Cálculo Exemplos

$\frac{d y}{d x} + x y = x y^{2}$

Etapa 1

Para resolver a equação diferencial, deixe $v = y^{1 - n}$ , em que $n$ é o expoente de $y^{2}$ .

$v = y^{- 1}$

Etapa 2

Resolva a equação para $y$ .

$y = v^{- 1}$

Etapa 3

Calcule a derivada de $y$ com relação a $x$ .

$y' = v^{- 1}$

Etapa 4

Calcule a derivada de $v^{- 1}$ com relação a $x$ .

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Etapa 4.1

Calcule a derivada de $v^{- 1}$ .

$y' = \frac{d}{d x} [v^{- 1}]$

Etapa 4.2

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$y' = \frac{d}{d x} [\frac{1}{v}]$

Etapa 4.3

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = 1$ e $g (x) = v$ .

$y' = \frac{v \frac{d}{d x} [1] - 1 \cdot 1 \frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

Etapa 4.4

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 4.4.1

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$y' = \frac{v \frac{d}{d x} [1] - \frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

Etapa 4.4.2

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$y' = \frac{v \cdot 0 - \frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

Etapa 4.4.3

Simplifique a expressão.

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Etapa 4.4.3.1

Multiplique $v$ por $0$ .

$y' = \frac{0 - \frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

Etapa 4.4.3.2

Subtraia $\frac{d}{d x} [v]$ de $0$ .

$y' = \frac{- \frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

Etapa 4.4.3.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y' = - \frac{\frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

Etapa 4.5

Reescreva $\frac{d}{d x} [v]$ como $v'$ .

$y' = - \frac{v'}{v^{2}}$

Etapa 5

Substitua $- \frac{v'}{v^{2}}$ por $\frac{d y}{d x}$ e $v^{- 1}$ por $y$ na equação original $\frac{d y}{d x} + x y = x y^{2}$ .

$- \frac{v'}{v^{2}} + x v^{- 1} = x {(v^{- 1})}^{2}$

Etapa 6

Resolva a equação diferencial substituída.

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Etapa 6.1

Separe as variáveis.

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Etapa 6.1.1

Resolva $\frac{d v}{d x}$ .

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Etapa 6.1.1.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 6.1.1.1.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} + x \frac{1}{v} = x {(v^{- 1})}^{2}$

Etapa 6.1.1.1.2

Combine $x$ e $\frac{1}{v}$ .

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} + \frac{x}{v} = x {(v^{- 1})}^{2}$

Etapa 6.1.1.2

Simplifique $x {(v^{- 1})}^{2}$ .

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Etapa 6.1.1.2.1

Multiplique os expoentes em ${(v^{- 1})}^{2}$ .

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Etapa 6.1.1.2.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} + \frac{x}{v} = x v^{- 1 \cdot 2}$

Etapa 6.1.1.2.1.2

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} + \frac{x}{v} = x v^{- 2}$

Etapa 6.1.1.2.2

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} + \frac{x}{v} = x \frac{1}{v^{2}}$

Etapa 6.1.1.2.3

Combine $x$ e $\frac{1}{v^{2}}$ .

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} + \frac{x}{v} = \frac{x}{v^{2}}$

Etapa 6.1.1.3

Subtraia $\frac{x}{v}$ dos dois lados da equação.

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} = \frac{x}{v^{2}} - \frac{x}{v}$

Etapa 6.1.1.4

Divida cada termo em $- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} = \frac{x}{v^{2}} - \frac{x}{v}$ por $- 1$ e simplifique.

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Etapa 6.1.1.4.1

Divida cada termo em $- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} = \frac{x}{v^{2}} - \frac{x}{v}$ por $- 1$ .

$\frac{- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}}}{- 1} = \frac{\frac{x}{v^{2}}}{- 1} + \frac{- \frac{x}{v}}{- 1}$

Etapa 6.1.1.4.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 6.1.1.4.2.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\frac{\frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}}}{1} = \frac{\frac{x}{v^{2}}}{- 1} + \frac{- \frac{x}{v}}{- 1}$

Etapa 6.1.1.4.2.2

Divida $\frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}}$ por $1$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} = \frac{\frac{x}{v^{2}}}{- 1} + \frac{- \frac{x}{v}}{- 1}$

Etapa 6.1.1.4.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 6.1.1.4.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 6.1.1.4.3.1.1

Mova o número negativo do denominador de $\frac{\frac{x}{v^{2}}}{- 1}$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} = - 1 \cdot \frac{x}{v^{2}} + \frac{- \frac{x}{v}}{- 1}$

Etapa 6.1.1.4.3.1.2

Reescreva $- 1 \cdot \frac{x}{v^{2}}$ como $- \frac{x}{v^{2}}$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} = - \frac{x}{v^{2}} + \frac{- \frac{x}{v}}{- 1}$

Etapa 6.1.1.4.3.1.3

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} = - \frac{x}{v^{2}} + \frac{\frac{x}{v}}{1}$

Etapa 6.1.1.4.3.1.4

Divida $\frac{x}{v}$ por $1$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} = - \frac{x}{v^{2}} + \frac{x}{v}$

Etapa 6.1.1.5

Multiplique os dois lados por $v^{2}$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} v^{2} = (- \frac{x}{v^{2}} + \frac{x}{v}) v^{2}$

Etapa 6.1.1.6

Simplifique.

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Etapa 6.1.1.6.1

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 6.1.1.6.1.1

Cancele o fator comum de $v^{2}$ .

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Etapa 6.1.1.6.1.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} v^{2} = (- \frac{x}{v^{2}} + \frac{x}{v}) v^{2}$

Etapa 6.1.1.6.1.1.2

Reescreva a expressão.

$\frac{d v}{d x} = (- \frac{x}{v^{2}} + \frac{x}{v}) v^{2}$

Etapa 6.1.1.6.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 6.1.1.6.2.1

Simplifique $(- \frac{x}{v^{2}} + \frac{x}{v}) v^{2}$ .

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Etapa 6.1.1.6.2.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{d v}{d x} = - \frac{x}{v^{2}} v^{2} + \frac{x}{v} v^{2}$

Etapa 6.1.1.6.2.1.2

Cancele o fator comum de $v^{2}$ .

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Etapa 6.1.1.6.2.1.2.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{x}{v^{2}}$ para o numerador.

$\frac{d v}{d x} = \frac{- x}{v^{2}} v^{2} + \frac{x}{v} v^{2}$

Etapa 6.1.1.6.2.1.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{d v}{d x} = \frac{- x}{v^{2}} v^{2} + \frac{x}{v} v^{2}$

Etapa 6.1.1.6.2.1.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{d v}{d x} = - x + \frac{x}{v} v^{2}$

Etapa 6.1.1.6.2.1.3

Cancele o fator comum de $v$ .

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Etapa 6.1.1.6.2.1.3.1

Fatore $v$ de $v^{2}$ .

$\frac{d v}{d x} = - x + \frac{x}{v} (v \cdot v)$

Etapa 6.1.1.6.2.1.3.2

Cancele o fator comum.

$\frac{d v}{d x} = - x + \frac{x}{v} (v \cdot v)$

Etapa 6.1.1.6.2.1.3.3

Reescreva a expressão.

$\frac{d v}{d x} = - x + x v$

Etapa 6.1.1.6.2.1.4

Simplifique com comutação.

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Etapa 6.1.1.6.2.1.4.1

Reordene $x$ e $v$ .

$\frac{d v}{d x} = - x + v x$

Etapa 6.1.1.6.2.1.4.2

Reordene $- x$ e $v x$ .

$\frac{d v}{d x} = v x - x$

Etapa 6.1.2

Fatore $x$ de $v x - x$ .

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Etapa 6.1.2.1

Fatore $x$ de $v x$ .

$\frac{d v}{d x} = x v - x$

Etapa 6.1.2.2

Fatore $x$ de $- x$ .

$\frac{d v}{d x} = x v + x \cdot - 1$

Etapa 6.1.2.3

Fatore $x$ de $x v + x \cdot - 1$ .

$\frac{d v}{d x} = x (v - 1)$

Etapa 6.1.3

Multiplique os dois lados por $\frac{1}{v - 1}$ .

$\frac{1}{v - 1} \frac{d v}{d x} = \frac{1}{v - 1} (x (v - 1))$

Etapa 6.1.4

Cancele o fator comum de $v - 1$ .

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Etapa 6.1.4.1

Fatore $v - 1$ de $x (v - 1)$ .

$\frac{1}{v - 1} \frac{d v}{d x} = \frac{1}{v - 1} ((v - 1) x)$

Etapa 6.1.4.2

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{v - 1} \frac{d v}{d x} = \frac{1}{v - 1} ((v - 1) x)$

Etapa 6.1.4.3

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{v - 1} \frac{d v}{d x} = x$

Etapa 6.1.5

Reescreva a equação.

$\frac{1}{v - 1} d v = x d x$

Etapa 6.2

Integre os dois lados.

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Etapa 6.2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{1}{v - 1} d v = \int x d x$

Etapa 6.2.2

Integre o lado esquerdo.

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Etapa 6.2.2.1

Deixe $u = v - 1$ . Depois, $d u = d v$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 6.2.2.1.1

Deixe $u = v - 1$ . Encontre $\frac{d u}{d v}$ .

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Etapa 6.2.2.1.1.1

Diferencie $v - 1$ .

$\frac{d}{d v} [v - 1]$

Etapa 6.2.2.1.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $v - 1$ com relação a $v$ é $\frac{d}{d v} [v] + \frac{d}{d v} [- 1]$ .

$\frac{d}{d v} [v] + \frac{d}{d v} [- 1]$

Etapa 6.2.2.1.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d v} [v^{n}]$ é $n v^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d v} [- 1]$

Etapa 6.2.2.1.1.4

Como $- 1$ é constante em relação a $v$ , a derivada de $- 1$ em relação a $v$ é $0$ .

$1 + 0$

Etapa 6.2.2.1.1.5

Some $1$ e $0$ .

$1$

Etapa 6.2.2.1.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$\int \frac{1}{u} d u = \int x d x$

Etapa 6.2.2.2

A integral de $\frac{1}{u}$ com relação a $u$ é $\ln (| u |)$ .

$\ln (| u |) + C_{1} = \int x d x$

Etapa 6.2.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $v - 1$ .

$\ln (| v - 1 |) + C_{1} = \int x d x$

Etapa 6.2.3

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x$ com relação a $x$ é $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\ln (| v - 1 |) + C_{1} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{2}$

Etapa 6.2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $C$ .

$\ln (| v - 1 |) = \frac{1}{2} x^{2} + C$

Etapa 6.3

Resolva $v$ .

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Etapa 6.3.1

Para resolver $v$ , reescreva a equação usando propriedades de logaritmos.

$e^{\ln (| v - 1 |)} = e^{\frac{1}{2} x^{2} + C}$

Etapa 6.3.2

Reescreva $\ln (| v - 1 |) = \frac{1}{2} x^{2} + C$ na forma exponencial usando a definição de um logaritmo. Se $x$ e $b$ forem números reais positivos e $b \neq 1$ , então, $\log_{b} (x) = y$ será equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{\frac{1}{2} x^{2} + C} = | v - 1 |$

Etapa 6.3.3

Resolva $v$ .

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Etapa 6.3.3.1

Reescreva a equação como $| v - 1 | = e^{\frac{1}{2} x^{2} + C}$ .

$| v - 1 | = e^{\frac{1}{2} x^{2} + C}$

Etapa 6.3.3.2

Combine $\frac{1}{2}$ e $x^{2}$ .

$| v - 1 | = e^{\frac{x^{2}}{2} + C}$

Etapa 6.3.3.3

Remova o termo de valor absoluto. Isso cria um $\pm$ no lado direito da equação, porque $| x | = \pm x$ .

$v - 1 = \pm e^{\frac{x^{2}}{2} + C}$

Etapa 6.3.3.4

Some $1$ aos dois lados da equação.

$v = \pm e^{\frac{x^{2}}{2} + C} + 1$

Etapa 6.4

Agrupe os termos da constante.

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Etapa 6.4.1

Reescreva $e^{\frac{x^{2}}{2} + C}$ como $e^{\frac{x^{2}}{2}} e^{C}$ .

$v = \pm e^{\frac{x^{2}}{2}} e^{C} + 1$

Etapa 6.4.2

Reordene $e^{\frac{x^{2}}{2}}$ e $e^{C}$ .

$v = \pm e^{C} e^{\frac{x^{2}}{2}} + 1$

Etapa 6.4.3

Combine constantes com o sinal de mais ou menos.

$v = C e^{\frac{x^{2}}{2}} + 1$

Etapa 7

Substitua $y^{- 1}$ por $v$ .

$y^{- 1} = C e^{\frac{x^{2}}{2}} + 1$