Cálculo Exemplos

$\frac{d^{2} y}{d x^{2}} = 5 x^{2} + 1$

Etapa 1

Integre os dois lados com relação a $x$ .

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Etapa 1.1

A primeira derivada é igual à integral da segunda derivada com relação a $x$ .

$\frac{d y}{d x} = \int 5 x^{2} + 1 d x$

Etapa 1.2

Divida a integral única em várias integrais.

$\frac{d y}{d x} = \int 5 x^{2} d x + \int d x$

Etapa 1.3

Como $5$ é constante com relação a $x$ , mova $5$ para fora da integral.

$\frac{d y}{d x} = 5 \int x^{2} d x + \int d x$

Etapa 1.4

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{d y}{d x} = 5 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{1}) + \int d x$

Etapa 1.5

Aplique a regra da constante.

$\frac{d y}{d x} = 5 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{1}) + x + C_{2}$

Etapa 1.6

Simplifique.

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Etapa 1.6.1

Combine $\frac{1}{3}$ e $x^{3}$ .

$\frac{d y}{d x} = 5 (\frac{x^{3}}{3} + C_{1}) + x + C_{2}$

Etapa 1.6.2

Simplifique.

$\frac{d y}{d x} = \frac{5 x^{3}}{3} + x + C_{3}$

Etapa 1.6.3

Reordene os termos.

$\frac{d y}{d x} = \frac{5}{3} x^{3} + x + C_{3}$

Etapa 2

Reescreva a equação.

$d y = (\frac{5}{3} x^{3} + x + C_{3}) d x$

Etapa 3

Integre os dois lados.

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Etapa 3.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int d y = \int \frac{5}{3} x^{3} + x + C_{3} d x$

Etapa 3.2

Aplique a regra da constante.

$y + C_{4} = \int \frac{5}{3} x^{3} + x + C_{3} d x$

Etapa 3.3

Integre o lado direito.

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Etapa 3.3.1

Divida a integral única em várias integrais.

$y + C_{4} = \int \frac{5}{3} x^{3} d x + \int x d x + \int C_{3} d x$

Etapa 3.3.2

Como $\frac{5}{3}$ é constante com relação a $x$ , mova $\frac{5}{3}$ para fora da integral.

$y + C_{4} = \frac{5}{3} \int x^{3} d x + \int x d x + \int C_{3} d x$

Etapa 3.3.3

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{3}$ com relação a $x$ é $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$y + C_{4} = \frac{5}{3} (\frac{1}{4} x^{4} + C_{5}) + \int x d x + \int C_{3} d x$

Etapa 3.3.4

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x$ com relação a $x$ é $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$y + C_{4} = \frac{5}{3} (\frac{1}{4} x^{4} + C_{5}) + \frac{1}{2} x^{2} + C_{6} + \int C_{3} d x$

Etapa 3.3.5

Aplique a regra da constante.

$y + C_{4} = \frac{5}{3} (\frac{1}{4} x^{4} + C_{5}) + \frac{1}{2} x^{2} + C_{6} + C_{3} x + C_{7}$

Etapa 3.3.6

Simplifique.

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Etapa 3.3.6.1

Simplifique.

$y + C_{4} = \frac{5 x^{4}}{12} + \frac{x^{2}}{2} + C_{3} x + C_{8}$

Etapa 3.3.6.2

Reordene os termos.

$y + C_{4} = \frac{5}{12} x^{4} + \frac{1}{2} x^{2} + C_{3} x + C_{8}$

Etapa 3.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $D$ .

$y = \frac{5}{12} x^{4} + \frac{1}{2} x^{2} + C x + D$