Cálculo Exemplos

$\frac{d y}{d x} = \frac{{(1 - \tan (x))}^{5}}{\cos^{2} (x)}$

Etapa 1

Reescreva a equação.

$d y = \frac{{(1 - \tan (x))}^{5}}{\cos^{2} (x)} d x$

Etapa 2

Integre os dois lados.

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Etapa 2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int d y = \int \frac{{(1 - \tan (x))}^{5}}{\cos^{2} (x)} d x$

Etapa 2.2

Aplique a regra da constante.

$y + C_{1} = \int \frac{{(1 - \tan (x))}^{5}}{\cos^{2} (x)} d x$

Etapa 2.3

Integre o lado direito.

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Etapa 2.3.1

Converta de $\frac{1}{\cos^{2} (x)}$ em $\sec^{2} (x)$ .

$y + C_{1} = \int {(1 - \tan (x))}^{5} \sec^{2} (x) d x$

Etapa 2.3.2

Deixe $u = 1 - \tan (x)$ . Depois, $d u = - \sec^{2} (x) d x$ , então, $- \frac{1}{\sec^{2} (x)} d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 2.3.2.1

Deixe $u = 1 - \tan (x)$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 2.3.2.1.1

Diferencie $1 - \tan (x)$ .

$\frac{d}{d x} [1 - \tan (x)]$

Etapa 2.3.2.1.2

Diferencie.

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Etapa 2.3.2.1.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $1 - \tan (x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \tan (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \tan (x)]$

Etapa 2.3.2.1.2.2

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- \tan (x)]$

Etapa 2.3.2.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- \tan (x)]$ .

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Etapa 2.3.2.1.3.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- \tan (x)$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [\tan (x)]$ .

$0 - \frac{d}{d x} [\tan (x)]$

Etapa 2.3.2.1.3.2

A derivada de $\tan (x)$ em relação a $x$ é $\sec^{2} (x)$ .

$0 - \sec^{2} (x)$

Etapa 2.3.2.1.4

Subtraia $\sec^{2} (x)$ de $0$ .

$- \sec^{2} (x)$

Etapa 2.3.2.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$y + C_{1} = \int - u^{5} d u$

Etapa 2.3.3

Como $- 1$ é constante com relação a $u$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$y + C_{1} = - \int u^{5} d u$

Etapa 2.3.4

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u^{5}$ com relação a $u$ é $\frac{1}{6} u^{6}$ .

$y + C_{1} = - (\frac{1}{6} u^{6} + C_{2})$

Etapa 2.3.5

Reescreva $- (\frac{1}{6} u^{6} + C_{2})$ como $- \frac{1}{6} u^{6} + C_{2}$ .

$y + C_{1} = - \frac{1}{6} u^{6} + C_{2}$

Etapa 2.3.6

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $1 - \tan (x)$ .

$y + C_{1} = - \frac{1}{6} {(1 - \tan (x))}^{6} + C_{2}$

Etapa 2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $K$ .

$y = - \frac{1}{6} {(1 - \tan (x))}^{6} + K$