Cálculo Exemplos

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{3 x^{2} y^{2}}$

Etapa 1

Separe as variáveis.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Reagrupe os fatores.

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{3 x^{2}} \cdot \frac{1}{y^{2}}$

Etapa 1.2

Multiplique os dois lados por $y^{2}$ .

$y^{2} \frac{d y}{d x} = y^{2} (\frac{1}{3 x^{2}} \cdot \frac{1}{y^{2}})$

Etapa 1.3

Simplifique.

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Etapa 1.3.1

Combine.

$y^{2} \frac{d y}{d x} = y^{2} \frac{1 \cdot 1}{3 x^{2} y^{2}}$

Etapa 1.3.2

Cancele o fator comum de $y^{2}$ .

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Etapa 1.3.2.1

Fatore $y^{2}$ de $3 x^{2} y^{2}$ .

$y^{2} \frac{d y}{d x} = y^{2} \frac{1 \cdot 1}{y^{2} (3 x^{2})}$

Etapa 1.3.2.2

Cancele o fator comum.

$y^{2} \frac{d y}{d x} = y^{2} \frac{1 \cdot 1}{y^{2} (3 x^{2})}$

Etapa 1.3.2.3

Reescreva a expressão.

$y^{2} \frac{d y}{d x} = \frac{1 \cdot 1}{3 x^{2}}$

Etapa 1.3.3

Multiplique $1$ por $1$ .

$y^{2} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{3 x^{2}}$

Etapa 1.4

Reescreva a equação.

$y^{2} d y = \frac{1}{3 x^{2}} d x$

Etapa 2

Integre os dois lados.

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Etapa 2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int y^{2} d y = \int \frac{1}{3 x^{2}} d x$

Etapa 2.2

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $y^{2}$ com relação a $y$ é $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \int \frac{1}{3 x^{2}} d x$

Etapa 2.3

Integre o lado direito.

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Etapa 2.3.1

Como $\frac{1}{3}$ é constante com relação a $x$ , mova $\frac{1}{3}$ para fora da integral.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{1}{3} \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Etapa 2.3.2

Aplique regras básicas de expoentes.

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Etapa 2.3.2.1

Mova $x^{2}$ para fora do denominador, elevando-o à $- 1$ potência.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{1}{3} \int {(x^{2})}^{- 1} d x$

Etapa 2.3.2.2

Multiplique os expoentes em ${(x^{2})}^{- 1}$ .

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Etapa 2.3.2.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{1}{3} \int x^{2 \cdot - 1} d x$

Etapa 2.3.2.2.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{1}{3} \int x^{- 2} d x$

Etapa 2.3.3

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{- 2}$ com relação a $x$ é $- x^{- 1}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{1}{3} (- x^{- 1} + C_{2})$

Etapa 2.3.4

Simplifique a resposta.

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Etapa 2.3.4.1

Reescreva $\frac{1}{3} (- x^{- 1} + C_{2})$ como $\frac{1}{3} (- \frac{1}{x}) + C_{2}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{1}{3} (- \frac{1}{x}) + C_{2}$

Etapa 2.3.4.2

Multiplique $\frac{1}{3}$ por $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = - \frac{1}{3 x} + C_{2}$

Etapa 2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $K$ .

$\frac{1}{3} y^{3} = - \frac{1}{3 x} + K$

Etapa 3

Resolva $y$ .

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Etapa 3.1

Multiplique os dois lados da equação por $3$ .

$3 (\frac{1}{3} y^{3}) = 3 (- \frac{1}{3 x} + K)$

Etapa 3.2

Simplifique os dois lados da equação.

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Etapa 3.2.1

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.2.1.1

Simplifique $3 (\frac{1}{3} y^{3})$ .

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Etapa 3.2.1.1.1

Combine $\frac{1}{3}$ e $y^{3}$ .

$3 \frac{y^{3}}{3} = 3 (- \frac{1}{3 x} + K)$

Etapa 3.2.1.1.2

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 3.2.1.1.2.1

Cancele o fator comum.

$3 \frac{y^{3}}{3} = 3 (- \frac{1}{3 x} + K)$

Etapa 3.2.1.1.2.2

Reescreva a expressão.

$y^{3} = 3 (- \frac{1}{3 x} + K)$

Etapa 3.2.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.2.2.1

Simplifique $3 (- \frac{1}{3 x} + K)$ .

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Etapa 3.2.2.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$y^{3} = 3 (- \frac{1}{3 x}) + 3 K$

Etapa 3.2.2.1.2

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 3.2.2.1.2.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{1}{3 x}$ para o numerador.

$y^{3} = 3 \frac{- 1}{3 x} + 3 K$

Etapa 3.2.2.1.2.2

Fatore $3$ de $3 x$ .

$y^{3} = 3 \frac{- 1}{3 (x)} + 3 K$

Etapa 3.2.2.1.2.3

Cancele o fator comum.

$y^{3} = 3 \frac{- 1}{3 x} + 3 K$

Etapa 3.2.2.1.2.4

Reescreva a expressão.

$y^{3} = \frac{- 1}{x} + 3 K$

Etapa 3.2.2.1.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y^{3} = - \frac{1}{x} + 3 K$

Etapa 3.3

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$y = \sqrt[3]{- \frac{1}{x} + 3 K}$

Etapa 3.4

Simplifique $\sqrt[3]{- \frac{1}{x} + 3 K}$ .

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Etapa 3.4.1

Para escrever $3 K$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{x}{x}$ .

$y = \sqrt[3]{- \frac{1}{x} + \frac{3 K x}{x}}$

Etapa 3.4.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y = \sqrt[3]{\frac{- 1 + 3 K x}{x}}$

Etapa 3.4.3

Reescreva $\sqrt[3]{\frac{- 1 + 3 K x}{x}}$ como $\frac{\sqrt[3]{- 1 + 3 K x}}{\sqrt[3]{x}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{- 1 + 3 K x}}{\sqrt[3]{x}}$

Etapa 3.4.4

Multiplique $\frac{\sqrt[3]{- 1 + 3 K x}}{\sqrt[3]{x}}$ por $\frac{{\sqrt[3]{x}}^{2}}{{\sqrt[3]{x}}^{2}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{- 1 + 3 K x}}{\sqrt[3]{x}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{x}}^{2}}{{\sqrt[3]{x}}^{2}}$

Etapa 3.4.5

Combine e simplifique o denominador.

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Etapa 3.4.5.1

Multiplique $\frac{\sqrt[3]{- 1 + 3 K x}}{\sqrt[3]{x}}$ por $\frac{{\sqrt[3]{x}}^{2}}{{\sqrt[3]{x}}^{2}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{- 1 + 3 K x} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{\sqrt[3]{x} {\sqrt[3]{x}}^{2}}$

Etapa 3.4.5.2

Eleve $\sqrt[3]{x}$ à potência de $1$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{- 1 + 3 K x} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{{\sqrt[3]{x}}^{1} {\sqrt[3]{x}}^{2}}$

Etapa 3.4.5.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$y = \frac{\sqrt[3]{- 1 + 3 K x} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{{\sqrt[3]{x}}^{1 + 2}}$

Etapa 3.4.5.4

Some $1$ e $2$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{- 1 + 3 K x} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{{\sqrt[3]{x}}^{3}}$

Etapa 3.4.5.5

Reescreva ${\sqrt[3]{x}}^{3}$ como $x$ .

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Etapa 3.4.5.5.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt[3]{x}$ como $x^{\frac{1}{3}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{- 1 + 3 K x} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{{(x^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

Etapa 3.4.5.5.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{- 1 + 3 K x} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{x^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

Etapa 3.4.5.5.3

Combine $\frac{1}{3}$ e $3$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{- 1 + 3 K x} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{x^{\frac{3}{3}}}$

Etapa 3.4.5.5.4

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 3.4.5.5.4.1

Cancele o fator comum.

$y = \frac{\sqrt[3]{- 1 + 3 K x} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{x^{\frac{3}{3}}}$

Etapa 3.4.5.5.4.2

Reescreva a expressão.

$y = \frac{\sqrt[3]{- 1 + 3 K x} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{x^{1}}$

Etapa 3.4.5.5.5

Simplifique.

$y = \frac{\sqrt[3]{- 1 + 3 K x} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{x}$

Etapa 3.4.6

Reescreva ${\sqrt[3]{x}}^{2}$ como $\sqrt[3]{x^{2}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{- 1 + 3 K x} \sqrt[3]{x^{2}}}{x}$

Etapa 3.4.7

Combine usando a regra do produto para radicais.

$y = \frac{\sqrt[3]{(- 1 + 3 K x) x^{2}}}{x}$

Etapa 3.4.8

Reordene os fatores em $\frac{\sqrt[3]{(- 1 + 3 K x) x^{2}}}{x}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{2} (- 1 + 3 K x)}}{x}$

Etapa 4

Simplifique a constante de integração.

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{2} (- 1 + K x)}}{x}$