Cálculo Exemplos

$3 y (x^{2} - 1) d x + (x^{3} + 8 y - 3 x) d y = 0$

Etapa 1

Encontre $\frac{\partial M}{\partial y}$ em $M (x, y) = 3 y (x^{2} - 1)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Diferencie $M$ em relação a $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [3 y (x^{2} - 1)]$

Etapa 1.2

Como $3 (x^{2} - 1)$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $3 y (x^{2} - 1)$ em relação a $y$ é $3 (x^{2} - 1) \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 (x^{2} - 1) \frac{d}{d y} [y]$

Etapa 1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 (x^{2} - 1) \cdot 1$

Etapa 1.4

Multiplique $3$ por $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 (x^{2} - 1)$

Etapa 1.5

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 x^{2} + 3 \cdot - 1$

Etapa 1.5.2

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 x^{2} - 3$

Etapa 2

Encontre $\frac{\partial N}{\partial x}$ em $N (x, y) = x^{3} + 8 y - 3 x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Diferencie $N$ em relação a $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x^{3} + 8 y - 3 x]$

Etapa 2.2

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{3} + 8 y - 3 x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [8 y] + \frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [8 y] + \frac{d}{d x} [- 3 x]$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 x^{2} + \frac{d}{d x} [8 y] + \frac{d}{d x} [- 3 x]$

Etapa 2.2.3

Como $8 y$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $8 y$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 x^{2} + 0 + \frac{d}{d x} [- 3 x]$

Etapa 2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Como $- 3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 3 x$ em relação a $x$ é $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 x^{2} + 0 - 3 \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 x^{2} + 0 - 3 \cdot 1$

Etapa 2.3.3

Multiplique $- 3$ por $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 x^{2} + 0 - 3$

Etapa 2.4

Some $3 x^{2}$ e $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 x^{2} - 3$

Etapa 3

Verifique se $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Substitua $3 x^{2} - 3$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ e $3 x^{2} - 3$ por $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$3 x^{2} - 3 = 3 x^{2} - 3$

Etapa 3.2

Como os dois lados demonstraram ser equivalentes, a equação é uma identidade.

$3 x^{2} - 3 = 3 x^{2} - 3$ é uma identidade.

Etapa 4

A integral de $f (x, y)$ é $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int 3 y (x^{2} - 1) d x$

Etapa 5

Integre $M (x, y) = 3 y (x^{2} - 1)$ para encontrar $f (x, y)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Como $3 y$ é constante com relação a $x$ , mova $3 y$ para fora da integral.

$f (x, y) = 3 y \int x^{2} - 1 d x$

Etapa 5.2

Divida a integral única em várias integrais.

$f (x, y) = 3 y (\int x^{2} d x + \int - 1 d x)$

Etapa 5.3

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$f (x, y) = 3 y (\frac{1}{3} x^{3} + C + \int - 1 d x)$

Etapa 5.4

Aplique a regra da constante.

$f (x, y) = 3 y (\frac{1}{3} x^{3} + C - x + C)$

Etapa 5.5

Combine $\frac{1}{3}$ e $x^{3}$ .

$f (x, y) = 3 y (\frac{x^{3}}{3} + C - x + C)$

Etapa 5.6

Simplifique.

$f (x, y) = 3 y (\frac{1}{3} x^{3} - x) + C$

Etapa 6

Como a integral de $g (y)$ conterá uma constante de integração, podemos substituir $C$ por $g (y)$ .

$f (x, y) = 3 y (\frac{1}{3} x^{3} - x) + g (y)$

Etapa 7

Defina $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = x^{3} + 8 y - 3 x$

Etapa 8

Encontre $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.1

Diferencie $f$ em relação a $y$ .

$\frac{d}{d y} [3 y (\frac{1}{3} x^{3} - x) + g (y)] = x^{3} + 8 y - 3 x$

Etapa 8.2

Diferencie usando a regra da soma.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.1

Combine $\frac{1}{3}$ e $x^{3}$ .

$\frac{d}{d y} [3 y (\frac{x^{3}}{3} - x) + g (y)] = x^{3} + 8 y - 3 x$

Etapa 8.2.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $3 y (\frac{x^{3}}{3} - x) + g (y)$ com relação a $y$ é $\frac{d}{d y} [3 y (\frac{x^{3}}{3} - x)] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [3 y (\frac{x^{3}}{3} - x)] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{3} + 8 y - 3 x$

Etapa 8.3

Avalie $\frac{d}{d y} [3 y (\frac{x^{3}}{3} - x)]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.1

Como $3 (\frac{x^{3}}{3} - x)$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $3 y (\frac{x^{3}}{3} - x)$ em relação a $y$ é $3 (\frac{x^{3}}{3} - x) \frac{d}{d y} [y]$ .

$3 (\frac{x^{3}}{3} - x) \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{3} + 8 y - 3 x$

Etapa 8.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$3 (\frac{x^{3}}{3} - x) \cdot 1 + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{3} + 8 y - 3 x$

Etapa 8.3.3

Multiplique $3$ por $1$ .

$3 (\frac{x^{3}}{3} - x) + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{3} + 8 y - 3 x$

Etapa 8.4

Diferencie usando a regra da função que afirma que a derivada de $g (y)$ é $\frac{d g}{d y}$ .

$3 (\frac{x^{3}}{3} - x) + \frac{d g}{d y} = x^{3} + 8 y - 3 x$

Etapa 8.5

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.5.1

Aplique a propriedade distributiva.

$3 \frac{x^{3}}{3} + 3 (- x) + \frac{d g}{d y} = x^{3} + 8 y - 3 x$

Etapa 8.5.2

Combine os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.5.2.1

Combine $3$ e $\frac{x^{3}}{3}$ .

$\frac{3 x^{3}}{3} + 3 (- x) + \frac{d g}{d y} = x^{3} + 8 y - 3 x$

Etapa 8.5.2.2

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.5.2.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{3 x^{3}}{3} + 3 (- x) + \frac{d g}{d y} = x^{3} + 8 y - 3 x$

Etapa 8.5.2.2.2

Divida $x^{3}$ por $1$ .

$x^{3} + 3 (- x) + \frac{d g}{d y} = x^{3} + 8 y - 3 x$

Etapa 8.5.2.3

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$x^{3} - 3 x + \frac{d g}{d y} = x^{3} + 8 y - 3 x$

Etapa 8.5.3

Reordene os termos.

$\frac{d g}{d y} + x^{3} - 3 x = x^{3} + 8 y - 3 x$

Etapa 9

Resolva $\frac{d g}{d y}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1

Mova todos os termos que não contêm $\frac{d g}{d y}$ para o lado direito da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1.1

Subtraia $x^{3}$ dos dois lados da equação.

$\frac{d g}{d y} - 3 x = x^{3} + 8 y - 3 x - x^{3}$

Etapa 9.1.2

Some $3 x$ aos dois lados da equação.

$\frac{d g}{d y} = x^{3} + 8 y - 3 x - x^{3} + 3 x$

Etapa 9.1.3

Combine os termos opostos em $x^{3} + 8 y - 3 x - x^{3} + 3 x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1.3.1

Subtraia $x^{3}$ de $x^{3}$ .

$\frac{d g}{d y} = 8 y - 3 x + 0 + 3 x$

Etapa 9.1.3.2

Some $8 y - 3 x$ e $0$ .

$\frac{d g}{d y} = 8 y - 3 x + 3 x$

Etapa 9.1.3.3

Some $- 3 x$ e $3 x$ .

$\frac{d g}{d y} = 8 y + 0$

Etapa 9.1.3.4

Some $8 y$ e $0$ .

$\frac{d g}{d y} = 8 y$

Etapa 10

Encontre a antiderivada de $8 y$ para encontrar $g (y)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.1

Integre ambos os lados de $\frac{d g}{d y} = 8 y$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int 8 y d y$

Etapa 10.2

Avalie $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int 8 y d y$

Etapa 10.3

Como $8$ é constante com relação a $y$ , mova $8$ para fora da integral.

$g (y) = 8 \int y d y$

Etapa 10.4

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $y$ com relação a $y$ é $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$g (y) = 8 (\frac{1}{2} y^{2} + C)$

Etapa 10.5

Simplifique a resposta.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.5.1

Reescreva $8 (\frac{1}{2} y^{2} + C)$ como $8 (\frac{1}{2}) y^{2} + C$ .

$g (y) = 8 (\frac{1}{2}) y^{2} + C$

Etapa 10.5.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.5.2.1

Combine $8$ e $\frac{1}{2}$ .

$g (y) = \frac{8}{2} y^{2} + C$

Etapa 10.5.2.2

Cancele o fator comum de $8$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.5.2.2.1

Fatore $2$ de $8$ .

$g (y) = \frac{2 \cdot 4}{2} y^{2} + C$

Etapa 10.5.2.2.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.5.2.2.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$g (y) = \frac{2 \cdot 4}{2 (1)} y^{2} + C$

Etapa 10.5.2.2.2.2

Cancele o fator comum.

$g (y) = \frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 1} y^{2} + C$

Etapa 10.5.2.2.2.3

Reescreva a expressão.

$g (y) = \frac{4}{1} y^{2} + C$

Etapa 10.5.2.2.2.4

Divida $4$ por $1$ .

$g (y) = 4 y^{2} + C$

Etapa 11

Substitua por $g (y)$ em $f (x, y) = 3 y (\frac{1}{3} x^{3} - x) + g (y)$ .

$f (x, y) = 3 y (\frac{1}{3} x^{3} - x) + 4 y^{2} + C$

Etapa 12

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.1

Combine $\frac{1}{3}$ e $x^{3}$ .

$f (x, y) = 3 y (\frac{x^{3}}{3} - x) + 4 y^{2} + C$

Etapa 12.2

Aplique a propriedade distributiva.

$f (x, y) = 3 y \frac{x^{3}}{3} + 3 y (- x) + 4 y^{2} + C$

Etapa 12.3

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.3.1

Fatore $3$ de $3 y$ .

$f (x, y) = 3 (y) \frac{x^{3}}{3} + 3 y (- x) + 4 y^{2} + C$

Etapa 12.3.2

Cancele o fator comum.

$f (x, y) = 3 y \frac{x^{3}}{3} + 3 y (- x) + 4 y^{2} + C$

Etapa 12.3.3

Reescreva a expressão.

$f (x, y) = y x^{3} + 3 y (- x) + 4 y^{2} + C$

Etapa 12.4

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$f (x, y) = y x^{3} + 3 \cdot - 1 y x + 4 y^{2} + C$

Etapa 12.5

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$f (x, y) = y x^{3} - 3 y x + 4 y^{2} + C$