Cálculo Exemplos

$2 y (x + 1) d y = x d x$

Etapa 1

Multiplique os dois lados por $\frac{1}{x + 1}$ .

$\frac{1}{x + 1} (2 y (x + 1)) d y = \frac{1}{x + 1} x d x$

Etapa 2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$2 \frac{1}{x + 1} (y (x + 1)) d y = \frac{1}{x + 1} x d x$

Etapa 2.2

Combine $2$ e $\frac{1}{x + 1}$ .

$\frac{2}{x + 1} (y (x + 1)) d y = \frac{1}{x + 1} x d x$

Etapa 2.3

Cancele o fator comum de $x + 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Fatore $x + 1$ de $y (x + 1)$ .

$\frac{2}{x + 1} ((x + 1) y) d y = \frac{1}{x + 1} x d x$

Etapa 2.3.2

Cancele o fator comum.

$\frac{2}{x + 1} ((x + 1) y) d y = \frac{1}{x + 1} x d x$

Etapa 2.3.3

Reescreva a expressão.

$2 y d y = \frac{1}{x + 1} x d x$

Etapa 2.4

Combine $\frac{1}{x + 1}$ e $x$ .

$2 y d y = \frac{x}{x + 1} d x$

Etapa 3

Integre os dois lados.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int 2 y d y = \int \frac{x}{x + 1} d x$

Etapa 3.2

Integre o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1

Como $2$ é constante com relação a $y$ , mova $2$ para fora da integral.

$2 \int y d y = \int \frac{x}{x + 1} d x$

Etapa 3.2.2

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $y$ com relação a $y$ é $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$2 (\frac{1}{2} y^{2} + C_{1}) = \int \frac{x}{x + 1} d x$

Etapa 3.2.3

Simplifique a resposta.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.3.1

Reescreva $2 (\frac{1}{2} y^{2} + C_{1})$ como $2 (\frac{1}{2}) y^{2} + C_{1}$ .

$2 (\frac{1}{2}) y^{2} + C_{1} = \int \frac{x}{x + 1} d x$

Etapa 3.2.3.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.3.2.1

Combine $2$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{2}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{x}{x + 1} d x$

Etapa 3.2.3.2.2

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.3.2.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{x}{x + 1} d x$

Etapa 3.2.3.2.2.2

Reescreva a expressão.

$1 y^{2} + C_{1} = \int \frac{x}{x + 1} d x$

Etapa 3.2.3.2.3

Multiplique $y^{2}$ por $1$ .

$y^{2} + C_{1} = \int \frac{x}{x + 1} d x$

Etapa 3.3

Integre o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1

Divida $x$ por $x + 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1.1

Estabeleça os polinômios a serem divididos. Se não houver um termo para cada expoente, insira um com valor de $0$ .

$x$

$1$

$x$

$0$

Etapa 3.3.1.2

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $x$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

					$1$
	$x$	+	$1$		$x$	+	$0$

Etapa 3.3.1.3

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$1$
$x$	+	$1$		$x$	+	$0$
			+	$x$	+	$1$

Etapa 3.3.1.4

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $x + 1$ .

				$1$
$x$	+	$1$		$x$	+	$0$
			-	$x$	-	$1$

Etapa 3.3.1.5

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$1$
$x$	+	$1$		$x$	+	$0$
			-	$x$	-	$1$
					-	$1$

Etapa 3.3.1.6

A resposta final é o quociente mais o resto sobre o divisor.

$y^{2} + C_{1} = \int 1 - \frac{1}{x + 1} d x$

Etapa 3.3.2

Divida a integral única em várias integrais.

$y^{2} + C_{1} = \int d x + \int - \frac{1}{x + 1} d x$

Etapa 3.3.3

Aplique a regra da constante.

$y^{2} + C_{1} = x + C_{2} + \int - \frac{1}{x + 1} d x$

Etapa 3.3.4

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$y^{2} + C_{1} = x + C_{2} - \int \frac{1}{x + 1} d x$

Etapa 3.3.5

Deixe $u = x + 1$ . Depois, $d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.5.1

Deixe $u = x + 1$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.5.1.1

Diferencie $x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

Etapa 3.3.5.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 3.3.5.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 3.3.5.1.4

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$1 + 0$

Etapa 3.3.5.1.5

Some $1$ e $0$ .

$1$

Etapa 3.3.5.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$y^{2} + C_{1} = x + C_{2} - \int \frac{1}{u} d u$

Etapa 3.3.6

A integral de $\frac{1}{u}$ com relação a $u$ é $\ln (| u |)$ .

$y^{2} + C_{1} = x + C_{2} - (\ln (| u |) + C_{3})$

Etapa 3.3.7

Simplifique.

$y^{2} + C_{1} = x - \ln (| u |) + C_{4}$

Etapa 3.3.8

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x + 1$ .

$y^{2} + C_{1} = x - \ln (| x + 1 |) + C_{4}$

Etapa 3.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $C$ .

$y^{2} = x - \ln (| x + 1 |) + C$

Etapa 4

Resolva $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$y = \pm \sqrt{x - \ln (| x + 1 |) + C}$

Etapa 4.2

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$y = \sqrt{x - \ln (| x + 1 |) + C}$

Etapa 4.2.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$y = - \sqrt{x - \ln (| x + 1 |) + C}$

Etapa 4.2.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$y = \sqrt{x - \ln (| x + 1 |) + C}$

$y = - \sqrt{x - \ln (| x + 1 |) + C}$

$y = \sqrt{x - \ln (| x + 1 |) + C}$

$y = - \sqrt{x - \ln (| x + 1 |) + C}$

$y = \sqrt{x - \ln (| x + 1 |) + C}$

$y = - \sqrt{x - \ln (| x + 1 |) + C}$