Cálculo Exemplos

$e^{x} e^{y} d x - e^{- 2 y} d y = 0$

Etapa 1

Subtraia $e^{x} e^{y} d x$ dos dois lados da equação.

$- e^{- 2 y} d y = - e^{x} e^{y} d x$

Etapa 2

Multiplique os dois lados por $\frac{1}{e^{y}}$ .

$\frac{1}{e^{y}} (- e^{- 2 y}) d y = \frac{1}{e^{y}} (- e^{x} e^{y}) d x$

Etapa 3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$- \frac{1}{e^{y}} e^{- 2 y} d y = \frac{1}{e^{y}} (- e^{x} e^{y}) d x$

Etapa 3.2

Combine $e^{- 2 y}$ e $\frac{1}{e^{y}}$ .

$- \frac{e^{- 2 y}}{e^{y}} d y = \frac{1}{e^{y}} (- e^{x} e^{y}) d x$

Etapa 3.3

Cancele o fator comum de $e^{- 2 y}$ e $e^{y}$ .

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Etapa 3.3.1

Fatore $e^{y}$ de $e^{- 2 y}$ .

$- \frac{e^{y} e^{- 3 y}}{e^{y}} d y = \frac{1}{e^{y}} (- e^{x} e^{y}) d x$

Etapa 3.3.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 3.3.2.1

Multiplique por $1$ .

$- \frac{e^{y} e^{- 3 y}}{e^{y} \cdot 1} d y = \frac{1}{e^{y}} (- e^{x} e^{y}) d x$

Etapa 3.3.2.2

Cancele o fator comum.

$- \frac{e^{y} e^{- 3 y}}{e^{y} \cdot 1} d y = \frac{1}{e^{y}} (- e^{x} e^{y}) d x$

Etapa 3.3.2.3

Reescreva a expressão.

$- \frac{e^{- 3 y}}{1} d y = \frac{1}{e^{y}} (- e^{x} e^{y}) d x$

Etapa 3.3.2.4

Divida $e^{- 3 y}$ por $1$ .

$- e^{- 3 y} d y = \frac{1}{e^{y}} (- e^{x} e^{y}) d x$

Etapa 3.4

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$- e^{- 3 y} d y = - \frac{1}{e^{y}} (e^{x} e^{y}) d x$

Etapa 3.5

Cancele o fator comum de $e^{y}$ .

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Etapa 3.5.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{1}{e^{y}}$ para o numerador.

$- e^{- 3 y} d y = \frac{- 1}{e^{y}} (e^{x} e^{y}) d x$

Etapa 3.5.2

Fatore $e^{y}$ de $e^{x} e^{y}$ .

$- e^{- 3 y} d y = \frac{- 1}{e^{y}} (e^{y} (e^{x - y} e^{y})) d x$

Etapa 3.5.3

Cancele o fator comum.

$- e^{- 3 y} d y = \frac{- 1}{e^{y}} (e^{y} (e^{x - y} e^{y})) d x$

Etapa 3.5.4

Reescreva a expressão.

$- e^{- 3 y} d y = - (e^{x - y} e^{y}) d x$

Etapa 3.6

Multiplique $e^{x - y}$ por $e^{y}$ somando os expoentes.

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Etapa 3.6.1

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$- e^{- 3 y} d y = - e^{x - y + y} d x$

Etapa 3.6.2

Combine os termos opostos em $x - y + y$ .

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Etapa 3.6.2.1

Some $- y$ e $y$ .

$- e^{- 3 y} d y = - e^{x + 0} d x$

Etapa 3.6.2.2

Some $x$ e $0$ .

$- e^{- 3 y} d y = - e^{x} d x$

Etapa 4

Integre os dois lados.

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Etapa 4.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int - e^{- 3 y} d y = \int - e^{x} d x$

Etapa 4.2

Integre o lado esquerdo.

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Etapa 4.2.1

Como $- 1$ é constante com relação a $y$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$- \int e^{- 3 y} d y = \int - e^{x} d x$

Etapa 4.2.2

Deixe $u = - 3 y$ . Depois, $d u = - 3 d y$ , então, $- \frac{1}{3} d u = d y$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 4.2.2.1

Deixe $u = - 3 y$ . Encontre $\frac{d u}{d y}$ .

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Etapa 4.2.2.1.1

Diferencie $- 3 y$ .

$\frac{d}{d y} [- 3 y]$

Etapa 4.2.2.1.2

Como $- 3$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $- 3 y$ em relação a $y$ é $- 3 \frac{d}{d y} [y]$ .

$- 3 \frac{d}{d y} [y]$

Etapa 4.2.2.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- 3 \cdot 1$

Etapa 4.2.2.1.4

Multiplique $- 3$ por $1$ .

$- 3$

Etapa 4.2.2.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$- \int e^{u} \frac{1}{- 3} d u = \int - e^{x} d x$

Etapa 4.2.3

Simplifique.

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Etapa 4.2.3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \int e^{u} (- \frac{1}{3}) d u = \int - e^{x} d x$

Etapa 4.2.3.2

Combine $e^{u}$ e $\frac{1}{3}$ .

$- \int - \frac{e^{u}}{3} d u = \int - e^{x} d x$

Etapa 4.2.4

Como $- 1$ é constante com relação a $u$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$- - \int \frac{e^{u}}{3} d u = \int - e^{x} d x$

Etapa 4.2.5

Simplifique.

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Etapa 4.2.5.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$1 \int \frac{e^{u}}{3} d u = \int - e^{x} d x$

Etapa 4.2.5.2

Multiplique $\int \frac{e^{u}}{3} d u$ por $1$ .

$\int \frac{e^{u}}{3} d u = \int - e^{x} d x$

Etapa 4.2.6

Como $\frac{1}{3}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{3}$ para fora da integral.

$\frac{1}{3} \int e^{u} d u = \int - e^{x} d x$

Etapa 4.2.7

A integral de $e^{u}$ com relação a $u$ é $e^{u}$ .

$\frac{1}{3} (e^{u} + C_{1}) = \int - e^{x} d x$

Etapa 4.2.8

Simplifique.

$\frac{1}{3} e^{u} + C_{1} = \int - e^{x} d x$

Etapa 4.2.9

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $- 3 y$ .

$\frac{1}{3} e^{- 3 y} + C_{1} = \int - e^{x} d x$

Etapa 4.3

Integre o lado direito.

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Etapa 4.3.1

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$\frac{1}{3} e^{- 3 y} + C_{1} = - \int e^{x} d x$

Etapa 4.3.2

A integral de $e^{x}$ com relação a $x$ é $e^{x}$ .

$\frac{1}{3} e^{- 3 y} + C_{1} = - (e^{x} + C_{2})$

Etapa 4.3.3

Simplifique.

$\frac{1}{3} e^{- 3 y} + C_{1} = - e^{x} + C_{2}$

Etapa 4.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $K$ .

$\frac{1}{3} e^{- 3 y} = - e^{x} + K$

Etapa 5

Resolva $y$ .

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Etapa 5.1

Multiplique os dois lados da equação por $3$ .

$3 (\frac{1}{3} e^{- 3 y}) = 3 (- e^{x} + K)$

Etapa 5.2

Simplifique os dois lados da equação.

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Etapa 5.2.1

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.2.1.1

Simplifique $3 (\frac{1}{3} e^{- 3 y})$ .

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Etapa 5.2.1.1.1

Combine $\frac{1}{3}$ e $e^{- 3 y}$ .

$3 \frac{e^{- 3 y}}{3} = 3 (- e^{x} + K)$

Etapa 5.2.1.1.2

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 5.2.1.1.2.1

Cancele o fator comum.

$3 \frac{e^{- 3 y}}{3} = 3 (- e^{x} + K)$

Etapa 5.2.1.1.2.2

Reescreva a expressão.

$e^{- 3 y} = 3 (- e^{x} + K)$

Etapa 5.2.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.2.2.1

Simplifique $3 (- e^{x} + K)$ .

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Etapa 5.2.2.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$e^{- 3 y} = 3 (- e^{x}) + 3 K$

Etapa 5.2.2.1.2

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$e^{- 3 y} = - 3 e^{x} + 3 K$

Etapa 5.3

Obtenha o logaritmo natural dos dois lados da equação para remover a variável do expoente.

$\ln (e^{- 3 y}) = \ln (- 3 e^{x} + 3 K)$

Etapa 5.4

Expanda o lado esquerdo.

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Etapa 5.4.1

Expanda $\ln (e^{- 3 y})$ movendo $- 3 y$ para fora do logaritmo.

$- 3 y \ln (e) = \ln (- 3 e^{x} + 3 K)$

Etapa 5.4.2

O logaritmo natural de $e$ é $1$ .

$- 3 y \cdot 1 = \ln (- 3 e^{x} + 3 K)$

Etapa 5.4.3

Multiplique $- 3$ por $1$ .

$- 3 y = \ln (- 3 e^{x} + 3 K)$

Etapa 5.5

Divida cada termo em $- 3 y = \ln (- 3 e^{x} + 3 K)$ por $- 3$ e simplifique.

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Etapa 5.5.1

Divida cada termo em $- 3 y = \ln (- 3 e^{x} + 3 K)$ por $- 3$ .

$\frac{- 3 y}{- 3} = \frac{\ln (- 3 e^{x} + 3 K)}{- 3}$

Etapa 5.5.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.5.2.1

Cancele o fator comum de $- 3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{- 3 y}{- 3} = \frac{\ln (- 3 e^{x} + 3 K)}{- 3}$

Etapa 5.5.2.1.2

Divida $y$ por $1$ .

$y = \frac{\ln (- 3 e^{x} + 3 K)}{- 3}$

Etapa 5.5.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y = - \frac{\ln (- 3 e^{x} + 3 K)}{3}$

Etapa 6

Simplifique a constante de integração.

$y = - \frac{\ln (- 3 e^{x} + K)}{3}$