Cálculo Exemplos

$\frac{d y}{d x} = \frac{\sqrt{x} + x}{\sqrt{y} - y}$

Etapa 1

Separe as variáveis.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Multiplique os dois lados por $\sqrt{y} - y$ .

$(\sqrt{y} - y) \frac{d y}{d x} = (\sqrt{y} - y) \frac{\sqrt{x} + x}{\sqrt{y} - y}$

Etapa 1.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$(\sqrt{y} - y) \frac{d y}{d x} = (\sqrt{y} - y) \frac{x^{\frac{1}{2}} + x}{\sqrt{y} - y}$

Etapa 1.2.1.2

Fatore $x^{\frac{1}{2}}$ de $x^{\frac{1}{2}} + x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1.2.1

Multiplique por $1$ .

$(\sqrt{y} - y) \frac{d y}{d x} = (\sqrt{y} - y) \frac{x^{\frac{1}{2}} \cdot 1 + x}{\sqrt{y} - y}$

Etapa 1.2.1.2.2

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$(\sqrt{y} - y) \frac{d y}{d x} = (\sqrt{y} - y) \frac{x^{\frac{1}{2}} \cdot 1 + x^{1}}{\sqrt{y} - y}$

Etapa 1.2.1.2.3

Fatore $x^{\frac{1}{2}}$ de $x^{1}$ .

$(\sqrt{y} - y) \frac{d y}{d x} = (\sqrt{y} - y) \frac{x^{\frac{1}{2}} \cdot 1 + x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}{\sqrt{y} - y}$

Etapa 1.2.1.2.4

Fatore $x^{\frac{1}{2}}$ de $x^{\frac{1}{2}} \cdot 1 + x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}$ .

$(\sqrt{y} - y) \frac{d y}{d x} = (\sqrt{y} - y) \frac{x^{\frac{1}{2}} (1 + x^{\frac{1}{2}})}{\sqrt{y} - y}$

Etapa 1.2.2

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.2.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{y}$ como $y^{\frac{1}{2}}$ .

$(\sqrt{y} - y) \frac{d y}{d x} = (\sqrt{y} - y) \frac{x^{\frac{1}{2}} (1 + x^{\frac{1}{2}})}{y^{\frac{1}{2}} - y}$

Etapa 1.2.2.2

Fatore $y^{\frac{1}{2}}$ de $y^{\frac{1}{2}} - y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.2.2.1

Multiplique por $1$ .

$(\sqrt{y} - y) \frac{d y}{d x} = (\sqrt{y} - y) \frac{x^{\frac{1}{2}} (1 + x^{\frac{1}{2}})}{y^{\frac{1}{2}} \cdot 1 - y}$

Etapa 1.2.2.2.2

Fatore $y^{\frac{1}{2}}$ de $- y$ .

$(\sqrt{y} - y) \frac{d y}{d x} = (\sqrt{y} - y) \frac{x^{\frac{1}{2}} (1 + x^{\frac{1}{2}})}{y^{\frac{1}{2}} \cdot 1 + y^{\frac{1}{2}} (- y^{\frac{1}{2}})}$

Etapa 1.2.2.2.3

Fatore $y^{\frac{1}{2}}$ de $y^{\frac{1}{2}} \cdot 1 + y^{\frac{1}{2}} (- y^{\frac{1}{2}})$ .

$(\sqrt{y} - y) \frac{d y}{d x} = (\sqrt{y} - y) \frac{x^{\frac{1}{2}} (1 + x^{\frac{1}{2}})}{y^{\frac{1}{2}} (1 - y^{\frac{1}{2}})}$

Etapa 1.2.3

Multiplique $\sqrt{y} - y$ por $\frac{x^{\frac{1}{2}} (1 + x^{\frac{1}{2}})}{y^{\frac{1}{2}} (1 - y^{\frac{1}{2}})}$ .

$(\sqrt{y} - y) \frac{d y}{d x} = \frac{(\sqrt{y} - y) (x^{\frac{1}{2}} (1 + x^{\frac{1}{2}}))}{y^{\frac{1}{2}} (1 - y^{\frac{1}{2}})}$

Etapa 1.2.4

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{y}$ como $y^{\frac{1}{2}}$ .

$(\sqrt{y} - y) \frac{d y}{d x} = \frac{(y^{\frac{1}{2}} - y) x^{\frac{1}{2}} (1 + x^{\frac{1}{2}})}{y^{\frac{1}{2}} (1 - y^{\frac{1}{2}})}$

Etapa 1.2.4.2

Fatore $y^{\frac{1}{2}}$ de $y^{\frac{1}{2}} - y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.2.1

Multiplique por $1$ .

$(\sqrt{y} - y) \frac{d y}{d x} = \frac{(y^{\frac{1}{2}} \cdot 1 - y) x^{\frac{1}{2}} (1 + x^{\frac{1}{2}})}{y^{\frac{1}{2}} (1 - y^{\frac{1}{2}})}$

Etapa 1.2.4.2.2

Fatore $y^{\frac{1}{2}}$ de $- y$ .

$(\sqrt{y} - y) \frac{d y}{d x} = \frac{(y^{\frac{1}{2}} \cdot 1 + y^{\frac{1}{2}} (- y^{\frac{1}{2}})) x^{\frac{1}{2}} (1 + x^{\frac{1}{2}})}{y^{\frac{1}{2}} (1 - y^{\frac{1}{2}})}$

Etapa 1.2.4.2.3

Fatore $y^{\frac{1}{2}}$ de $y^{\frac{1}{2}} \cdot 1 + y^{\frac{1}{2}} (- y^{\frac{1}{2}})$ .

$(\sqrt{y} - y) \frac{d y}{d x} = \frac{y^{\frac{1}{2}} (1 - y^{\frac{1}{2}}) x^{\frac{1}{2}} (1 + x^{\frac{1}{2}})}{y^{\frac{1}{2}} (1 - y^{\frac{1}{2}})}$

Etapa 1.2.5

Cancele o fator comum.

$(\sqrt{y} - y) \frac{d y}{d x} = \frac{y^{\frac{1}{2}} (1 - y^{\frac{1}{2}}) x^{\frac{1}{2}} (1 + x^{\frac{1}{2}})}{y^{\frac{1}{2}} (1 - y^{\frac{1}{2}})}$

Etapa 1.2.6

Reescreva a expressão.

$(\sqrt{y} - y) \frac{d y}{d x} = \frac{(1 - y^{\frac{1}{2}}) x^{\frac{1}{2}} (1 + x^{\frac{1}{2}})}{1 - y^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 1.2.7

Cancele o fator comum.

$(\sqrt{y} - y) \frac{d y}{d x} = \frac{(1 - y^{\frac{1}{2}}) x^{\frac{1}{2}} (1 + x^{\frac{1}{2}})}{1 - y^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 1.2.8

Divida $x^{\frac{1}{2}} (1 + x^{\frac{1}{2}})$ por $1$ .

$(\sqrt{y} - y) \frac{d y}{d x} = x^{\frac{1}{2}} (1 + x^{\frac{1}{2}})$

Etapa 1.2.9

Aplique a propriedade distributiva.

$(\sqrt{y} - y) \frac{d y}{d x} = x^{\frac{1}{2}} \cdot 1 + x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}$

Etapa 1.2.10

Multiplique $x^{\frac{1}{2}}$ por $1$ .

$(\sqrt{y} - y) \frac{d y}{d x} = x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}$

Etapa 1.2.11

Multiplique $x^{\frac{1}{2}}$ por $x^{\frac{1}{2}}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.11.1

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$(\sqrt{y} - y) \frac{d y}{d x} = x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}$

Etapa 1.2.11.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$(\sqrt{y} - y) \frac{d y}{d x} = x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{1 + 1}{2}}$

Etapa 1.2.11.3

Some $1$ e $1$ .

$(\sqrt{y} - y) \frac{d y}{d x} = x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{2}{2}}$

Etapa 1.2.11.4

Divida $2$ por $2$ .

$(\sqrt{y} - y) \frac{d y}{d x} = x^{\frac{1}{2}} + x^{1}$

Etapa 1.2.12

Simplifique $x^{1}$ .

$(\sqrt{y} - y) \frac{d y}{d x} = x^{\frac{1}{2}} + x$

Etapa 1.3

Reescreva a equação.

$(\sqrt{y} - y) d y = (x^{\frac{1}{2}} + x) d x$

Etapa 2

Integre os dois lados.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int \sqrt{y} - y d y = \int x^{\frac{1}{2}} + x d x$

Etapa 2.2

Integre o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Divida a integral única em várias integrais.

$\int \sqrt{y} d y + \int - y d y = \int x^{\frac{1}{2}} + x d x$

Etapa 2.2.2

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{y}$ como $y^{\frac{1}{2}}$ .

$\int y^{\frac{1}{2}} d y + \int - y d y = \int x^{\frac{1}{2}} + x d x$

Etapa 2.2.3

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $y^{\frac{1}{2}}$ com relação a $y$ é $\frac{2}{3} y^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2}{3} y^{\frac{3}{2}} + C_{1} + \int - y d y = \int x^{\frac{1}{2}} + x d x$

Etapa 2.2.4

Como $- 1$ é constante com relação a $y$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$\frac{2}{3} y^{\frac{3}{2}} + C_{1} - \int y d y = \int x^{\frac{1}{2}} + x d x$

Etapa 2.2.5

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $y$ com relação a $y$ é $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{2}{3} y^{\frac{3}{2}} + C_{1} - (\frac{1}{2} y^{2} + C_{2}) = \int x^{\frac{1}{2}} + x d x$

Etapa 2.2.6

Simplifique.

$\frac{2}{3} y^{\frac{3}{2}} - \frac{1}{2} y^{2} + C_{3} = \int x^{\frac{1}{2}} + x d x$

Etapa 2.3

Integre o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Divida a integral única em várias integrais.

$\frac{2}{3} y^{\frac{3}{2}} - \frac{1}{2} y^{2} + C_{3} = \int x^{\frac{1}{2}} d x + \int x d x$

Etapa 2.3.2

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{\frac{1}{2}}$ com relação a $x$ é $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2}{3} y^{\frac{3}{2}} - \frac{1}{2} y^{2} + C_{3} = \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C_{4} + \int x d x$

Etapa 2.3.3

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x$ com relação a $x$ é $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{2}{3} y^{\frac{3}{2}} - \frac{1}{2} y^{2} + C_{3} = \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C_{4} + \frac{1}{2} x^{2} + C_{5}$

Etapa 2.3.4

Simplifique.

$\frac{2}{3} y^{\frac{3}{2}} - \frac{1}{2} y^{2} + C_{3} = \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + \frac{1}{2} x^{2} + C_{6}$

Etapa 2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $K$ .

$\frac{2}{3} y^{\frac{3}{2}} - \frac{1}{2} y^{2} = \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + \frac{1}{2} x^{2} + K$