Cálculo Exemplos

$y^{2} d x + 2 x y d y = 0$

Etapa 1

Subtraia $y^{2} d x$ dos dois lados da equação.

$2 x y d y = - y^{2} d x$

Etapa 2

Multiplique os dois lados por $\frac{1}{x y^{2}}$ .

$\frac{1}{x y^{2}} (2 x y) d y = \frac{1}{x y^{2}} (- y^{2}) d x$

Etapa 3

Simplifique.

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Etapa 3.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$2 \frac{1}{x y^{2}} (x y) d y = \frac{1}{x y^{2}} (- y^{2}) d x$

Etapa 3.2

Combine $2$ e $\frac{1}{x y^{2}}$ .

$\frac{2}{x y^{2}} (x y) d y = \frac{1}{x y^{2}} (- y^{2}) d x$

Etapa 3.3

Cancele o fator comum de $x y$ .

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Etapa 3.3.1

Fatore $x y$ de $x y^{2}$ .

$\frac{2}{x y (y)} (x y) d y = \frac{1}{x y^{2}} (- y^{2}) d x$

Etapa 3.3.2

Cancele o fator comum.

$\frac{2}{x y \cdot y} (x y) d y = \frac{1}{x y^{2}} (- y^{2}) d x$

Etapa 3.3.3

Reescreva a expressão.

$\frac{2}{y} d y = \frac{1}{x y^{2}} (- y^{2}) d x$

Etapa 3.4

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{2}{y} d y = - \frac{1}{x y^{2}} y^{2} d x$

Etapa 3.5

Cancele o fator comum de $y^{2}$ .

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Etapa 3.5.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{1}{x y^{2}}$ para o numerador.

$\frac{2}{y} d y = \frac{- 1}{x y^{2}} y^{2} d x$

Etapa 3.5.2

Fatore $y^{2}$ de $x y^{2}$ .

$\frac{2}{y} d y = \frac{- 1}{y^{2} x} y^{2} d x$

Etapa 3.5.3

Cancele o fator comum.

$\frac{2}{y} d y = \frac{- 1}{y^{2} x} y^{2} d x$

Etapa 3.5.4

Reescreva a expressão.

$\frac{2}{y} d y = \frac{- 1}{x} d x$

Etapa 3.6

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{2}{y} d y = - \frac{1}{x} d x$

Etapa 4

Integre os dois lados.

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Etapa 4.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{2}{y} d y = \int - \frac{1}{x} d x$

Etapa 4.2

Integre o lado esquerdo.

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Etapa 4.2.1

Como $2$ é constante com relação a $y$ , mova $2$ para fora da integral.

$2 \int \frac{1}{y} d y = \int - \frac{1}{x} d x$

Etapa 4.2.2

A integral de $\frac{1}{y}$ com relação a $y$ é $\ln (| y |)$ .

$2 (\ln (| y |) + C_{1}) = \int - \frac{1}{x} d x$

Etapa 4.2.3

Simplifique.

$2 \ln (| y |) + C_{1} = \int - \frac{1}{x} d x$

Etapa 4.3

Integre o lado direito.

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Etapa 4.3.1

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$2 \ln (| y |) + C_{1} = - \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 4.3.2

A integral de $\frac{1}{x}$ com relação a $x$ é $\ln (| x |)$ .

$2 \ln (| y |) + C_{1} = - (\ln (| x |) + C_{2})$

Etapa 4.3.3

Simplifique.

$2 \ln (| y |) + C_{1} = - \ln (| x |) + C_{2}$

Etapa 4.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $C$ .

$2 \ln (| y |) = - \ln (| x |) + C$

Etapa 5

Resolva $y$ .

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Etapa 5.1

Mova todos os termos que contêm um logaritmo para o lado esquerdo da equação.

$2 \ln (| y |) + \ln (| x |) = C$

Etapa 5.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.2.1

Simplifique $2 \ln (| y |) + \ln (| x |)$ .

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Etapa 5.2.1.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.2.1.1.1

Simplifique $2 \ln (| y |)$ movendo $2$ para dentro do logaritmo.

$\ln ({| y |}^{2}) + \ln (| x |) = C$

Etapa 5.2.1.1.2

Remova o valor absoluto em ${| y |}^{2}$ , porque exponenciações com potências pares são sempre positivas.

$\ln (y^{2}) + \ln (| x |) = C$

Etapa 5.2.1.2

Use a propriedade dos logaritmos do produto, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (y^{2} | x |) = C$

Etapa 5.3

Para resolver $y$ , reescreva a equação usando propriedades de logaritmos.

$e^{\ln (y^{2} | x |)} = e^{C}$

Etapa 5.4

Reescreva $\ln (y^{2} | x |) = C$ na forma exponencial usando a definição de um logaritmo. Se $x$ e $b$ forem números reais positivos e $b \neq 1$ , então, $\log_{b} (x) = y$ será equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{C} = y^{2} | x |$

Etapa 5.5

Resolva $y$ .

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Etapa 5.5.1

Reescreva a equação como $y^{2} | x | = e^{C}$ .

$y^{2} | x | = e^{C}$

Etapa 5.5.2

Divida cada termo em $y^{2} | x | = e^{C}$ por $| x |$ e simplifique.

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Etapa 5.5.2.1

Divida cada termo em $y^{2} | x | = e^{C}$ por $| x |$ .

$\frac{y^{2} | x |}{| x |} = \frac{e^{C}}{| x |}$

Etapa 5.5.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.5.2.2.1

Cancele o fator comum de $| x |$ .

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Etapa 5.5.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y^{2} | x |}{| x |} = \frac{e^{C}}{| x |}$

Etapa 5.5.2.2.1.2

Divida $y^{2}$ por $1$ .

$y^{2} = \frac{e^{C}}{| x |}$

Etapa 5.5.3

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$y = \pm \sqrt{\frac{e^{C}}{| x |}}$

Etapa 5.5.4

Simplifique $\pm \sqrt{\frac{e^{C}}{| x |}}$ .

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Etapa 5.5.4.1

Reescreva $\sqrt{\frac{e^{C}}{| x |}}$ como $\frac{\sqrt{e^{C}}}{\sqrt{| x |}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{e^{C}}}{\sqrt{| x |}}$

Etapa 5.5.4.2

Multiplique $\frac{\sqrt{e^{C}}}{\sqrt{| x |}}$ por $\frac{\sqrt{| x |}}{\sqrt{| x |}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{e^{C}}}{\sqrt{| x |}} \cdot \frac{\sqrt{| x |}}{\sqrt{| x |}}$

Etapa 5.5.4.3

Combine e simplifique o denominador.

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Etapa 5.5.4.3.1

Multiplique $\frac{\sqrt{e^{C}}}{\sqrt{| x |}}$ por $\frac{\sqrt{| x |}}{\sqrt{| x |}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{e^{C}} \sqrt{| x |}}{\sqrt{| x |} \sqrt{| x |}}$

Etapa 5.5.4.3.2

Eleve $\sqrt{| x |}$ à potência de $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{e^{C}} \sqrt{| x |}}{{\sqrt{| x |}}^{1} \sqrt{| x |}}$

Etapa 5.5.4.3.3

Eleve $\sqrt{| x |}$ à potência de $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{e^{C}} \sqrt{| x |}}{{\sqrt{| x |}}^{1} {\sqrt{| x |}}^{1}}$

Etapa 5.5.4.3.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$y = \pm \frac{\sqrt{e^{C}} \sqrt{| x |}}{{\sqrt{| x |}}^{1 + 1}}$

Etapa 5.5.4.3.5

Some $1$ e $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{e^{C}} \sqrt{| x |}}{{\sqrt{| x |}}^{2}}$

Etapa 5.5.4.3.6

Reescreva ${\sqrt{| x |}}^{2}$ como $| x |$ .

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Etapa 5.5.4.3.6.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{| x |}$ como ${| x |}^{\frac{1}{2}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{e^{C}} \sqrt{| x |}}{{({| x |}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 5.5.4.3.6.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{e^{C}} \sqrt{| x |}}{{| x |}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Etapa 5.5.4.3.6.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{e^{C}} \sqrt{| x |}}{{| x |}^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 5.5.4.3.6.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 5.5.4.3.6.4.1

Cancele o fator comum.

$y = \pm \frac{\sqrt{e^{C}} \sqrt{| x |}}{{| x |}^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 5.5.4.3.6.4.2

Reescreva a expressão.

$y = \pm \frac{\sqrt{e^{C}} \sqrt{| x |}}{{| x |}^{1}}$

Etapa 5.5.4.3.6.5

Simplifique.

$y = \pm \frac{\sqrt{e^{C}} \sqrt{| x |}}{| x |}$

Etapa 5.5.4.4

Combine usando a regra do produto para radicais.

$y = \pm \frac{\sqrt{e^{C} | x |}}{| x |}$

Etapa 5.5.5

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 5.5.5.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$y = \frac{\sqrt{e^{C} | x |}}{| x |}$

Etapa 5.5.5.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$y = - \frac{\sqrt{e^{C} | x |}}{| x |}$

Etapa 5.5.5.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$y = \frac{\sqrt{e^{C} | x |}}{| x |}$

$y = - \frac{\sqrt{e^{C} | x |}}{| x |}$

$y = \frac{\sqrt{e^{C} | x |}}{| x |}$

$y = - \frac{\sqrt{e^{C} | x |}}{| x |}$

$y = \frac{\sqrt{e^{C} | x |}}{| x |}$

$y = - \frac{\sqrt{e^{C} | x |}}{| x |}$

$y = \frac{\sqrt{e^{C} | x |}}{| x |}$

$y = - \frac{\sqrt{e^{C} | x |}}{| x |}$

Etapa 6

Simplifique a constante de integração.

$y = \frac{\sqrt{C | x |}}{| x |}$

$y = - \frac{\sqrt{C | x |}}{| x |}$