Cálculo Exemplos

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \cos (x)}{1 + 2 y^{2}}$

Etapa 1

Separe as variáveis.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Reagrupe os fatores.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{1 + 2 y^{2}} \cos (x)$

Etapa 1.2

Multiplique os dois lados por $\frac{1 + 2 y^{2}}{y}$ .

$\frac{1 + 2 y^{2}}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1 + 2 y^{2}}{y} (\frac{y}{1 + 2 y^{2}} \cos (x))$

Etapa 1.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1

Combine $\frac{y}{1 + 2 y^{2}}$ e $\cos (x)$ .

$\frac{1 + 2 y^{2}}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1 + 2 y^{2}}{y} \cdot \frac{y \cos (x)}{1 + 2 y^{2}}$

Etapa 1.3.2

Cancele o fator comum de $1 + 2 y^{2}$ .

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Etapa 1.3.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1 + 2 y^{2}}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1 + 2 y^{2}}{y} \cdot \frac{y \cos (x)}{1 + 2 y^{2}}$

Etapa 1.3.2.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1 + 2 y^{2}}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y \cos (x))$

Etapa 1.3.3

Cancele o fator comum de $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.3.1

Fatore $y$ de $y \cos (x)$ .

$\frac{1 + 2 y^{2}}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y (\cos (x)))$

Etapa 1.3.3.2

Cancele o fator comum.

$\frac{1 + 2 y^{2}}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y \cos (x))$

Etapa 1.3.3.3

Reescreva a expressão.

$\frac{1 + 2 y^{2}}{y} \frac{d y}{d x} = \cos (x)$

Etapa 1.4

Reescreva a equação.

$\frac{1 + 2 y^{2}}{y} d y = \cos (x) d x$

Etapa 2

Integre os dois lados.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{1 + 2 y^{2}}{y} d y = \int \cos (x) d x$

Etapa 2.2

Integre o lado esquerdo.

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Etapa 2.2.1

Divida a fração em diversas frações.

$\int \frac{1}{y} + \frac{2 y^{2}}{y} d y = \int \cos (x) d x$

Etapa 2.2.2

Divida a integral única em várias integrais.

$\int \frac{1}{y} d y + \int \frac{2 y^{2}}{y} d y = \int \cos (x) d x$

Etapa 2.2.3

Cancele o fator comum de $y^{2}$ e $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.3.1

Fatore $y$ de $2 y^{2}$ .

$\int \frac{1}{y} d y + \int \frac{y (2 y)}{y} d y = \int \cos (x) d x$

Etapa 2.2.3.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.3.2.1

Eleve $y$ à potência de $1$ .

$\int \frac{1}{y} d y + \int \frac{y (2 y)}{y^{1}} d y = \int \cos (x) d x$

Etapa 2.2.3.2.2

Fatore $y$ de $y^{1}$ .

$\int \frac{1}{y} d y + \int \frac{y (2 y)}{y \cdot 1} d y = \int \cos (x) d x$

Etapa 2.2.3.2.3

Cancele o fator comum.

$\int \frac{1}{y} d y + \int \frac{y (2 y)}{y \cdot 1} d y = \int \cos (x) d x$

Etapa 2.2.3.2.4

Reescreva a expressão.

$\int \frac{1}{y} d y + \int \frac{2 y}{1} d y = \int \cos (x) d x$

Etapa 2.2.3.2.5

Divida $2 y$ por $1$ .

$\int \frac{1}{y} d y + \int 2 y d y = \int \cos (x) d x$

Etapa 2.2.4

A integral de $\frac{1}{y}$ com relação a $y$ é $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} + \int 2 y d y = \int \cos (x) d x$

Etapa 2.2.5

Como $2$ é constante com relação a $y$ , mova $2$ para fora da integral.

$\ln (| y |) + C_{1} + 2 \int y d y = \int \cos (x) d x$

Etapa 2.2.6

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $y$ com relação a $y$ é $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} + 2 (\frac{1}{2} y^{2} + C_{2}) = \int \cos (x) d x$

Etapa 2.2.7

Simplifique.

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Etapa 2.2.7.1

Simplifique.

$\ln (| y |) + 2 (\frac{1}{2}) y^{2} + C_{3} = \int \cos (x) d x$

Etapa 2.2.7.2

Simplifique.

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Etapa 2.2.7.2.1

Combine $2$ e $\frac{1}{2}$ .

$\ln (| y |) + \frac{2}{2} y^{2} + C_{3} = \int \cos (x) d x$

Etapa 2.2.7.2.2

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.7.2.2.1

Cancele o fator comum.

$\ln (| y |) + \frac{2}{2} y^{2} + C_{3} = \int \cos (x) d x$

Etapa 2.2.7.2.2.2

Reescreva a expressão.

$\ln (| y |) + 1 y^{2} + C_{3} = \int \cos (x) d x$

Etapa 2.2.7.2.3

Multiplique $y^{2}$ por $1$ .

$\ln (| y |) + y^{2} + C_{3} = \int \cos (x) d x$

Etapa 2.2.8

Reordene os termos.

$y^{2} + \ln (| y |) + C_{3} = \int \cos (x) d x$

Etapa 2.3

A integral de $\cos (x)$ com relação a $x$ é $\sin (x)$ .

$y^{2} + \ln (| y |) + C_{3} = \sin (x) + C_{4}$

Etapa 2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $C$ .

$y^{2} + \ln (| y |) = \sin (x) + C$