Cálculo Exemplos

$\sin (θ) \frac{d r}{d θ} + (\cos (θ)) r = \tan (θ)$

Etapa 1

Verifique se o lado esquerdo da equação é o resultado da derivada do termo $\sin (θ) r$ .

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Etapa 1.1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d θ} [f (θ) g (θ)]$ é $f (θ) \frac{d}{d θ} [g (θ)] + g (θ) \frac{d}{d θ} [f (θ)]$ , em que $f (θ) = \sin (θ)$ e $g (θ) = r$ .

$\sin (θ) \frac{d}{d θ} [r] + r \frac{d}{d θ} [\sin (θ)]$

Etapa 1.2

Reescreva $\frac{d}{d θ} [r]$ como $r'$ .

$\sin (θ) r' + r \frac{d}{d θ} [\sin (θ)]$

Etapa 1.3

A derivada de $\sin (θ)$ em relação a $θ$ é $\cos (θ)$ .

$\sin (θ) r' + r \cos (θ)$

Etapa 1.4

Substitua $\frac{d r}{d θ}$ por $r'$ .

$\sin (θ) \frac{d r}{d θ} + r \cos (θ)$

Etapa 2

Reescreva o lado esquerdo como resultado da diferenciação de um produto.

$\frac{d}{d θ} [\sin (θ) r] = \tan (θ)$

Etapa 3

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{d}{d θ} [\sin (θ) r] d θ = \int \tan (θ) d θ$

Etapa 4

Integre o lado esquerdo.

$\sin (θ) r = \int \tan (θ) d θ$

Etapa 5

A integral de $\tan (θ)$ com relação a $θ$ é $\ln (| \sec (θ) |)$ .

$\sin (θ) r = \ln (| \sec (θ) |) + C$

Etapa 6

Divida cada termo em $\sin (θ) r = \ln (| \sec (θ) |) + C$ por $\sin (θ)$ e simplifique.

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Etapa 6.1

Divida cada termo em $\sin (θ) r = \ln (| \sec (θ) |) + C$ por $\sin (θ)$ .

$\frac{\sin (θ) r}{\sin (θ)} = \frac{\ln (| \sec (θ) |)}{\sin (θ)} + \frac{C}{\sin (θ)}$

Etapa 6.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 6.2.1

Cancele o fator comum de $\sin (θ)$ .

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Etapa 6.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{\sin (θ) r}{\sin (θ)} = \frac{\ln (| \sec (θ) |)}{\sin (θ)} + \frac{C}{\sin (θ)}$

Etapa 6.2.1.2

Divida $r$ por $1$ .

$r = \frac{\ln (| \sec (θ) |)}{\sin (θ)} + \frac{C}{\sin (θ)}$

Etapa 6.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 6.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 6.3.1.1

Separe as frações.

$r = \frac{\ln (| \sec (θ) |)}{1} \cdot \frac{1}{\sin (θ)} + \frac{C}{\sin (θ)}$

Etapa 6.3.1.2

Converta de $\frac{1}{\sin (θ)}$ em $\csc (θ)$ .

$r = \frac{\ln (| \sec (θ) |)}{1} \csc (θ) + \frac{C}{\sin (θ)}$

Etapa 6.3.1.3

Divida $\ln (| \sec (θ) |)$ por $1$ .

$r = \ln (| \sec (θ) |) \csc (θ) + \frac{C}{\sin (θ)}$

Etapa 6.3.1.4

Separe as frações.

$r = \ln (| \sec (θ) |) \csc (θ) + \frac{C}{1} \cdot \frac{1}{\sin (θ)}$

Etapa 6.3.1.5

Converta de $\frac{1}{\sin (θ)}$ em $\csc (θ)$ .

$r = \ln (| \sec (θ) |) \csc (θ) + \frac{C}{1} \csc (θ)$

Etapa 6.3.1.6

Divida $C$ por $1$ .

$r = \ln (| \sec (θ) |) \csc (θ) + C \csc (θ)$