ .

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Etapa 3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{t y}{t} = \frac{6 e^{2 t} t x}{t} + \frac{\frac{1}{2} \cdot (x^{2} (2 t - 1))}{t} + \frac{K}{t}$

Etapa 3.2.1.2

Divida $y$ por $1$ .

$y = \frac{6 e^{2 t} t x}{t} + \frac{\frac{1}{2} \cdot (x^{2} (2 t - 1))}{t} + \frac{K}{t}$

Etapa 3.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.3.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y = \frac{6 e^{2 t} t x + \frac{1}{2} \cdot (x^{2} (2 t - 1)) + K}{t}$

Etapa 3.3.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.3.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$y = \frac{6 e^{2 t} t x + \frac{1}{2} \cdot (x^{2} (2 t) + x^{2} \cdot - 1) + K}{t}$

Etapa 3.3.2.2

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$y = \frac{6 e^{2 t} t x + \frac{1}{2} \cdot (2 x^{2} t + x^{2} \cdot - 1) + K}{t}$

Etapa 3.3.2.3

Mova $- 1$ para a esquerda de $x^{2}$ .

$y = \frac{6 e^{2 t} t x + \frac{1}{2} \cdot (2 x^{2} t - 1 \cdot x^{2}) + K}{t}$

Etapa 3.3.2.4

Reescreva $- 1 x^{2}$ como $- x^{2}$ .

$y = \frac{6 e^{2 t} t x + \frac{1}{2} \cdot (2 x^{2} t - x^{2}) + K}{t}$

Etapa 3.3.2.5

Aplique a propriedade distributiva.

$y = \frac{6 e^{2 t} t x + \frac{1}{2} (2 x^{2} t) + \frac{1}{2} (- x^{2}) + K}{t}$

Etapa 3.3.2.6

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 3.3.2.6.1

Fatore $2$ de $2 x^{2} t$ .

$y = \frac{6 e^{2 t} t x + \frac{1}{2} (2 (x^{2} t)) + \frac{1}{2} (- x^{2}) + K}{t}$

Etapa 3.3.2.6.2

Cancele o fator comum.

$y = \frac{6 e^{2 t} t x + \frac{1}{2} (2 (x^{2} t)) + \frac{1}{2} (- x^{2}) + K}{t}$

Etapa 3.3.2.6.3

Reescreva a expressão.

$y = \frac{6 e^{2 t} t x + x^{2} t + \frac{1}{2} (- x^{2}) + K}{t}$

Etapa 3.3.2.7

Combine $\frac{1}{2}$ e $x^{2}$ .

$y = \frac{6 e^{2 t} t x + x^{2} t - \frac{x^{2}}{2} + K}{t}$

Etapa 3.3.2.8

Combine $x^{2} t$ e $- \frac{x^{2}}{2}$ usando um denominador comum.

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Etapa 3.3.2.8.1

Reordene $x^{2}$ e $t$ .

$y = \frac{6 e^{2 t} t x + t x^{2} - \frac{x^{2}}{2} + K}{t}$

Etapa 3.3.2.8.2

Para escrever $t x^{2}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{6 e^{2 t} t x + t x^{2} \cdot \frac{2}{2} - \frac{x^{2}}{2} + K}{t}$

Etapa 3.3.2.8.3

Combine $t x^{2}$ e $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{6 e^{2 t} t x + \frac{t x^{2} \cdot 2}{2} - \frac{x^{2}}{2} + K}{t}$

Etapa 3.3.2.8.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y = \frac{6 e^{2 t} t x + \frac{t x^{2} \cdot 2 - x^{2}}{2} + K}{t}$

Etapa 3.3.2.9

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.3.2.9.1

Fatore $x^{2}$ de $t x^{2} \cdot 2 - x^{2}$ .

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Etapa 3.3.2.9.1.1

Fatore $x^{2}$ de $t x^{2} \cdot 2$ .

$y = \frac{6 e^{2 t} t x + \frac{x^{2} (t \cdot 2) - x^{2}}{2} + K}{t}$

Etapa 3.3.2.9.1.2

Fatore $x^{2}$ de $- x^{2}$ .

$y = \frac{6 e^{2 t} t x + \frac{x^{2} (t \cdot 2) + x^{2} \cdot - 1}{2} + K}{t}$

Etapa 3.3.2.9.1.3

Fatore $x^{2}$ de $x^{2} (t \cdot 2) + x^{2} \cdot - 1$ .

$y = \frac{6 e^{2 t} t x + \frac{x^{2} (t \cdot 2 - 1)}{2} + K}{t}$

Etapa 3.3.2.9.2

Mova $2$ para a esquerda de $t$ .

$y = \frac{6 e^{2 t} t x + \frac{x^{2} (2 t - 1)}{2} + K}{t}$

Etapa 3.3.3

Para escrever $6 e^{2 t} t x$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{6 e^{2 t} t x \cdot \frac{2}{2} + \frac{x^{2} (2 t - 1)}{2} + K}{t}$

Etapa 3.3.4

Simplifique os termos.

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Etapa 3.3.4.1

Combine $6 e^{2 t} t x$ e $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{\frac{6 e^{2 t} t x \cdot 2}{2} + \frac{x^{2} (2 t - 1)}{2} + K}{t}$

Etapa 3.3.4.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y = \frac{\frac{6 e^{2 t} t x \cdot 2 + x^{2} (2 t - 1)}{2} + K}{t}$

Etapa 3.3.5

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.3.5.1

Fatore $x$ de $6 e^{2 t} t x \cdot 2 + x^{2} (2 t - 1)$ .

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Etapa 3.3.5.1.1

Fatore $x$ de $6 e^{2 t} t x \cdot 2$ .

$y = \frac{\frac{x (6 e^{2 t} t \cdot 2) + x^{2} (2 t - 1)}{2} + K}{t}$

Etapa 3.3.5.1.2

Fatore $x$ de $x^{2} (2 t - 1)$ .

$y = \frac{\frac{x (6 e^{2 t} t \cdot 2) + x (x (2 t - 1))}{2} + K}{t}$

Etapa 3.3.5.1.3

Fatore $x$ de $x (6 e^{2 t} t \cdot 2) + x (x (2 t - 1))$ .

$y = \frac{\frac{x (6 e^{2 t} t \cdot 2 + x (2 t - 1))}{2} + K}{t}$

Etapa 3.3.5.2

Multiplique $2$ por $6$ .

$y = \frac{\frac{x (12 e^{2 t} t + x (2 t - 1))}{2} + K}{t}$

Etapa 3.3.5.3

Aplique a propriedade distributiva.

$y = \frac{\frac{x (12 e^{2 t} t + x (2 t) + x \cdot - 1)}{2} + K}{t}$

Etapa 3.3.5.4

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$y = \frac{\frac{x (12 e^{2 t} t + 2 x t + x \cdot - 1)}{2} + K}{t}$

Etapa 3.3.5.5

Mova $- 1$ para a esquerda de $x$ .

$y = \frac{\frac{x (12 e^{2 t} t + 2 x t - 1 \cdot x)}{2} + K}{t}$

Etapa 3.3.5.6

Simplifique cada termo.

$y = \frac{\frac{x (12 e^{2 t} t + 2 x t - x)}{2} + K}{t}$

Etapa 3.3.6

Para escrever $K$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{\frac{x (12 e^{2 t} t + 2 x t - x)}{2} + K \cdot \frac{2}{2}}{t}$

Etapa 3.3.7

Simplifique os termos.

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Etapa 3.3.7.1

Combine $K$ e $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{\frac{x (12 e^{2 t} t + 2 x t - x)}{2} + \frac{K \cdot 2}{2}}{t}$

Etapa 3.3.7.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y = \frac{\frac{x (12 e^{2 t} t + 2 x t - x) + K \cdot 2}{2}}{t}$

Etapa 3.3.8

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.3.8.1

Aplique a propriedade distributiva.

$y = \frac{\frac{x (12 e^{2 t} t) + x (2 x t) + x (- x) + K \cdot 2}{2}}{t}$

Etapa 3.3.8.2

Simplifique.

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Etapa 3.3.8.2.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$y = \frac{\frac{12 x e^{2 t} t + x (2 x t) + x (- x) + K \cdot 2}{2}}{t}$

Etapa 3.3.8.2.2

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$y = \frac{\frac{12 x e^{2 t} t + 2 x (x t) + x (- x) + K \cdot 2}{2}}{t}$

Etapa 3.3.8.2.3

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$y = \frac{\frac{12 x e^{2 t} t + 2 x (x t) - x \cdot x + K \cdot 2}{2}}{t}$

Etapa 3.3.8.3

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.3.8.3.1

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 3.3.8.3.1.1

Mova $x$ .

$y = \frac{\frac{12 x e^{2 t} t + 2 (x \cdot x) t - x \cdot x + K \cdot 2}{2}}{t}$

Etapa 3.3.8.3.1.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$y = \frac{\frac{12 x e^{2 t} t + 2 x^{2} t - x \cdot x + K \cdot 2}{2}}{t}$

Etapa 3.3.8.3.2

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 3.3.8.3.2.1

Mova $x$ .

$y = \frac{\frac{12 x e^{2 t} t + 2 x^{2} t - (x \cdot x) + K \cdot 2}{2}}{t}$

Etapa 3.3.8.3.2.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$y = \frac{\frac{12 x e^{2 t} t + 2 x^{2} t - x^{2} + K \cdot 2}{2}}{t}$

Etapa 3.3.8.4

Mova $2$ para a esquerda de $K$ .

$y = \frac{\frac{12 x e^{2 t} t + 2 x^{2} t - x^{2} + 2 K}{2}}{t}$

Etapa 3.3.9

Reordene os fatores em $\frac{12 x e^{2 t} t + 2 x^{2} t - x^{2} + 2 K}{2}$ .

$y = \frac{\frac{12 x t e^{2 t} + 2 x^{2} t - x^{2} + 2 K}{2}}{t}$

Etapa 3.3.10

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$y = \frac{12 x t e^{2 t} + 2 x^{2} t - x^{2} + 2 K}{2} \cdot \frac{1}{t}$

Etapa 3.3.11

Multiplique $\frac{12 x t e^{2 t} + 2 x^{2} t - x^{2} + 2 K}{2}$ por $\frac{1}{t}$ .

$y = \frac{12 x t e^{2 t} + 2 x^{2} t - x^{2} + 2 K}{2 t}$

Etapa 4

Simplifique a constante de integração.

$y = \frac{12 x t e^{2 t} + 2 x^{2} t - x^{2} + K}{2 t}$