Cálculo Exemplos

$(y^{2} - 3 y - x) d x + (2 y - 3) d y = 0$

Etapa 1

Encontre $\frac{\partial M}{\partial y}$ em $M (x, y) = y^{2} - 3 y - x$ .

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Etapa 1.1

Diferencie $M$ em relação a $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y^{2} - 3 y - x]$

Etapa 1.2

Diferencie.

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Etapa 1.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $y^{2} - 3 y - x$ com relação a $y$ é $\frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [- 3 y] + \frac{d}{d y} [- x]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [- 3 y] + \frac{d}{d y} [- x]$

Etapa 1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 y + \frac{d}{d y} [- 3 y] + \frac{d}{d y} [- x]$

Etapa 1.3

Avalie $\frac{d}{d y} [- 3 y]$ .

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Etapa 1.3.1

Como $- 3$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $- 3 y$ em relação a $y$ é $- 3 \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 y - 3 \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- x]$

Etapa 1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 y - 3 \cdot 1 + \frac{d}{d y} [- x]$

Etapa 1.3.3

Multiplique $- 3$ por $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 y - 3 + \frac{d}{d y} [- x]$

Etapa 1.4

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 1.4.1

Como $- x$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $- x$ em relação a $y$ é $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 y - 3 + 0$

Etapa 1.4.2

Some $2 y - 3$ e $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 y - 3$

Etapa 2

Encontre $\frac{\partial N}{\partial x}$ em $N (x, y) = 2 y - 3$ .

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Etapa 2.1

Diferencie $N$ em relação a $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [2 y - 3]$

Etapa 2.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 y - 3$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [2 y] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [2 y] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Etapa 2.3

Como $2 y$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 y$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{d}{d x} [- 3]$

Etapa 2.4

Como $- 3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 3$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + 0$

Etapa 2.5

Some $0$ e $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0$

Etapa 3

Verifique se $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Etapa 3.1

Substitua $2 y - 3$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ e $0$ por $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$2 y - 3 = 0$

Etapa 3.2

O lado esquerdo não é igual ao direito. Portanto, a equação não é uma identidade.

$2 y - 3 = 0$ não é uma identidade.

Etapa 4

Encontre o fator de integração $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

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Etapa 4.1

Substitua $2 y - 3$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{2 y - 3 - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

Etapa 4.2

Substitua $0$ por $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{2 y - 3 + 0}{N}$

Etapa 4.3

Substitua $2 y - 3$ por $N$ .

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Etapa 4.3.1

Substitua $2 y - 3$ por $N$ .

$\frac{2 y - 3 + 0}{2 y - 3}$

Etapa 4.3.2

Some $2 y - 3$ e $0$ .

$\frac{2 y - 3}{2 y - 3}$

Etapa 4.3.3

Cancele o fator comum de $2 y - 3$ .

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Etapa 4.3.3.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 y - 3}{2 y - 3}$

Etapa 4.3.3.2

Reescreva a expressão.

$1$

Etapa 4.4

Encontre o fator de integração $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

$μ (x, y) = e^{\int d x}$

Etapa 5

Avalie a integral $e^{\int d x}$ .

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Etapa 5.1

Aplique a regra da constante.

$μ (x, y) = e^{x + C}$

Etapa 5.2

Simplifique.

$μ (x, y) = e^{x} + C$

Etapa 6

Multiplique ambos os lados de $(y^{2} - 3 y - x) d x + (2 y - 3) d y = 0$ pelo fator de integração $e^{x}$ .

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Etapa 6.1

Multiplique $y^{2} - 3 y - x$ por $e^{x}$ .

$(y^{2} - 3 y - x) e^{x} d x + (2 y - 3) d y = 0$

Etapa 6.2

Aplique a propriedade distributiva.

$(y^{2} e^{x} - 3 y e^{x} - x e^{x}) d x + (2 y - 3) d y = 0$

Etapa 6.3

Multiplique $2 y - 3$ por $e^{x}$ .

$(y^{2} e^{x} - 3 y e^{x} - x e^{x}) d x + (2 y - 3) e^{x} d y = 0$

Etapa 6.4

Aplique a propriedade distributiva.

$(y^{2} e^{x} - 3 y e^{x} - x e^{x}) d x + (2 y e^{x} - 3 e^{x}) d y = 0$

Etapa 7

A integral de $f (x, y)$ é $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int 2 y e^{x} - 3 e^{x} d y$

Etapa 8

Integre $N (x, y) = 2 y e^{x} - 3 e^{x}$ para encontrar $f (x, y)$ .

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Etapa 8.1

Divida a integral única em várias integrais.

$f (x, y) = \int 2 y e^{x} d y + \int - 3 e^{x} d y$

Etapa 8.2

Como $2 e^{x}$ é constante com relação a $y$ , mova $2 e^{x}$ para fora da integral.

$f (x, y) = 2 e^{x} \int y d y + \int - 3 e^{x} d y$

Etapa 8.3

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $y$ com relação a $y$ é $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$f (x, y) = 2 e^{x} (\frac{1}{2} y^{2} + C) + \int - 3 e^{x} d y$

Etapa 8.4

Aplique a regra da constante.

$f (x, y) = 2 e^{x} (\frac{1}{2} y^{2} + C) - 3 e^{x} y + C$

Etapa 8.5

Combine $\frac{1}{2}$ e $y^{2}$ .

$f (x, y) = 2 e^{x} (\frac{y^{2}}{2} + C) - 3 e^{x} y + C$

Etapa 8.6

Simplifique.

$f (x, y) = e^{x} y^{2} - 3 e^{x} y + C$

Etapa 9

Como a integral de $g (x)$ conterá uma constante de integração, podemos substituir $C$ por $g (x)$ .

$f (x, y) = e^{x} y^{2} - 3 e^{x} y + g (x)$

Etapa 10

Defina $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = y^{2} e^{x} - 3 y e^{x} - x e^{x}$

Etapa 11

Encontre $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

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Etapa 11.1

Diferencie $f$ em relação a $x$ .

$\frac{d}{d x} [e^{x} y^{2} - 3 e^{x} y + g (x)] = y^{2} e^{x} - 3 y e^{x} - x e^{x}$

Etapa 11.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $e^{x} y^{2} - 3 e^{x} y + g (x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [e^{x} y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 e^{x} y] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [e^{x} y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 e^{x} y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = y^{2} e^{x} - 3 y e^{x} - x e^{x}$

Etapa 11.3

Avalie $\frac{d}{d x} [e^{x} y^{2}]$ .

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Etapa 11.3.1

Como $y^{2}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $e^{x} y^{2}$ em relação a $x$ é $y^{2} \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$y^{2} \frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 3 e^{x} y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = y^{2} e^{x} - 3 y e^{x} - x e^{x}$

Etapa 11.3.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ é $a^{x} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$y^{2} e^{x} + \frac{d}{d x} [- 3 e^{x} y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = y^{2} e^{x} - 3 y e^{x} - x e^{x}$

Etapa 11.4

Avalie $\frac{d}{d x} [- 3 e^{x} y]$ .

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Etapa 11.4.1

Como $- 3 y$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 3 e^{x} y$ em relação a $x$ é $- 3 y \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$y^{2} e^{x} - 3 y \frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = y^{2} e^{x} - 3 y e^{x} - x e^{x}$

Etapa 11.4.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ é $a^{x} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$y^{2} e^{x} - 3 y e^{x} + \frac{d}{d x} [g (x)] = y^{2} e^{x} - 3 y e^{x} - x e^{x}$

Etapa 11.5

Diferencie usando a regra da função que afirma que a derivada de $g (x)$ é $\frac{d g}{d x}$ .

$y^{2} e^{x} - 3 y e^{x} + \frac{d g}{d x} = y^{2} e^{x} - 3 y e^{x} - x e^{x}$

Etapa 11.6

Simplifique.

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Etapa 11.6.1

Reordene os termos.

$\frac{d g}{d x} + e^{x} y^{2} - 3 e^{x} y = y^{2} e^{x} - 3 y e^{x} - x e^{x}$

Etapa 11.6.2

Reordene os fatores em $\frac{d g}{d x} + e^{x} y^{2} - 3 e^{x} y$ .

$\frac{d g}{d x} + y^{2} e^{x} - 3 y e^{x} = y^{2} e^{x} - 3 y e^{x} - x e^{x}$

Etapa 12

Resolva $\frac{d g}{d x}$ .

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Etapa 12.1

Mova todos os termos que não contêm $\frac{d g}{d x}$ para o lado direito da equação.

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Etapa 12.1.1

Subtraia $y^{2} e^{x}$ dos dois lados da equação.

$\frac{d g}{d x} - 3 y e^{x} = y^{2} e^{x} - 3 y e^{x} - x e^{x} - y^{2} e^{x}$

Etapa 12.1.2

Some $3 y e^{x}$ aos dois lados da equação.

$\frac{d g}{d x} = y^{2} e^{x} - 3 y e^{x} - x e^{x} - y^{2} e^{x} + 3 y e^{x}$

Etapa 12.1.3

Combine os termos opostos em $y^{2} e^{x} - 3 y e^{x} - x e^{x} - y^{2} e^{x} + 3 y e^{x}$ .

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Etapa 12.1.3.1

Subtraia $y^{2} e^{x}$ de $y^{2} e^{x}$ .

$\frac{d g}{d x} = - 3 y e^{x} - x e^{x} + 0 + 3 y e^{x}$

Etapa 12.1.3.2

Some $- 3 y e^{x} - x e^{x}$ e $0$ .

$\frac{d g}{d x} = - 3 y e^{x} - x e^{x} + 3 y e^{x}$

Etapa 12.1.3.3

Some $- 3 y e^{x}$ e $3 y e^{x}$ .

$\frac{d g}{d x} = - x e^{x} + 0$

Etapa 12.1.3.4

Some $- x e^{x}$ e $0$ .

$\frac{d g}{d x} = - x e^{x}$

Etapa 13

Encontre a antiderivada de $- x e^{x}$ para encontrar $g (x)$ .

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Etapa 13.1

Integre ambos os lados de $\frac{d g}{d x} = - x e^{x}$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int - x e^{x} d x$

Etapa 13.2

Avalie $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int - x e^{x} d x$

Etapa 13.3

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$g (x) = - \int x e^{x} d x$

Etapa 13.4

Integre por partes usando a fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , em que $u = x$ e $d v = e^{x}$ .

$g (x) = - (x e^{x} - \int e^{x} d x)$

Etapa 13.5

A integral de $e^{x}$ com relação a $x$ é $e^{x}$ .

$g (x) = - (x e^{x} - (e^{x} + C))$

Etapa 13.6

Simplifique.

$g (x) = - (x e^{x} - e^{x}) + C$

Etapa 14

Substitua por $g (x)$ em $f (x, y) = e^{x} y^{2} - 3 e^{x} y + g (x)$ .

$f (x, y) = e^{x} y^{2} - 3 e^{x} y - (x e^{x} - e^{x}) + C$

Etapa 15

Simplifique $f (x, y) = e^{x} y^{2} - 3 e^{x} y - (x e^{x} - e^{x}) + C$ .

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Etapa 15.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 15.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f (x, y) = e^{x} y^{2} - 3 e^{x} y - (x e^{x}) - - e^{x} + C$

Etapa 15.1.2

Multiplique $- - e^{x}$ .

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Etapa 15.1.2.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$f (x, y) = e^{x} y^{2} - 3 e^{x} y - x e^{x} + 1 e^{x} + C$

Etapa 15.1.2.2

Multiplique $e^{x}$ por $1$ .

$f (x, y) = e^{x} y^{2} - 3 e^{x} y - x e^{x} + e^{x} + C$

Etapa 15.2

Reordene os fatores em $f (x, y) = e^{x} y^{2} - 3 e^{x} y - x e^{x} + e^{x} + C$ .

$f (x, y) = y^{2} e^{x} - 3 y e^{x} - x e^{x} + e^{x} + C$