Cálculo Exemplos

$\frac{d y}{d x} - 4 y = e^{x}$

Etapa 1

O fator de integração é definido pela fórmula $e^{\int P (x) d x}$ , em que $P (x) = - 4$ .

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Etapa 1.1

Determine a integração.

$e^{\int - 4 d x}$

Etapa 1.2

Aplique a regra da constante.

$e^{- 4 x + C}$

Etapa 1.3

Remova a constante de integração.

$e^{- 4 x}$

Etapa 2

Multiplique cada termo pelo fator de integração $e^{- 4 x}$ .

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Etapa 2.1

Multiplique cada termo por $e^{- 4 x}$ .

$e^{- 4 x} \frac{d y}{d x} + e^{- 4 x} (- 4 y) = e^{- 4 x} e^{x}$

Etapa 2.2

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$e^{- 4 x} \frac{d y}{d x} - 4 e^{- 4 x} y = e^{- 4 x} e^{x}$

Etapa 2.3

Multiplique $e^{- 4 x}$ por $e^{x}$ somando os expoentes.

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Etapa 2.3.1

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$e^{- 4 x} \frac{d y}{d x} - 4 e^{- 4 x} y = e^{- 4 x + x}$

Etapa 2.3.2

Some $- 4 x$ e $x$ .

$e^{- 4 x} \frac{d y}{d x} - 4 e^{- 4 x} y = e^{- 3 x}$

Etapa 2.4

Reordene os fatores em $e^{- 4 x} \frac{d y}{d x} - 4 e^{- 4 x} y = e^{- 3 x}$ .

$e^{- 4 x} \frac{d y}{d x} - 4 y e^{- 4 x} = e^{- 3 x}$

Etapa 3

Reescreva o lado esquerdo como resultado da diferenciação de um produto.

$\frac{d}{d x} [e^{- 4 x} y] = e^{- 3 x}$

Etapa 4

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{d}{d x} [e^{- 4 x} y] d x = \int e^{- 3 x} d x$

Etapa 5

Integre o lado esquerdo.

$e^{- 4 x} y = \int e^{- 3 x} d x$

Etapa 6

Integre o lado direito.

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Etapa 6.1

Deixe $u = - 3 x$ . Depois, $d u = - 3 d x$ , então, $- \frac{1}{3} d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 6.1.1

Deixe $u = - 3 x$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 6.1.1.1

Diferencie $- 3 x$ .

$\frac{d}{d x} [- 3 x]$

Etapa 6.1.1.2

Como $- 3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 3 x$ em relação a $x$ é $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 3 \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 6.1.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- 3 \cdot 1$

Etapa 6.1.1.4

Multiplique $- 3$ por $1$ .

$- 3$

Etapa 6.1.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$e^{- 4 x} y = \int e^{u} \frac{1}{- 3} d u$

Etapa 6.2

Simplifique.

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Etapa 6.2.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$e^{- 4 x} y = \int e^{u} (- \frac{1}{3}) d u$

Etapa 6.2.2

Combine $e^{u}$ e $\frac{1}{3}$ .

$e^{- 4 x} y = \int - \frac{e^{u}}{3} d u$

Etapa 6.3

Como $- 1$ é constante com relação a $u$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$e^{- 4 x} y = - \int \frac{e^{u}}{3} d u$

Etapa 6.4

Como $\frac{1}{3}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{3}$ para fora da integral.

$e^{- 4 x} y = - (\frac{1}{3} \int e^{u} d u)$

Etapa 6.5

A integral de $e^{u}$ com relação a $u$ é $e^{u}$ .

$e^{- 4 x} y = - \frac{1}{3} (e^{u} + C)$

Etapa 6.6

Simplifique.

$e^{- 4 x} y = - \frac{1}{3} e^{u} + C$

Etapa 6.7

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $- 3 x$ .

$e^{- 4 x} y = - \frac{1}{3} e^{- 3 x} + C$

Etapa 7

Divida cada termo em $e^{- 4 x} y = - \frac{1}{3} e^{- 3 x} + C$ por $e^{- 4 x}$ e simplifique.

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Etapa 7.1

Divida cada termo em $e^{- 4 x} y = - \frac{1}{3} e^{- 3 x} + C$ por $e^{- 4 x}$ .

$\frac{e^{- 4 x} y}{e^{- 4 x}} = \frac{- \frac{1}{3} e^{- 3 x}}{e^{- 4 x}} + \frac{C}{e^{- 4 x}}$

Etapa 7.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 7.2.1

Cancele o fator comum de $e^{- 4 x}$ .

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Etapa 7.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{e^{- 4 x} y}{e^{- 4 x}} = \frac{- \frac{1}{3} e^{- 3 x}}{e^{- 4 x}} + \frac{C}{e^{- 4 x}}$

Etapa 7.2.1.2

Divida $y$ por $1$ .

$y = \frac{- \frac{1}{3} e^{- 3 x}}{e^{- 4 x}} + \frac{C}{e^{- 4 x}}$

Etapa 7.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 7.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 7.3.1.1

Cancele o fator comum de $e^{- 3 x}$ e $e^{- 4 x}$ .

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Etapa 7.3.1.1.1

Fatore $e^{- 4 x}$ de $- \frac{1}{3} e^{- 3 x}$ .

$y = \frac{e^{- 4 x} (- \frac{1}{3} e^{x})}{e^{- 4 x}} + \frac{C}{e^{- 4 x}}$

Etapa 7.3.1.1.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 7.3.1.1.2.1

Multiplique por $1$ .

$y = \frac{e^{- 4 x} (- \frac{1}{3} e^{x})}{e^{- 4 x} \cdot 1} + \frac{C}{e^{- 4 x}}$

Etapa 7.3.1.1.2.2

Cancele o fator comum.

$y = \frac{e^{- 4 x} (- \frac{1}{3} e^{x})}{e^{- 4 x} \cdot 1} + \frac{C}{e^{- 4 x}}$

Etapa 7.3.1.1.2.3

Reescreva a expressão.

$y = \frac{- \frac{1}{3} e^{x}}{1} + \frac{C}{e^{- 4 x}}$

Etapa 7.3.1.1.2.4

Divida $- \frac{1}{3} e^{x}$ por $1$ .

$y = - \frac{1}{3} e^{x} + \frac{C}{e^{- 4 x}}$

Etapa 7.3.1.2

Combine $e^{x}$ e $\frac{1}{3}$ .

$y = - \frac{e^{x}}{3} + \frac{C}{e^{- 4 x}}$