Cálculo Exemplos

$(y + 2) d x + (x - 2) d y = 0$

Etapa 1

Subtraia $(y + 2) d x$ dos dois lados da equação.

$(x - 2) d y = - (y + 2) d x$

Etapa 2

Multiplique os dois lados por $\frac{1}{(x - 2) (y + 2)}$ .

$\frac{1}{(x - 2) (y + 2)} (x - 2) d y = \frac{1}{(x - 2) (y + 2)} (- (y + 2)) d x$

Etapa 3

Simplifique.

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Etapa 3.1

Cancele o fator comum de $x - 2$ .

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Etapa 3.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{(x - 2) (y + 2)} (x - 2) d y = \frac{1}{(x - 2) (y + 2)} (- (y + 2)) d x$

Etapa 3.1.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{y + 2} d y = \frac{1}{(x - 2) (y + 2)} (- (y + 2)) d x$

Etapa 3.2

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{1}{y + 2} d y = - \frac{1}{(x - 2) (y + 2)} (y + 2) d x$

Etapa 3.3

Cancele o fator comum de $y + 2$ .

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Etapa 3.3.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{1}{(x - 2) (y + 2)}$ para o numerador.

$\frac{1}{y + 2} d y = \frac{- 1}{(x - 2) (y + 2)} (y + 2) d x$

Etapa 3.3.2

Fatore $y + 2$ de $(x - 2) (y + 2)$ .

$\frac{1}{y + 2} d y = \frac{- 1}{(y + 2) (x - 2)} (y + 2) d x$

Etapa 3.3.3

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{y + 2} d y = \frac{- 1}{(y + 2) (x - 2)} (y + 2) d x$

Etapa 3.3.4

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{y + 2} d y = \frac{- 1}{x - 2} d x$

Etapa 3.4

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{1}{y + 2} d y = - \frac{1}{x - 2} d x$

Etapa 4

Integre os dois lados.

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Etapa 4.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{1}{y + 2} d y = \int - \frac{1}{x - 2} d x$

Etapa 4.2

Integre o lado esquerdo.

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Etapa 4.2.1

Deixe $u_{1} = y + 2$ . Depois, $d u_{1} = d y$ . Reescreva usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

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Etapa 4.2.1.1

Deixe $u_{1} = y + 2$ . Encontre $\frac{d u_{1}}{d y}$ .

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Etapa 4.2.1.1.1

Diferencie $y + 2$ .

$\frac{d}{d y} [y + 2]$

Etapa 4.2.1.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $y + 2$ com relação a $y$ é $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [2]$ .

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [2]$

Etapa 4.2.1.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d y} [2]$

Etapa 4.2.1.1.4

Como $2$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $2$ em relação a $y$ é $0$ .

$1 + 0$

Etapa 4.2.1.1.5

Some $1$ e $0$ .

$1$

Etapa 4.2.1.2

Reescreva o problema usando $u_{1}$ e $d u_{1}$ .

$\int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} = \int - \frac{1}{x - 2} d x$

Etapa 4.2.2

A integral de $\frac{1}{u_{1}}$ com relação a $u_{1}$ é $\ln (| u_{1} |)$ .

$\ln (| u_{1} |) + C_{1} = \int - \frac{1}{x - 2} d x$

Etapa 4.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $y + 2$ .

$\ln (| y + 2 |) + C_{1} = \int - \frac{1}{x - 2} d x$

Etapa 4.3

Integre o lado direito.

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Etapa 4.3.1

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$\ln (| y + 2 |) + C_{1} = - \int \frac{1}{x - 2} d x$

Etapa 4.3.2

Deixe $u_{2} = x - 2$ . Depois, $d u_{2} = d x$ . Reescreva usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

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Etapa 4.3.2.1

Deixe $u_{2} = x - 2$ . Encontre $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Etapa 4.3.2.1.1

Diferencie $x - 2$ .

$\frac{d}{d x} [x - 2]$

Etapa 4.3.2.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - 2$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Etapa 4.3.2.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 2]$

Etapa 4.3.2.1.4

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2$ em relação a $x$ é $0$ .

$1 + 0$

Etapa 4.3.2.1.5

Some $1$ e $0$ .

$1$

Etapa 4.3.2.2

Reescreva o problema usando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$\ln (| y + 2 |) + C_{1} = - \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Etapa 4.3.3

A integral de $\frac{1}{u_{2}}$ com relação a $u_{2}$ é $\ln (| u_{2} |)$ .

$\ln (| y + 2 |) + C_{1} = - (\ln (| u_{2} |) + C_{2})$

Etapa 4.3.4

Simplifique.

$\ln (| y + 2 |) + C_{1} = - \ln (| u_{2} |) + C_{2}$

Etapa 4.3.5

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $x - 2$ .

$\ln (| y + 2 |) + C_{1} = - \ln (| x - 2 |) + C_{2}$

Etapa 4.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $C$ .

$\ln (| y + 2 |) = - \ln (| x - 2 |) + C$

Etapa 5

Resolva $y$ .

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Etapa 5.1

Mova todos os termos que contêm um logaritmo para o lado esquerdo da equação.

$\ln (| y + 2 |) + \ln (| x - 2 |) = C$

Etapa 5.2

Use a propriedade dos logaritmos do produto, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (| y + 2 | | x - 2 |) = C$

Etapa 5.3

Para multiplicar valores absolutos, multiplique os termos dentro de cada um deles.

$\ln (| (y + 2) (x - 2) |) = C$

Etapa 5.4

Expanda $(y + 2) (x - 2)$ usando o método FOIL.

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Etapa 5.4.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\ln (| y (x - 2) + 2 (x - 2) |) = C$

Etapa 5.4.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\ln (| y x + y \cdot - 2 + 2 (x - 2) |) = C$

Etapa 5.4.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\ln (| y x + y \cdot - 2 + 2 x + 2 \cdot - 2 |) = C$

Etapa 5.5

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.5.1

Mova $- 2$ para a esquerda de $y$ .

$\ln (| y x - 2 \cdot y + 2 x + 2 \cdot - 2 |) = C$

Etapa 5.5.2

Multiplique $2$ por $- 2$ .

$\ln (| y x - 2 y + 2 x - 4 |) = C$

Etapa 5.6

Para resolver $y$ , reescreva a equação usando propriedades de logaritmos.

$e^{\ln (| y x - 2 y + 2 x - 4 |)} = e^{C}$

Etapa 5.7

Reescreva $\ln (| y x - 2 y + 2 x - 4 |) = C$ na forma exponencial usando a definição de um logaritmo. Se $x$ e $b$ forem números reais positivos e $b \neq 1$ , então, $\log_{b} (x) = y$ será equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{C} = | y x - 2 y + 2 x - 4 |$

Etapa 5.8

Resolva $y$ .

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Etapa 5.8.1

Reescreva a equação como $| y x - 2 y + 2 x - 4 | = e^{C}$ .

$| y x - 2 y + 2 x - 4 | = e^{C}$

Etapa 5.8.2

Remova o termo de valor absoluto. Isso cria um $\pm$ no lado direito da equação, porque $| x | = \pm x$ .

$y x - 2 y + 2 x - 4 = \pm e^{C}$

Etapa 5.8.3

Mova todos os termos que não contêm $y$ para o lado direito da equação.

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Etapa 5.8.3.1

Subtraia $2 x$ dos dois lados da equação.

$y x - 2 y - 4 = \pm e^{C} - 2 x$

Etapa 5.8.3.2

Some $4$ aos dois lados da equação.

$y x - 2 y = \pm e^{C} - 2 x + 4$

Etapa 5.8.4

Fatore $y$ de $y x - 2 y$ .

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Etapa 5.8.4.1

Fatore $y$ de $y x$ .

$y (x) - 2 y = \pm e^{C} - 2 x + 4$

Etapa 5.8.4.2

Fatore $y$ de $- 2 y$ .

$y (x) + y \cdot - 2 = \pm e^{C} - 2 x + 4$

Etapa 5.8.4.3

Fatore $y$ de $y (x) + y \cdot - 2$ .

$y (x - 2) = \pm e^{C} - 2 x + 4$

Etapa 5.8.5

Divida cada termo em $y (x - 2) = \pm e^{C} - 2 x + 4$ por $x - 2$ e simplifique.

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Etapa 5.8.5.1

Divida cada termo em $y (x - 2) = \pm e^{C} - 2 x + 4$ por $x - 2$ .

$\frac{y (x - 2)}{x - 2} = \frac{\pm e^{C}}{x - 2} + \frac{- 2 x}{x - 2} + \frac{4}{x - 2}$

Etapa 5.8.5.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.8.5.2.1

Cancele o fator comum de $x - 2$ .

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Etapa 5.8.5.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y (x - 2)}{x - 2} = \frac{\pm e^{C}}{x - 2} + \frac{- 2 x}{x - 2} + \frac{4}{x - 2}$

Etapa 5.8.5.2.1.2

Divida $y$ por $1$ .

$y = \frac{\pm e^{C}}{x - 2} + \frac{- 2 x}{x - 2} + \frac{4}{x - 2}$

Etapa 5.8.5.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.8.5.3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y = \frac{\pm e^{C}}{x - 2} - \frac{2 x}{x - 2} + \frac{4}{x - 2}$

Etapa 5.8.5.3.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y = \frac{\pm e^{C} - 2 x}{x - 2} + \frac{4}{x - 2}$

Etapa 5.8.5.3.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y = \frac{\pm e^{C} - 2 x + 4}{x - 2}$

Etapa 6

Simplifique a constante de integração.

$y = \frac{C - 2 x + 4}{x - 2}$