Cálculo Exemplos

$x (1 + 3 y^{2}) d y - (1 + 2 x^{2}) d x = 0$

Etapa 1

Some $(1 + 2 x^{2}) d x$ aos dois lados da equação.

$x (1 + 3 y^{2}) d y = (1 + 2 x^{2}) d x$

Etapa 2

Multiplique os dois lados por $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{x} (x (1 + 3 y^{2})) d y = \frac{1}{x} (1 + 2 x^{2}) d x$

Etapa 3

Simplifique.

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Etapa 3.1

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 3.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{x} (x (1 + 3 y^{2})) d y = \frac{1}{x} (1 + 2 x^{2}) d x$

Etapa 3.1.2

Reescreva a expressão.

$(1 + 3 y^{2}) d y = \frac{1}{x} (1 + 2 x^{2}) d x$

Etapa 3.2

Multiplique $\frac{1}{x}$ por $1 + 2 x^{2}$ .

$(1 + 3 y^{2}) d y = \frac{1 + 2 x^{2}}{x} d x$

Etapa 4

Integre os dois lados.

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Etapa 4.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int 1 + 3 y^{2} d y = \int \frac{1 + 2 x^{2}}{x} d x$

Etapa 4.2

Integre o lado esquerdo.

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Etapa 4.2.1

Divida a integral única em várias integrais.

$\int d y + \int 3 y^{2} d y = \int \frac{1 + 2 x^{2}}{x} d x$

Etapa 4.2.2

Aplique a regra da constante.

$y + C_{1} + \int 3 y^{2} d y = \int \frac{1 + 2 x^{2}}{x} d x$

Etapa 4.2.3

Como $3$ é constante com relação a $y$ , mova $3$ para fora da integral.

$y + C_{1} + 3 \int y^{2} d y = \int \frac{1 + 2 x^{2}}{x} d x$

Etapa 4.2.4

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $y^{2}$ com relação a $y$ é $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$y + C_{1} + 3 (\frac{1}{3} y^{3} + C_{2}) = \int \frac{1 + 2 x^{2}}{x} d x$

Etapa 4.2.5

Simplifique.

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Etapa 4.2.5.1

Simplifique.

$y + 3 (\frac{1}{3}) y^{3} + C_{3} = \int \frac{1 + 2 x^{2}}{x} d x$

Etapa 4.2.5.2

Simplifique.

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Etapa 4.2.5.2.1

Combine $3$ e $\frac{1}{3}$ .

$y + \frac{3}{3} y^{3} + C_{3} = \int \frac{1 + 2 x^{2}}{x} d x$

Etapa 4.2.5.2.2

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 4.2.5.2.2.1

Cancele o fator comum.

$y + \frac{3}{3} y^{3} + C_{3} = \int \frac{1 + 2 x^{2}}{x} d x$

Etapa 4.2.5.2.2.2

Reescreva a expressão.

$y + 1 y^{3} + C_{3} = \int \frac{1 + 2 x^{2}}{x} d x$

Etapa 4.2.5.2.3

Multiplique $y^{3}$ por $1$ .

$y + y^{3} + C_{3} = \int \frac{1 + 2 x^{2}}{x} d x$

Etapa 4.2.6

Reordene os termos.

$y^{3} + y + C_{3} = \int \frac{1 + 2 x^{2}}{x} d x$

Etapa 4.3

Integre o lado direito.

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Etapa 4.3.1

Divida a fração em diversas frações.

$y^{3} + y + C_{3} = \int \frac{1}{x} + \frac{2 x^{2}}{x} d x$

Etapa 4.3.2

Divida a integral única em várias integrais.

$y^{3} + y + C_{3} = \int \frac{1}{x} d x + \int \frac{2 x^{2}}{x} d x$

Etapa 4.3.3

Cancele o fator comum de $x^{2}$ e $x$ .

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Etapa 4.3.3.1

Fatore $x$ de $2 x^{2}$ .

$y^{3} + y + C_{3} = \int \frac{1}{x} d x + \int \frac{x (2 x)}{x} d x$

Etapa 4.3.3.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 4.3.3.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$y^{3} + y + C_{3} = \int \frac{1}{x} d x + \int \frac{x (2 x)}{x^{1}} d x$

Etapa 4.3.3.2.2

Fatore $x$ de $x^{1}$ .

$y^{3} + y + C_{3} = \int \frac{1}{x} d x + \int \frac{x (2 x)}{x \cdot 1} d x$

Etapa 4.3.3.2.3

Cancele o fator comum.

$y^{3} + y + C_{3} = \int \frac{1}{x} d x + \int \frac{x (2 x)}{x \cdot 1} d x$

Etapa 4.3.3.2.4

Reescreva a expressão.

$y^{3} + y + C_{3} = \int \frac{1}{x} d x + \int \frac{2 x}{1} d x$

Etapa 4.3.3.2.5

Divida $2 x$ por $1$ .

$y^{3} + y + C_{3} = \int \frac{1}{x} d x + \int 2 x d x$

Etapa 4.3.4

A integral de $\frac{1}{x}$ com relação a $x$ é $\ln (| x |)$ .

$y^{3} + y + C_{3} = \ln (| x |) + C_{4} + \int 2 x d x$

Etapa 4.3.5

Como $2$ é constante com relação a $x$ , mova $2$ para fora da integral.

$y^{3} + y + C_{3} = \ln (| x |) + C_{4} + 2 \int x d x$

Etapa 4.3.6

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x$ com relação a $x$ é $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$y^{3} + y + C_{3} = \ln (| x |) + C_{4} + 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{5})$

Etapa 4.3.7

Simplifique.

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Etapa 4.3.7.1

Simplifique.

$y^{3} + y + C_{3} = \ln (| x |) + 2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{6}$

Etapa 4.3.7.2

Simplifique.

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Etapa 4.3.7.2.1

Combine $2$ e $\frac{1}{2}$ .

$y^{3} + y + C_{3} = \ln (| x |) + \frac{2}{2} x^{2} + C_{6}$

Etapa 4.3.7.2.2

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.7.2.2.1

Cancele o fator comum.

$y^{3} + y + C_{3} = \ln (| x |) + \frac{2}{2} x^{2} + C_{6}$

Etapa 4.3.7.2.2.2

Reescreva a expressão.

$y^{3} + y + C_{3} = \ln (| x |) + 1 x^{2} + C_{6}$

Etapa 4.3.7.2.3

Multiplique $x^{2}$ por $1$ .

$y^{3} + y + C_{3} = \ln (| x |) + x^{2} + C_{6}$

Etapa 4.3.8

Reordene os termos.

$y^{3} + y + C_{3} = x^{2} + \ln (| x |) + C_{6}$

Etapa 4.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $C$ .

$y^{3} + y = x^{2} + \ln (| x |) + C$