Cálculo Exemplos

$\frac{d y}{d x} - y - e^{3 x} = 0$

Etapa 1

Some $e^{3 x}$ aos dois lados da equação.

$\frac{d y}{d x} - y = e^{3 x}$

Etapa 2

O fator de integração é definido pela fórmula $e^{\int P (x) d x}$ , em que $P (x) = - 1$ .

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Etapa 2.1

Determine a integração.

$e^{\int - 1 d x}$

Etapa 2.2

Aplique a regra da constante.

$e^{- x + C}$

Etapa 2.3

Remova a constante de integração.

$e^{- x}$

Etapa 3

Multiplique cada termo pelo fator de integração $e^{- x}$ .

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Etapa 3.1

Multiplique cada termo por $e^{- x}$ .

$e^{- x} \frac{d y}{d x} + e^{- x} (- y) = e^{- x} e^{3 x}$

Etapa 3.2

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$e^{- x} \frac{d y}{d x} - e^{- x} y = e^{- x} e^{3 x}$

Etapa 3.3

Multiplique $e^{- x}$ por $e^{3 x}$ somando os expoentes.

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Etapa 3.3.1

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$e^{- x} \frac{d y}{d x} - e^{- x} y = e^{- x + 3 x}$

Etapa 3.3.2

Some $- x$ e $3 x$ .

$e^{- x} \frac{d y}{d x} - e^{- x} y = e^{2 x}$

Etapa 3.4

Reordene os fatores em $e^{- x} \frac{d y}{d x} - e^{- x} y = e^{2 x}$ .

$e^{- x} \frac{d y}{d x} - y e^{- x} = e^{2 x}$

Etapa 4

Reescreva o lado esquerdo como resultado da diferenciação de um produto.

$\frac{d}{d x} [e^{- x} y] = e^{2 x}$

Etapa 5

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{d}{d x} [e^{- x} y] d x = \int e^{2 x} d x$

Etapa 6

Integre o lado esquerdo.

$e^{- x} y = \int e^{2 x} d x$

Etapa 7

Integre o lado direito.

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Etapa 7.1

Deixe $u = 2 x$ . Depois, $d u = 2 d x$ , então, $\frac{1}{2} d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 7.1.1

Deixe $u = 2 x$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 7.1.1.1

Diferencie $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Etapa 7.1.1.2

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 7.1.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Etapa 7.1.1.4

Multiplique $2$ por $1$ .

$2$

Etapa 7.1.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$e^{- x} y = \int e^{u} \frac{1}{2} d u$

Etapa 7.2

Combine $e^{u}$ e $\frac{1}{2}$ .

$e^{- x} y = \int \frac{e^{u}}{2} d u$

Etapa 7.3

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$e^{- x} y = \frac{1}{2} \int e^{u} d u$

Etapa 7.4

A integral de $e^{u}$ com relação a $u$ é $e^{u}$ .

$e^{- x} y = \frac{1}{2} (e^{u} + C)$

Etapa 7.5

Simplifique.

$e^{- x} y = \frac{1}{2} e^{u} + C$

Etapa 7.6

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $2 x$ .

$e^{- x} y = \frac{1}{2} e^{2 x} + C$

Etapa 8

Divida cada termo em $e^{- x} y = \frac{1}{2} e^{2 x} + C$ por $e^{- x}$ e simplifique.

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Etapa 8.1

Divida cada termo em $e^{- x} y = \frac{1}{2} e^{2 x} + C$ por $e^{- x}$ .

$\frac{e^{- x} y}{e^{- x}} = \frac{\frac{1}{2} e^{2 x}}{e^{- x}} + \frac{C}{e^{- x}}$

Etapa 8.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 8.2.1

Cancele o fator comum de $e^{- x}$ .

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Etapa 8.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{e^{- x} y}{e^{- x}} = \frac{\frac{1}{2} e^{2 x}}{e^{- x}} + \frac{C}{e^{- x}}$

Etapa 8.2.1.2

Divida $y$ por $1$ .

$y = \frac{\frac{1}{2} e^{2 x}}{e^{- x}} + \frac{C}{e^{- x}}$

Etapa 8.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 8.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 8.3.1.1

Cancele o fator comum de $e^{2 x}$ e $e^{- x}$ .

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Etapa 8.3.1.1.1

Fatore $e^{- x}$ de $\frac{1}{2} e^{2 x}$ .

$y = \frac{e^{- x} (\frac{1}{2} e^{3 x})}{e^{- x}} + \frac{C}{e^{- x}}$

Etapa 8.3.1.1.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 8.3.1.1.2.1

Multiplique por $1$ .

$y = \frac{e^{- x} (\frac{1}{2} e^{3 x})}{e^{- x} \cdot 1} + \frac{C}{e^{- x}}$

Etapa 8.3.1.1.2.2

Cancele o fator comum.

$y = \frac{e^{- x} (\frac{1}{2} e^{3 x})}{e^{- x} \cdot 1} + \frac{C}{e^{- x}}$

Etapa 8.3.1.1.2.3

Reescreva a expressão.

$y = \frac{\frac{1}{2} e^{3 x}}{1} + \frac{C}{e^{- x}}$

Etapa 8.3.1.1.2.4

Divida $\frac{1}{2} e^{3 x}$ por $1$ .

$y = \frac{1}{2} e^{3 x} + \frac{C}{e^{- x}}$

Etapa 8.3.1.2

Combine $\frac{1}{2}$ e $e^{3 x}$ .

$y = \frac{e^{3 x}}{2} + \frac{C}{e^{- x}}$