Cálculo Exemplos

$(5 - x) e^{y} d x = x y d y$

Etapa 1

Reescreva a equação.

$x y d y = (5 - x) e^{y} d x$

Etapa 2

Multiplique os dois lados por $\frac{1}{x e^{y}}$ .

$\frac{1}{x e^{y}} (x y) d y = \frac{1}{x e^{y}} ((5 - x) e^{y}) d x$

Etapa 3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Cancele o fator comum de $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.1

Fatore $x$ de $x e^{y}$ .

$\frac{1}{x (e^{y})} (x y) d y = \frac{1}{x e^{y}} ((5 - x) e^{y}) d x$

Etapa 3.1.2

Fatore $x$ de $x y$ .

$\frac{1}{x (e^{y})} (x (y)) d y = \frac{1}{x e^{y}} ((5 - x) e^{y}) d x$

Etapa 3.1.3

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{x e^{y}} (x y) d y = \frac{1}{x e^{y}} ((5 - x) e^{y}) d x$

Etapa 3.1.4

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{e^{y}} y d y = \frac{1}{x e^{y}} ((5 - x) e^{y}) d x$

Etapa 3.2

Combine $\frac{1}{e^{y}}$ e $y$ .

$\frac{y}{e^{y}} d y = \frac{1}{x e^{y}} ((5 - x) e^{y}) d x$

Etapa 3.3

Cancele o fator comum de $e^{y}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1

Fatore $e^{y}$ de $x e^{y}$ .

$\frac{y}{e^{y}} d y = \frac{1}{e^{y} x} ((5 - x) e^{y}) d x$

Etapa 3.3.2

Fatore $e^{y}$ de $(5 - x) e^{y}$ .

$\frac{y}{e^{y}} d y = \frac{1}{e^{y} x} (e^{y} (5 - x)) d x$

Etapa 3.3.3

Cancele o fator comum.

$\frac{y}{e^{y}} d y = \frac{1}{e^{y} x} (e^{y} (5 - x)) d x$

Etapa 3.3.4

Reescreva a expressão.

$\frac{y}{e^{y}} d y = \frac{1}{x} (5 - x) d x$

Etapa 3.4

Multiplique $\frac{1}{x}$ por $5 - x$ .

$\frac{y}{e^{y}} d y = \frac{5 - x}{x} d x$

Etapa 4

Integre os dois lados.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{y}{e^{y}} d y = \int \frac{5 - x}{x} d x$

Etapa 4.2

Integre o lado esquerdo.

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Etapa 4.2.1

Simplifique a expressão.

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Etapa 4.2.1.1

Negative o expoente de $e^{y}$ e o mova para fora do denominador.

$\int y {(e^{y})}^{- 1} d y = \int \frac{5 - x}{x} d x$

Etapa 4.2.1.2

Multiplique os expoentes em ${(e^{y})}^{- 1}$ .

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Etapa 4.2.1.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int y e^{y \cdot - 1} d y = \int \frac{5 - x}{x} d x$

Etapa 4.2.1.2.2

Mova $- 1$ para a esquerda de $y$ .

$\int y e^{- 1 \cdot y} d y = \int \frac{5 - x}{x} d x$

Etapa 4.2.1.2.3

Reescreva $- 1 y$ como $- y$ .

$\int y e^{- y} d y = \int \frac{5 - x}{x} d x$

Etapa 4.2.2

Integre por partes usando a fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , em que $u = y$ e $d v = e^{- y}$ .

$y (- e^{- y}) - \int - e^{- y} d y = \int \frac{5 - x}{x} d x$

Etapa 4.2.3

Como $- 1$ é constante com relação a $y$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$y (- e^{- y}) - - \int e^{- y} d y = \int \frac{5 - x}{x} d x$

Etapa 4.2.4

Simplifique.

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Etapa 4.2.4.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$y (- e^{- y}) + 1 \int e^{- y} d y = \int \frac{5 - x}{x} d x$

Etapa 4.2.4.2

Multiplique $\int e^{- y} d y$ por $1$ .

$y (- e^{- y}) + \int e^{- y} d y = \int \frac{5 - x}{x} d x$

Etapa 4.2.5

Deixe $u = - y$ . Depois, $d u = - d y$ , então, $- d u = d y$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 4.2.5.1

Deixe $u = - y$ . Encontre $\frac{d u}{d y}$ .

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Etapa 4.2.5.1.1

Diferencie $- y$ .

$\frac{d}{d y} [- y]$

Etapa 4.2.5.1.2

Como $- 1$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $- y$ em relação a $y$ é $- \frac{d}{d y} [y]$ .

$- \frac{d}{d y} [y]$

Etapa 4.2.5.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

Etapa 4.2.5.1.4

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$- 1$

Etapa 4.2.5.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$y (- e^{- y}) + \int - e^{u} d u = \int \frac{5 - x}{x} d x$

Etapa 4.2.6

Como $- 1$ é constante com relação a $u$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$y (- e^{- y}) - \int e^{u} d u = \int \frac{5 - x}{x} d x$

Etapa 4.2.7

A integral de $e^{u}$ com relação a $u$ é $e^{u}$ .

$y (- e^{- y}) - (e^{u} + C_{1}) = \int \frac{5 - x}{x} d x$

Etapa 4.2.8

Reescreva $y (- e^{- y}) - (e^{u} + C_{1})$ como $- y e^{- y} - e^{u} + C_{1}$ .

$- y e^{- y} - e^{u} + C_{1} = \int \frac{5 - x}{x} d x$

Etapa 4.2.9

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $- y$ .

$- y e^{- y} - e^{- y} + C_{1} = \int \frac{5 - x}{x} d x$

Etapa 4.2.10

Reordene os termos.

$- e^{- y} y - e^{- y} + C_{1} = \int \frac{5 - x}{x} d x$

Etapa 4.3

Integre o lado direito.

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Etapa 4.3.1

Divida a fração em diversas frações.

$- e^{- y} y - e^{- y} + C_{1} = \int \frac{5}{x} + \frac{- x}{x} d x$

Etapa 4.3.2

Divida a integral única em várias integrais.

$- e^{- y} y - e^{- y} + C_{1} = \int \frac{5}{x} d x + \int \frac{- x}{x} d x$

Etapa 4.3.3

Cancele o fator comum de $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.3.1

Cancele o fator comum.

$- e^{- y} y - e^{- y} + C_{1} = \int \frac{5}{x} d x + \int \frac{- x}{x} d x$

Etapa 4.3.3.2

Divida $- 1$ por $1$ .

$- e^{- y} y - e^{- y} + C_{1} = \int \frac{5}{x} d x + \int - 1 d x$

Etapa 4.3.4

Como $5$ é constante com relação a $x$ , mova $5$ para fora da integral.

$- e^{- y} y - e^{- y} + C_{1} = 5 \int \frac{1}{x} d x + \int - 1 d x$

Etapa 4.3.5

A integral de $\frac{1}{x}$ com relação a $x$ é $\ln (| x |)$ .

$- e^{- y} y - e^{- y} + C_{1} = 5 (\ln (| x |) + C_{2}) + \int - 1 d x$

Etapa 4.3.6

Aplique a regra da constante.

$- e^{- y} y - e^{- y} + C_{1} = 5 (\ln (| x |) + C_{2}) - x + C_{3}$

Etapa 4.3.7

Simplifique.

$- e^{- y} y - e^{- y} + C_{1} = 5 \ln (| x |) - x + C_{4}$

Etapa 4.3.8

Reordene os termos.

$- e^{- y} y - e^{- y} + C_{1} = - x + 5 \ln (| x |) + C_{4}$

Etapa 4.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $C$ .

$- e^{- y} y - e^{- y} = - x + 5 \ln (| x |) + C$