Cálculo Exemplos

$x^{3} d x + {(y + 1)}^{2} d y = 0$

Etapa 1

Subtraia $x^{3} d x$ dos dois lados da equação.

${(y + 1)}^{2} d y = - x^{3} d x$

Etapa 2

Integre os dois lados.

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Etapa 2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int {(y + 1)}^{2} d y = \int - x^{3} d x$

Etapa 2.2

Integre o lado esquerdo.

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Etapa 2.2.1

Deixe $u = y + 1$ . Depois, $d u = d y$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 2.2.1.1

Deixe $u = y + 1$ . Encontre $\frac{d u}{d y}$ .

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Etapa 2.2.1.1.1

Diferencie $y + 1$ .

$\frac{d}{d y} [y + 1]$

Etapa 2.2.1.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $y + 1$ com relação a $y$ é $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$ .

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$

Etapa 2.2.1.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d y} [1]$

Etapa 2.2.1.1.4

Como $1$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $1$ em relação a $y$ é $0$ .

$1 + 0$

Etapa 2.2.1.1.5

Some $1$ e $0$ .

$1$

Etapa 2.2.1.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$\int u^{2} d u = \int - x^{3} d x$

Etapa 2.2.2

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u^{2}$ com relação a $u$ é $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$\frac{1}{3} u^{3} + C_{1} = \int - x^{3} d x$

Etapa 2.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $y + 1$ .

$\frac{1}{3} {(y + 1)}^{3} + C_{1} = \int - x^{3} d x$

Etapa 2.3

Integre o lado direito.

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Etapa 2.3.1

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$\frac{1}{3} {(y + 1)}^{3} + C_{1} = - \int x^{3} d x$

Etapa 2.3.2

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{3}$ com relação a $x$ é $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$\frac{1}{3} {(y + 1)}^{3} + C_{1} = - (\frac{1}{4} x^{4} + C_{2})$

Etapa 2.3.3

Reescreva $- (\frac{1}{4} x^{4} + C_{2})$ como $- \frac{1}{4} x^{4} + C_{2}$ .

$\frac{1}{3} {(y + 1)}^{3} + C_{1} = - \frac{1}{4} x^{4} + C_{2}$

Etapa 2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $K$ .

$\frac{1}{3} {(y + 1)}^{3} = - \frac{1}{4} x^{4} + K$

Etapa 3

Resolva $y$ .

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Etapa 3.1

Multiplique os dois lados da equação por $3$ .

$3 (\frac{1}{3} {(y + 1)}^{3}) = 3 (- \frac{1}{4} x^{4} + K)$

Etapa 3.2

Simplifique os dois lados da equação.

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Etapa 3.2.1

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.2.1.1

Simplifique $3 (\frac{1}{3} {(y + 1)}^{3})$ .

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Etapa 3.2.1.1.1

Combine $\frac{1}{3}$ e ${(y + 1)}^{3}$ .

$3 \frac{{(y + 1)}^{3}}{3} = 3 (- \frac{1}{4} x^{4} + K)$

Etapa 3.2.1.1.2

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 3.2.1.1.2.1

Cancele o fator comum.

$3 \frac{{(y + 1)}^{3}}{3} = 3 (- \frac{1}{4} x^{4} + K)$

Etapa 3.2.1.1.2.2

Reescreva a expressão.

${(y + 1)}^{3} = 3 (- \frac{1}{4} x^{4} + K)$

Etapa 3.2.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.2.2.1

Simplifique $3 (- \frac{1}{4} x^{4} + K)$ .

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Etapa 3.2.2.1.1

Combine $x^{4}$ e $\frac{1}{4}$ .

${(y + 1)}^{3} = 3 (- \frac{x^{4}}{4} + K)$

Etapa 3.2.2.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

${(y + 1)}^{3} = 3 (- \frac{x^{4}}{4}) + 3 K$

Etapa 3.2.2.1.3

Multiplique $3 (- \frac{x^{4}}{4})$ .

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Etapa 3.2.2.1.3.1

Multiplique $- 1$ por $3$ .

${(y + 1)}^{3} = - 3 \frac{x^{4}}{4} + 3 K$

Etapa 3.2.2.1.3.2

Combine $- 3$ e $\frac{x^{4}}{4}$ .

${(y + 1)}^{3} = \frac{- 3 x^{4}}{4} + 3 K$

Etapa 3.2.2.1.4

Mova o número negativo para a frente da fração.

${(y + 1)}^{3} = - \frac{3 x^{4}}{4} + 3 K$

Etapa 3.3

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$y + 1 = \sqrt[3]{- \frac{3 x^{4}}{4} + 3 K}$

Etapa 3.4

Simplifique $\sqrt[3]{- \frac{3 x^{4}}{4} + 3 K}$ .

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Etapa 3.4.1

Reescreva.

$y + 1 = 0 + 0 + \sqrt[3]{- \frac{3 x^{4}}{4} + 3 K}$

Etapa 3.4.2

Simplifique somando os zeros.

$y + 1 = \sqrt[3]{- \frac{3 x^{4}}{4} + 3 K}$

Etapa 3.4.3

Fatore $3$ de $- \frac{3 x^{4}}{4} + 3 K$ .

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Etapa 3.4.3.1

Fatore $3$ de $- \frac{3 x^{4}}{4}$ .

$y + 1 = \sqrt[3]{3 (- \frac{x^{4}}{4}) + 3 K}$

Etapa 3.4.3.2

Fatore $3$ de $3 K$ .

$y + 1 = \sqrt[3]{3 (- \frac{x^{4}}{4}) + 3 K}$

Etapa 3.4.3.3

Fatore $3$ de $3 (- \frac{x^{4}}{4}) + 3 K$ .

$y + 1 = \sqrt[3]{3 (- \frac{x^{4}}{4} + K)}$

Etapa 3.4.4

Para escrever $K$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{4}{4}$ .

$y + 1 = \sqrt[3]{3 (- \frac{x^{4}}{4} + K \cdot \frac{4}{4})}$

Etapa 3.4.5

Simplifique os termos.

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Etapa 3.4.5.1

Combine $K$ e $\frac{4}{4}$ .

$y + 1 = \sqrt[3]{3 (- \frac{x^{4}}{4} + \frac{K \cdot 4}{4})}$

Etapa 3.4.5.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y + 1 = \sqrt[3]{3 \frac{- x^{4} + K \cdot 4}{4}}$

Etapa 3.4.6

Mova $4$ para a esquerda de $K$ .

$y + 1 = \sqrt[3]{3 \frac{- x^{4} + 4 K}{4}}$

Etapa 3.4.7

Combine $3$ e $\frac{- x^{4} + 4 K}{4}$ .

$y + 1 = \sqrt[3]{\frac{3 (- x^{4} + 4 K)}{4}}$

Etapa 3.4.8

Reescreva $\sqrt[3]{\frac{3 (- x^{4} + 4 K)}{4}}$ como $\frac{\sqrt[3]{3 (- x^{4} + 4 K)}}{\sqrt[3]{4}}$ .

$y + 1 = \frac{\sqrt[3]{3 (- x^{4} + 4 K)}}{\sqrt[3]{4}}$

Etapa 3.4.9

Multiplique $\frac{\sqrt[3]{3 (- x^{4} + 4 K)}}{\sqrt[3]{4}}$ por $\frac{{\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{2}}$ .

$y + 1 = \frac{\sqrt[3]{3 (- x^{4} + 4 K)}}{\sqrt[3]{4}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{2}}$

Etapa 3.4.10

Combine e simplifique o denominador.

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Etapa 3.4.10.1

Multiplique $\frac{\sqrt[3]{3 (- x^{4} + 4 K)}}{\sqrt[3]{4}}$ por $\frac{{\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{2}}$ .

$y + 1 = \frac{\sqrt[3]{3 (- x^{4} + 4 K)} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{\sqrt[3]{4} {\sqrt[3]{4}}^{2}}$

Etapa 3.4.10.2

Eleve $\sqrt[3]{4}$ à potência de $1$ .

$y + 1 = \frac{\sqrt[3]{3 (- x^{4} + 4 K)} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{1} {\sqrt[3]{4}}^{2}}$

Etapa 3.4.10.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$y + 1 = \frac{\sqrt[3]{3 (- x^{4} + 4 K)} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{1 + 2}}$

Etapa 3.4.10.4

Some $1$ e $2$ .

$y + 1 = \frac{\sqrt[3]{3 (- x^{4} + 4 K)} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{3}}$

Etapa 3.4.10.5

Reescreva ${\sqrt[3]{4}}^{3}$ como $4$ .

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Etapa 3.4.10.5.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt[3]{4}$ como $4^{\frac{1}{3}}$ .

$y + 1 = \frac{\sqrt[3]{3 (- x^{4} + 4 K)} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{{(4^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

Etapa 3.4.10.5.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y + 1 = \frac{\sqrt[3]{3 (- x^{4} + 4 K)} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{4^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

Etapa 3.4.10.5.3

Combine $\frac{1}{3}$ e $3$ .

$y + 1 = \frac{\sqrt[3]{3 (- x^{4} + 4 K)} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{4^{\frac{3}{3}}}$

Etapa 3.4.10.5.4

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 3.4.10.5.4.1

Cancele o fator comum.

$y + 1 = \frac{\sqrt[3]{3 (- x^{4} + 4 K)} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{4^{\frac{3}{3}}}$

Etapa 3.4.10.5.4.2

Reescreva a expressão.

$y + 1 = \frac{\sqrt[3]{3 (- x^{4} + 4 K)} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{4^{1}}$

Etapa 3.4.10.5.5

Avalie o expoente.

$y + 1 = \frac{\sqrt[3]{3 (- x^{4} + 4 K)} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{4}$

Etapa 3.4.11

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.4.11.1

Reescreva ${\sqrt[3]{4}}^{2}$ como $\sqrt[3]{4^{2}}$ .

$y + 1 = \frac{\sqrt[3]{3 (- x^{4} + 4 K)} \sqrt[3]{4^{2}}}{4}$

Etapa 3.4.11.2

Eleve $4$ à potência de $2$ .

$y + 1 = \frac{\sqrt[3]{3 (- x^{4} + 4 K)} \sqrt[3]{16}}{4}$

Etapa 3.4.11.3

Reescreva $16$ como $2^{3} \cdot 2$ .

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Etapa 3.4.11.3.1

Fatore $8$ de $16$ .

$y + 1 = \frac{\sqrt[3]{3 (- x^{4} + 4 K)} \sqrt[3]{8 (2)}}{4}$

Etapa 3.4.11.3.2

Reescreva $8$ como $2^{3}$ .

$y + 1 = \frac{\sqrt[3]{3 (- x^{4} + 4 K)} \sqrt[3]{2^{3} \cdot 2}}{4}$

Etapa 3.4.11.4

Elimine os termos abaixo do radical.

$y + 1 = \frac{\sqrt[3]{3 (- x^{4} + 4 K)} \cdot 2 \sqrt[3]{2}}{4}$

Etapa 3.4.11.5

Combine expoentes.

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Etapa 3.4.11.5.1

Combine usando a regra do produto para radicais.

$y + 1 = \frac{2 \sqrt[3]{3 (- x^{4} + 4 K) \cdot 2}}{4}$

Etapa 3.4.11.5.2

Multiplique $2$ por $3$ .

$y + 1 = \frac{2 \sqrt[3]{6 (- x^{4} + 4 K)}}{4}$

Etapa 3.4.12

Cancele o fator comum de $2$ e $4$ .

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Etapa 3.4.12.1

Fatore $2$ de $2 \sqrt[3]{6 (- x^{4} + 4 K)}$ .

$y + 1 = \frac{2 \sqrt[3]{6 (- x^{4} + 4 K)}}{4}$

Etapa 3.4.12.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 3.4.12.2.1

Fatore $2$ de $4$ .

$y + 1 = \frac{2 \sqrt[3]{6 (- x^{4} + 4 K)}}{2 \cdot 2}$

Etapa 3.4.12.2.2

Cancele o fator comum.

$y + 1 = \frac{2 \sqrt[3]{6 (- x^{4} + 4 K)}}{2 \cdot 2}$

Etapa 3.4.12.2.3

Reescreva a expressão.

$y + 1 = \frac{\sqrt[3]{6 (- x^{4} + 4 K)}}{2}$

Etapa 3.5

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$y = \frac{\sqrt[3]{6 (- x^{4} + 4 K)}}{2} - 1$

Etapa 3.6

Simplifique $\frac{\sqrt[3]{6 (- x^{4} + 4 K)}}{2} - 1$ .

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Etapa 3.6.1

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{6 (- x^{4} + 4 K)}}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}$

Etapa 3.6.2

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{6 (- x^{4} + 4 K)}}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}$

Etapa 3.6.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y = \frac{\sqrt[3]{6 (- x^{4} + 4 K)} - 1 \cdot 2}{2}$

Etapa 3.6.4

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{6 (- x^{4} + 4 K)} - 2}{2}$

Etapa 4

Simplifique a constante de integração.

$y = \frac{\sqrt[3]{6 (- x^{4} + K)} - 2}{2}$